泡沫金属有效导热系数的数学模型

杨辉著，黎永耀，马彬键，杨 月，朱永刚

(微米与纳米流体力学研究中心，机电工程与自动化学院，哈尔滨工业大学(深圳)，广东 深圳 518055)

开孔泡沫金属具有比表面积大，导热系数高，传热和阻力综合性能好及轻巧等特征，被广泛应用于紧凑式换热器，燃料电池和相变储能系统等领域中[1-2].为了准确掌握泡沫金属的热输运特性，有效导热系数是其最关键参数之一.故泡沫金属有效导热系数的研究得到广泛关注.

在最近几十年，很多学者对泡沫金属的有效导热系数进行了实验研究[3-8].基于这些实验数据，很多经验关联式被提出.Calmidi等[3]以二维六角蜂窝形状的拓扑结构，建立了泡沫金属有效导热系数的预测模型.同样的，为了得到泡沫金属有效导热系数的预测模型，立方体模型[7]，体心模型及Kelvin十四面体模型[9]等在文献中被报到.

Kelvin十四面体模型由6个正方形和8个六边形组成，被认为是最接近真实泡沫金属的几何模型[10，11].Boomsma 和Poulikakos[12]以三维十四面体骨架模型，建立了泡沫金属的有效导热系数.泡沫金属几何模型沿导热方向被分成4层，十四面体骨架被假定为圆柱体，骨架交点的节点被假定为正方体.随后Dai[13]和Yang[14]进一步修正了Boomsma和Poulikakos的模型，并分别提出了新的泡沫金属有效导热系数的关系式.但是他们模型中，都是采用体积权重的方法计算每层泡沫有效导热系数.根据Calmidi和Mahajan[3]的研究发现，当固体导热系数和流体导热系数差异增加，基于体积权重的方法计算有效导热系数将产生巨大的误差.

本文以Kelvin十四面体为几何模型，建立了泡沫金属有效导热系数的经验关联式.首先利用实验数据修正了Kelvin十四面体的几何参数.其次，利用数值计算的结果，建立了每层泡沫金属的有效导热系数.最后基于Fourier定律，确定了泡沫金属的有效导热系数的关联式，并用实验结果验证了模型的有效性.

1 数值计算

十四面体几何模型和金属泡沫的扫描电镜示意图如图1所示.十四面体的骨架假设为圆柱体，高度为L和半径为a.骨架交点的节点假设为正方体，边长为r.考虑到几何模型的周期性，1/8的十四面体作为数值计算的几何体.

图1 开孔金属泡沫几何结构

在稳态传热过程中，忽略对流和辐射传热，数值求解导热的能量方程为

(1)

公式中：T为温度；k为导热系数；xi为坐标.

模型上下表面定义为恒壁温，分别为Th=303 K和Tc=300 K.四周为周期性边界.流固接触面为耦合边界.铝，空气和水的物性假定为常物性.能量方程用Second order schemes方法离散，数值求解用有限元法.几何模型的网格由ICEM产生，网格划分采用非结构化网格，同时流固区域划分了边界层网格.

根据Fourier导热定律，数值计算的有效导热系数计算为

(2)

公式中：q为热流密度；下标h、c分别为热端和冷端.

2 有效导热系数数学模型

考虑到金属泡沫在导热方向上，骨架分布不均匀性的特征.为了建立更加准确的数学模型，几何模型在导热方向上被分成了4层(A，B，C和D)，如图2所示.

图2 离散几何结构为4层

为了简化计算，首先定义无量纲d和e分别为

(3)

(4)

A，B，C和D层的总体积和固体体积分别为

(5)

(6)

而每层的孔隙率εi为

(7)

因此，得到金属泡沫的总的孔隙率εo为

(8)

在已知泡沫金属的孔隙率时，方程(8)包括两个未知参数e和d.为了求解方程(8)，本文首先定义另一个骨架节点边长与骨架半径比值的无量纲f=r/a.因此，e=fd.无量纲f首先由实验数据进行修正确定.然后，已知泡沫金属孔隙率时，利用方程方程(8)可以完全确定泡沫金属的几何参数.

考虑体积权重计算每层有效导热系数，可能会带来巨大的误差，本文假设为每层导热系数是每层孔隙率和总孔隙率的函数，定义为

ki=εikf+m(1-εi)nks，

(9)

(10)

公式中：a，b，c为常数.常数a，b和c由数值模拟数据进行拟合确定.

最后，泡沫金属的有效导热系数由Fourier定律确定为

(11)

(12)

公式中：Ri为热阻.

3 结果与讨论

图3为泡沫铝有效导热系数实验值与模拟值的比较.数值模拟对不同无量纲f的值进行了计算.由图可知，泡沫铝的有效导热系数随着孔隙率增加而减小.在相同的孔隙率下，有效导热系数的模拟值随着无量纲f增加而减小.在低孔隙率时，采用大无量纲f，实验值与模型值偏差较小.而在高孔隙率时，采用小无量纲f，实验值与模型值偏差较小.因此，为了确保模拟值与实验值能够很好的吻合，无量纲f应该随着孔隙率变化而变化.利用插值和试凑的方法，如图4所示.无量纲f随着孔隙率关系被拟合成二次多项式，得到R2=0.996.无量纲f与孔隙率关系为

图3 有效导热系数实验值与模拟值的比较

图4 无量纲f随孔隙率的变化关系

(13)

采用无量纲f随孔隙率变化的函数，在整个孔隙率范围内，模拟值与实验值的偏差都小于±10%.因此，基于Kelvin十四面体，并修正骨架节点边长与骨架半径的关系，本文建立了更加真实的泡沫金属的几何参数.

描述了每层泡沫有效导热性系数随孔隙率的变化关系，如图5所示.由图5可知，每层泡沫有效导热系数随着孔隙率增加而减小.在每层孔隙率相同的情况下，每层泡沫的有效导热系数随着泡沫金属总的孔隙率增加而减小.因此，不仅每层孔隙率，而且泡沫金属总孔隙率都会影响每层有效导热系数的计算.说明本文假设每层有效导热系数是每层孔隙率和泡沫金属总孔隙率函数的合理性.基于最小二乘法，方程(9)中参数m和n得到表达式为

图5 每层泡沫有效导热系数与孔隙率的关系

(14)

方程(9)计算值与模拟值变化趋势一致，能很好地吻合，计算值和模拟值的偏差都小于±15%.

为了进一步验证采用体积权重的方法计算每层有效导热系数的不合理性，比较了A层和C层采用体积权重和本文方法计算有效导热系数随孔隙率的变化关系，如图6所示.泡沫铝内填充空气为工质.在C层中，根据Dai的学习，考虑到骨架方向与导热方向之间存在夹角θ，C层乘以cos2θ修正体积权重方法.由图可知，在A层，采用体积权重的方法明显高估了有效导热系数，而C层体积权重修正方法，将低估有效导热系数.自然的，本文方法计算的有效导热系数与模拟结果一致.因此，模拟结果验证了体积权重方法的不合理性.

图6 体积权重和本文方法计算泡沫有效导热系数与模拟值的比较

在确定无量纲f和方程(9)中参数m和n的值时，本文提出的泡沫金属有效导热系数的数学模型被唯一确定了.表1整理了文献Xiao[15]和Yao[16]的泡沫铜填充空气，石蜡和水工质的实验数据.描述泡沫铜实验值与不同模型的偏差随孔隙率的关系，如图7所示.基于二维六角蜂窝形状Calmidi模型和三维十四面体的Boomsma模型Dai模型和Yang模型也进行了比较.由图7可知，由于Boomsma模型Dai模型和Yang模型采用体积权重的方法计算每层有效导热系数，导致他们模型计算的有效导热系数明显比实验值偏大.这与图6的结论也是一致的.他们的RMS偏差分别达到53.3%，56.9%和40.8% Calmidi模型和本文模型预测的有效导热系数与实验值误差较小.他们的RMS偏差分别为13.6%和8.4%.因此，本文通过建立更加真实的泡沫金属的几何结构，并修改了每层有效导热系数的计算关系式，得到了准确预测泡沫金属有效导热系数的数学模型.模型适用于泡沫金属孔隙率大于等于0.88的情况.

图7 有效导热系数模型值与实验值的比较

表1 泡沫铜有效导热系数实验值

4 结 论

本文利用数值模拟方法，通过修正Kelvin十四面体的泡沫金属几何参数.同时，考虑到金属泡沫在导热方向上，骨架分布不均匀性的特征，将泡沫金属沿导热方向分了4层，并提出了每层有效导热系数的计算方法.基于Fourier定律，建立了泡沫金属有效导热系数的数学模型.本文得到主要结论：

(1)泡沫金属有效导热系数随着无量纲f的增大而减小.建立无量纲f与孔隙率二次多项式的关系，有效导热系数的模拟值与实验值偏差小于±10%.

(2)采用体积权重方法，将高估每层泡沫金属的有效导热系数，而利用cos2θ修正C层骨架与导热方向之间的夹角，将低估有效导热系数.不仅每层孔隙率，而且泡沫金属总孔隙率都会影响每层泡沫金属的有效导热系数.

(3)本文建立的有效导热系数数学模型可以准确的预测孔隙率在0.88～0.98区间的开孔泡沫金属的有效导热系数.

(4)本文的研究结果，对于泡沫金属的热力设计和应用具有很好的指导意义.