悬臂式型钢悬挑脚手架直角折梁内力计算

陈运达

(宁波市建设集团股份有限公司 浙江宁波 315000)

0 引言

高层建筑施工时，外架形式常选用型钢悬挑脚手架[1]。型钢与结构锚固的方式一般有两种：①型钢尾端通过锚固螺栓或U形钢筋拉环[2]锚固于结构楼板上；②型钢(多采用工字钢)尾部与结构外立面通过高强螺栓锚固(图1)。为方便区分，本文将采用第一种锚固形式的型钢悬挑脚手架称为悬挑架，第二种称为悬臂式型钢悬挑脚手架，简称悬臂架，悬臂架的型钢称为悬臂梁。当采用悬臂架时，应特别关注被锚固结构构件的内力情况。

图1 悬臂式型钢悬挑脚手架

被锚固构件除了受到悬臂梁带来的集中力外，还会受到集中扭矩的影响。编制方案时，项目技术人员对被锚固构件进行核算时，往往会忽略水平向的抗弯以及轴向抗扭，将给施工带来安全隐患。

另一方面，在选择风险较大的结构构件进行核算时，一般选取一跨中搭设较多悬臂梁的边梁。住宅的阳台，阳角处的边梁常采用水平直角折梁形式，在折角处一般设有构造柱。构造柱属于二次结构，其顶部与梁底实为柔性连接，施工时需断开，故不可将折角处的构造柱视为支承点。直角折梁属于超静定结构，外荷载情况复杂，内力求解有一定难度，对其进行内力计算，并进一步强度核算，是非常有必要的。

目前，对于折梁的内力计算研究[3-5]，多集中于单一荷载作用下的情况。工程实际中的外荷载情况复杂， 往往有不同类型，不同方向的外荷载同时存在。本文采用能量法的卡氏第二定理，给出了直角折梁内力的计算方法。

1 计算方法

1.1 计算模型

水平直角折梁两边常为剪力墙或结构柱，故可将折梁简化成两端固定的空间刚架如图2(a)，空间坐标系如图2(b)所示。刚架的AC段与BC段分别于x轴，y轴平行，重力方向为-z轴方向。因为需考虑扭转，故此空间刚架实为6次超静定结构。

(a)空间刚架 (b)空间坐标系图2 空间刚架及空间坐标系

1.2 计算方法

本文采用能量法来求解折梁内力。轴力对梁的变形影响较小，计算过程中忽略轴力，仅考虑弯矩、剪力、扭矩引起的变形。

由材料力学[6]可知，线弹性、小变形条件下，组合变形杆的应变能等于各基本变形应变能的综合。杆件截面上的弯矩、剪力、扭矩，都可表示为关于x的函数，则组合变形的等直矩形梁的应变能Vε可表示为：

(1)

式中：M、V、T——弯矩、剪力、扭矩；

E、G——弹性模量和剪切模量；

A——截面面积；

k——截面系数，对于矩形截面k=1.2[7]；

It——截面的相当极惯性矩。GIt为非圆截面的扭转刚度；It=βhb3,h为矩形截面的长边，b为短边。根据h与b的比值，查表1可得系数β。

表1 矩形截面杆自由扭转时的系数

根据卡氏第二定理式(2)可知，线弹性体的应变能对于某个广义力Fi的偏导数等于与该广义力所对应的广义位移Δi。

(2)

由于卡氏第二定理仅适用于线弹性体，在计算混凝土梁内力时，实际考虑的为弹性阶段。

结合式(1)和式(2)可得：

(3)

1.3 内力计算

1.3.1 内力正负号规定

弯矩以负轴受拉为正，反之为负；扭矩的矢量方向与截面外法向一致时为正，反之为负；剪力以使隔离体顺时针方向转动为正，反之为负(转动时右手大拇指指向坐标轴负方向时为顺时针)。

1.3.2 求解步骤

(1)去掉多余约束，施加基本未知量，得到基本静定结构。

(2)去掉B端固定支座，得到基本静定结构(图3)，并施加6个基本未知量——3个方向的集中力(FBx,FBy,FBz)，3个方向的力矩(MBx,MBy,MBz)。基本未知量方向如图4所示。

图3 基本静定结构

(a)集中力 (b)集中力矩图4 基本未知量

1.4 内力方程计算

内力方程可分两类：一类由外荷载引起的，另一类由基本未知量引起。

外荷载主要有三部分：①悬臂梁对边梁的集中力和集中扭矩；②边梁自身的自重；③楼板对边框梁的载荷。楼板对边梁影响较为复杂，本文仅考虑楼板自重对边梁的影响。根据楼板传荷路径，将楼板荷载近似换算成均布线荷载，施加到边梁上。

对相同类型的内力方程进行合并，最终AC段内力方程有Mx(y),Mz(y),Vx(y),Vz(y),T(y)，BC段内力方程有My(x),Mz(x),Vy(x),Vz(x),T(x)。

将内力方程代入式(3)。6个基本未知量对应6个广义位移，可列出如下方程详式(4)。

(4)

式中，广义力Fi分别为FBx，FBy，FBz，MBx，MBy，MBz，对应的广义位移Δi分别为ΔBx,ΔBy,ΔBz,θBx,θBy,θBz。

B端为固定支座，所以该处各方向的位移、转角均为0。联立求解可得出6个基本未知量，即B端支座反力。将支座反力回代到内力方程中，可知任意截面的内力。

2 计算实例

以宁波工业互联网研究院产业园项目的3#楼为例，进行计算。

2.1 工程概况与计算简图

3#楼层高3.05 m，总高度80.05 m，四层开始搭设悬挑架，每六层搭设。悬臂梁平面布置如图5所示。悬臂梁采用16号工字钢，端部用高强螺栓与结构梁相连。悬臂梁用钢拉杆与上层结构梁拉结，悬臂梁锚固位置距梁面200 mm。

图5 悬臂梁平面布置图

取1轴～2轴×D轴～F轴处(图6)的直角折梁进行计算。已知该处梁截面尺寸(b×h)均为200 mm×500 mm，折梁两端与剪力墙相连。计算简图及内力方程坐标如图7所示。工字钢对边梁的水平集中力P1=5.58 kN，竖向集中力P2=7.57 kN，如图8所示。

图6 直角折梁 图7 实例计算简图 图8 边梁受力情况

阳角处的工字钢与水平夹角近似取45°，并将该处集中力转为正交荷载。将工字钢的集中力移至折梁形心轴处，并施加等效集中扭矩。外荷载的加载情况如图9所示。

(a)AC段集中力 (b)AC段集中力矩 (c)BC段集中力 (d)BC段集中力矩 (e)均布线荷载图9 外荷载加载情况

2.2 主要参数计算

查表1可得β=0.249，相当极惯性矩It=0.249×500×2003=9.96×108mm4。

工字钢于边梁锚固处的扭矩：

May=Mby=Mcy=Mdx=P2×100-P1×50

2.3 内力计算

去掉B端支座，施加基本未知量，列出各段的内力方程。

用MATLAB数学软件计算可得基本未知量，

FBx=-11.8622 kN;FBy=-1.8267 kN;

FBz=30.7309 kN;MBx=-561.3316 kN·mm;

MBy=2.28×104kN·mm;MBz=44.0351 kN·mm

2.4 SAP2000核算

SAP2000是由美国Computers and Structures Inc.(CSI)公司开发研制的通用结构分析设计软件[8]。其结构分析步骤与一般有限元软件类似，同样可分为前处理，分析计算，后处理3个步骤。

建模时，构件尺寸、属性参数、荷载布置均等参数与理论计算时的取值一致。在设置材料属性时，将重量密度设为0，并将自重以线荷载形式施加到杆上。。

有限元模型和计算结果分别如图10和图11所示，各内力值为：

图10 有限元模型 图11 SAP2000计算结果

FBx=-11.86 kN;FBy=-1.83 kN;

FBz=30.73 kN;MBx=-562.53 kN·mm;

MBy=22799.59 kN·mm;MBz=44.03 kN·mm。

对比理论计算结果，模拟值与理论值比较接近，两者相差在0.2%左右。

3 结语

(1)用能量法的卡氏第二定理计算直角折梁的内力，步骤简单，思路清晰。以此方法求解复杂荷载下的直角折梁内力，可得到较精确的结果，计算结果与SAP2000有限元模拟结果相近。

(2)技术人员面对此类复杂荷载下的边框梁内力计算问题时，可参考本文计算方法，并与有限元软件模拟相结合，以进一步提高方案的可行性与可靠性。

对于其他荷载工况下的内力计算，如均布扭矩，仅需改变对应的内力方程，计算步骤不变，重新计算，便可求得内力结果。