一类中值定理双介值问题命题的注记

龚致宾， 楼红卫

(复旦大学 数学科学学院，上海200433)

1 引 言

微分中值定理是微积分学中的重要内容之一，很多关于中值等式的证明往往要利用微分中值定理，但是笔者发现涉及中值定理“双介值问题”的许多例题与习题是平凡的,举例如下，其中例1,4,5,6,8可分别在文献 [1-5] 中找到.

例2设函数f在闭区间 [0,1] 上连续，且在 (0,1) 内可导，证明：存在ξ,η∈(0,1)使得

例3设0

(本题曾出现在中国科学院大学2013年研究生入学统一考试题《高等数学(甲)》中)

例4函数f在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，证明：存在ξ,η∈(a,b), 使得

(eb-ea)f′(η)=(b-a)eηf′(ξ).

解令ξ=η,只要找是否有ξ满足 eb-ea=(b-a)eξ, 这就退化为与函数f无关的“单介值问题”，利用Lagrange中值定理易得.

例6设1

例7设 0

这些题目的共性是等式两边均含有f′，但涉及“两个中值”，题目的本意是用两次甚至多次中值定理来找到某种联结.但时常不小心因有明显满足ξ=η且与f无关的解而成为平凡的问题.

笔者发现此类命题大多数是以如下形式出现的： 设函数f在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，则存在ξ,η∈(a,b), 满足f′(ξ)=F(a,b,ξ,η)f′(η). 而F具有形式

(1)

其中二阶连续可导函数h,g是根据F的表达式找出来的函数，必要时为了使得F(a,b,ξ,η)对任何ξ,η∈(a,b)有意义, 还会对a,b的取值作一定限制, 比如假设 0

可以猜想，出题者的本意应该是让解答者先从F(a,b,ξ,η) 的表达式找到h,g使得 (1) 成立，然后利用Cauchy中值定理(例7-8)得到存在ξ,η满足

从而得到

(2)

然而，若 (1) 成立，则利用Cauchy中值定理，有ξ=η∈(a,b) 使得F(a,b,ξ,η)=1，从而原问题有与f无关的满足ξ=η∈(a,b) 的平凡解.

2 “双介值问题”的非平凡化

那么，能否增加限制条件ξ≠η，使得问题变得不平凡且有解？对于上述提及的类型，即 (2) 式，回答是肯定的.但这时，以通常的方法直接利用中值定理来得到结论似有困难，而利用微分Darboux定理则可以比较容易地解决问题.微分Darboux定理是说区间上点点可导的实函数，其导函数具有介值性.这里，称区间I上的实函数f具有介值性是指对于I的任何子区间J，像集f(J) 也是区间.具体地, 对于双介值问题，给出如下结论：

命题设函数g,h在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内二阶连续可导.且∀x∈(a,b)，g′(x),h′(x) 均不为零,g′ 和h′ 在(a,b) 内不恒等.若函数f在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导, 则存在不相等的ξ,η∈(a,b) 使得 (2) 式成立.

注意到

由Darboux定理，Gf′在 (a,b) 内具有介值性，同理，Hf′ 在 (a,b) 内具有介值性.要证存在不相等的ξ,η∈(a,b) 使得

G(ξ)f′(ξ)=H(η)f′(η).

由 Cauchy中值定理, 存在ξ0∈(a,b) 使得G(ξ0)=H(ξ0),从而

G(ξ0)f′(ξ0)=H(ξ0)f′(ξ0).

注意到一个实函数若在区间 (α,β) 内具有介值性且不取常数γ，则它必在该区间恒大于γ或恒小于γ.以下记γ=G(ξ0)f′(ξ0)≡H(ξ0)f′(ξ0).

证法1以下分情形讨论.除去情形 Ⅰ,Gf′和Hf′在区间 (a,ξ0) 和 (ξ0,b) 均分别恒大于γ或恒小于γ.具体情形如下表所列，其中第一列(行)每一格的正负号依次表示函数Gf′-γ(函数Hf′-γ) 在区间 (a,ξ0) 和 (ξ0,b) 内的符号.

+,++,--,+-,-+,+Ⅱ.1,Ⅱ.3Ⅱ.3Ⅱ.1Ⅲ.1+,-Ⅱ.1Ⅳ.1Ⅱ.1,Ⅱ.4Ⅱ.4-,+Ⅱ3Ⅱ.2, Ⅱ.3Ⅳ.2Ⅱ.2-,-Ⅲ.2Ⅱ.2Ⅱ.4Ⅱ.2, Ⅱ.4

情形Ⅰ存在ξ1∈(a,b) 使得ξ1≠ξ0，以及下列情形之一成立：

Ⅰ.1G(ξ1)f′(ξ1)=γ； Ⅰ.2H(ξ1)f′(ξ1)=γ.

对情形Ⅰ.1, 有G(ξ1)f′(ξ1)=H(ξ0)f′(ξ0).取ξ=ξ1,η=ξ0即满足命题要求.

对情形Ⅰ.2, 取ξ=ξ0,η=ξ1即满足命题要求.

情形Ⅱ下列情形之一成立：

Ⅱ.1G(x)f′(x)>γ(∀x∈(a,ξ0))，H(x)f′(x)>γ(∀x∈(ξ0,b))；

Ⅱ.2G(x)f′(x)<γ(∀x∈(a,ξ0))，H(x)f′(x)<γ(∀x∈(ξ0,b))；

Ⅱ.3H(x)f′(x)>γ(∀x∈(a,ξ0))，G(x)f′(x)>γ(∀x∈(ξ0,b))；

Ⅱ.4H(x)f′(x)<γ(∀x∈(a,ξ0))，G(x)f′(x)<γ(∀x∈(ξ0,b)).

此时，不妨设Ⅱ.1成立，由介值性，存在ξ∈(a,ξ0)，η∈(ξ0,b)使得

G(ξ)f′(ξ)=H(η)f′(η).

即ξ,η满足命题要求.

情形Ⅲ下列情形之一成立

Ⅲ.1 ∀x∈(a,b),x≠ξ0有G(x)f′(x)>γ，H(x)f′(x)<γ；

Ⅲ.2 ∀x∈(a,b),x≠ξ0有G(x)f′(x)<γ，H(x)f′(x)>γ.

不妨设Ⅲ.1成立，此时，∀x∈(a,b),x≠ξ0，

由上式立即有γ

情形Ⅳ下列情形之一成立

Ⅳ.1 ∀x∈(a,ξ0)有G(x)f′(x)>γ，H(x)f′(x)>γ；

∀x∈(ξ0,b)有G(x)f′(x)<γ，H(x)f′(x)<γ；

Ⅳ.2 ∀x∈(a,ξ0)有G(x)f′(x)<γ，H(x)f′(x)<γ；

∀x∈(ξ0,b)有G(x)f′(x)>γ，H(x)f′(x)>γ.

不妨设Ⅳ.1成立，由于g′ 和h′ 在 (a,b) 内连续，且不恒等，因此，G和H必在 (a,b) 内无穷多个点处不相等.又由于f′至多只有一个零点，因此，必有ξ1∈(a,b),ξ1≠ξ0使得

G(ξ1)f′(ξ1)≠H(ξ1)f′(ξ1).

不妨设ξ1∈(a,ξ0)，G(ξ1)f′(ξ1)>H(ξ1)f′(ξ1).则由G(ξ0)f′(ξ0)=γ

证法2反设命题结论不成立.由介值性，函数ψ≡Gf′ 和φ≡Hf′ 的像集A≡ψ(a,b)，B≡φ(a,b) 均为区间或单点集.而对于任何μ∈A∩B，方程ψ(x)=μ和方程φ(x)=μ在(a,b)内的解必唯一且相等.以下分三种情形讨论.

情形aψ-1(A∩B)={ξ0}.

此时，在(a,b)内恒有ψ≤φ或恒有φ≤ψ，且等号仅在ξ0处成立.不妨设前者成立，则∀x∈(a,b),x≠ξ0，有

由上式立即有γ

情形bψ-1(A∩B)=(a,b).

此时， 在 (a,b) 内有ψ≡φ.进而G≡H，与g′ 和h′ 在(a,b) 内不恒等的假设矛盾.

情形cψ-1(A∩B)≠(a,b),{ξ0}.

此时，ψ-1(A∩B) 为区间，且其左端点α≠a或右端点β≠b.不妨设α≠a.此时作为(α,β)内满足介值性的单射,ψ和φ均是单调的.有

从而ψ(α)是A∩B的端点.

若ψ(α)是A∩B的左端点，则必有δ>0 使得 (ψ(α)-δ,ψ(α))⊂ψ(a,α).从而ψ(α) 是A的内点.同理，φ(α) 是B的内点. 这与ψ(α)=φ(α)是A∩B的端点矛盾.

若ψ(α)是A∩B的右端点，同理推出矛盾.

总之，反设不真.命题证毕.

3 例题回顾

把所列 8 个例题作一回顾，列出相应的函数g和h如下，不难见到它们是满足命题要求的.

例题g(x)h(x)区间 [a,b] 的要求区间条件可减弱为1x1/x0

4 结 语

本文从一类有平凡解的存在性问题出发，通过分析命题的意图，最后利用微分Darboux定理证明了非平凡解的存在性.

致谢本文受益于复旦大学数学科学学院苏步青班的无学分讨论班等.感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见！