极限与商群

刘蔚萍

(华中科技大学 数学与统计学院，武汉430074)

1 引 言

其中F′(x)=f(x)，C(I)={F(x)|F(x)在I上处处可导}，性质R表示“在I上有相同的导函数”.可以看出，在上升到代数系统理论高度后，不定积分不仅可以是教科书上的定义，还可以有另外新的更严密精确的定义.

受到这个启发，对于微积分中的其它概念，是否也可以用同余类来分析？基于这个思考，本文将微积分中的极限概念与代数系统理论建立了联系，为微积分提供了一种新的研究思路，得到了一些结论.这些结果有助于对极限存在的一元函数集合的代数构造有更深刻的认识.

在微积分的教学中，这种新的研究方法有助于培养学生的抽象思维、严格的逻辑推理和创新能力，以及对微积分相关概念更深刻的理解.

2 主要结果

定义1[3]设非空集合A，记性质为R, ∀a,b∈A，如果a,b要么有性质R，要么没有性质R，二者必居其一且仅居其一，则称性质R为集合A的一个关系，称a,b有关系R，记为aRb.

定义2[3]若集合A上的一个关系R满足

(i) 自反性aRa，(∀a∈A)；

(ii) 对称性aRb⟹bRa, (∀a,b∈A)；

(iii) 传递性aRb,bRc⟹aRc， (∀a,b,c∈A),

则称关系R为A的一个等价关系.

定理1设集合A={f(x)|在同一极限过程中，limf(x)存在},则在同一极限过程中，两函数极限相等这个性质R是集合A的一个等价关系.

证显然，由关系的定义1，在同一极限过程中，两函数极限相等这个性质R是集合A的一个关系.

下面证明关系R是一个等价关系.

(i) 因为∀f(x)∈A,显然limf(x)=limf(x)，即f(x)Rf(x)，所以自反性成立；

(ii) ∀f(x),g(x)∈A，因为f(x)Rg(x),即在同一极限过程中，limf(x)=limg(x) ⟹ limg(x)=limf(x)，所以g(x)Rf(x),对称性成立；

(iii)∀f(x),g(x)，h(x)∈A，若f(x)Rg(x),g(x)Rh(x)，即在同一极限过程中，limf(x)=limg(x),limg(x)=limh(x) ⟹ limf(x)=limh(x)即f(x)Rh(x)，所以传递性成立.

由定义2知，R是集合A的一个等价关系.证毕.

定义3[3]a是集合A的元素，集合A中所有与a等价的元素构成的集合，称为等价类，记为[a]R={x|aRx,x∈A}，a称为等价类[a]R的代表元.

等价类[a]R是集合A的子集.在研究集合的代数结构时，用等价类把集合分成子集.

显然，等价类中任意一个元素是该类的一个代表元.因为a的等价类[a]R中的任何两个元素都等价.∀b,c∈[a]R，有aRb,aRc，由等价关系R的对称性，有aRb⟹bRa，又aRc，由等价关系R的传递性，有bRc，所以等价类中的任何两个元素都等价.因此等价类中任何一元与等价类中的任何元素都等价，所以等价类中任意一元是该类的一个代表元.

上面定理1证明了在同一极限过程中，两函数极限相等这个性质R是集合A的一个等价关系.集合A={f(x)|limf(x)存在},所以以f(x)为代表元的等价类为

[f(x)]R={g(x)|f(x)Rg(x)，即在同一极限过程中，limf(x)=limg(x),g(x)∈A}.

显然等价类[f(x)]R是集合A的子集.

定义4[1]由集合A中所有等价类构成的集合{[a]R|a∈A}，称为A对等价关系R的商集，记为A/R，所以商集A/R={[a]R|a∈A}.

由定义4知，商集A/R的元素是等价类[a]R，即A的子集.

定义5[3]若集合A的一个子集族π(A)={Ai|Ai⊆A,Ai≠∅,i∈I}，满足

(ii) 若Ai≠Aj(∀i,j∈I)，则Ai∩Aj=∅，

则称π(A)是集合A的一个分类.

文献[3]已经证明了这个定理：设R是集合A的一个等价关系，对∀a∈A，等价类

[a]R={x|aRx,x∈A}，

则商集A/R={[a]R|a∈A}是A的一个分类.

由此定理，可得到如下推论1.

推论1设集合A={f(x)|在同一极限过程中，limf(x)存在},R是在同一极限过程中，两函数极限相等这个性质，则商集A/R={[f(x)]R|∀f(x)∈A}是集合A的一个分类，其中[f(x)]R是以f(x)为代表元的等价类[f(x)]R={g(x)|f(x)Rg(x),g(x)∈A}.

证由前面定理1已证，性质R是集合A的一个等价关系，以f(x)为代表元的等价类为

[f(x)]R={g(x)|f(x)Rg(x),g(x)∈A}.

由文献[3]已经证明了的上述定理知，商集

A/R={[f(x)]R|∀f(x)∈A}

是集合A的一个分类.

这样就清楚了商集A/R={[f(x)]R|∀f(x)∈A}的代数结构，是集合A的一个分类.

定义6[1]设非空集合A中有二元运算∘，如果集合A的一个等价关系R在该运算下仍被保持，即

aRb,cRd⟹ (a∘c)R(b∘d)， ∀a,b,c,d∈A,

则称等价关系R为集合A中关于运算∘的同余关系.此时，以a为代表的等价类[a]R也叫做a的同余类.同余类间的运算记为

[a]R∘[b]R=[a∘b]R， ∀a,b∈A.

因为同余类也是等价类，又等价类是子集，所以同余类也是子集.当有同余关系，同余类间(子集间)就有运算，同余类的运算可归结为代表元的运算，且同余类也类似等价类不依赖代表元的选择.

定理2设集合A={f(x)|在同一极限过程中，limf(x)存在},定义集合A中的二元运算±×÷为通常意义下两函数的加减乘除四则运算，则在同一极限过程中，两函数极限相等这个性质R是集合A关于二元运算±×÷的一个同余关系R.除法时要求分母的极限不等于零.

证由上面定理1已证在同一极限过程中，两函数极限相等这个性质R是集合A的一个等价关系R.下面证明R是同余关系.

首先证明二元运算为+时定理2成立.

∀f1,f2∈[f(x)]R，所以f1Rf2,即limf1=limf2.∀g1,g2∈[g(x)]R，所以g1Rg2,即limg1=limg2，且f1,f2,g1,g2∈A，故limf1,limf2,limg1,limg2都存在，所以极限四则运算法则[4]成立，有

lim(f1+g1)=limf1+limg1=limf2+limg2=lim(f2+g2).

即(f1+g1)R(f2+g2).故两函数极限相等这个性质R是集合A关于二元运算+的一个同余关系.由极限四则运算法则[4]，类似可证，对于二元运算-×÷，定理2成立.证毕.

在定理2证明同余关系时，需要用到微积分中的知识极限四则运算法则.

由定理2知，两函数极限相等是集合A关于二元运算±×÷的一个同余关系R，此时等价类[f(x)]R是同余类，商集A/R={[f(x)]R|f(x)∈A}的元素是同余类，同余类之间有二元运算.

若在集合A中有二元运算∘，则称(A,∘)是一代数系统，(A/R,∘)是商代数，其中A/R是商集.

定义7[5]设非空集合A中有二元运算∘，且运算满足：

(i) 封闭性∀a,b∈A，有(a∘b)∈A；

(ii) 结合律∀a,b,c∈A，有(a∘b)∘c=a∘(b∘c)；

(iii) 幺元律存在e∈A,∀a∈A，有a∘e=e∘a=a,称e为幺元；

(iv) 逆元律∀a∈A,∃b∈A，使a∘b=b∘a=e,称b为a的逆元，记作b=a-1，则称代数系统(A,∘)为一个群.

定理3设集合A={f(x)|在同一极限过程中，limf(x)存在},定义集合A中的二元运算±为通常意义下两函数的加减，则代数系统(A,±)为一个群.

证对于二元运算±.

(i) 封闭性 ∀f(x),g(x)∈A，所以在同一极限过程中，limf(x)存在，limg(x)存在,由极限四则运算法则，有lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)存在，故f(x)±g(x)∈A,所以封闭性成立；

(ii) 结合律 ∀f(x),g(x),h(x)∈A，显然[f(x)±g(x)]±h(x)=f(x)±[g(x)±h(x)]，结合律成立；

(iii) 幺元律 ∃幺元e=0∈A， ∀f(x)∈A，有f(x)±0=0±f(x)=f(x)，所以幺元律成立；

(iv) 逆元律 对于二元运算+，∀f(x)∈A, ∃b=-f(x)∈A，使

f(x)+[-f(x)]=[-f(x)]+f(x)=0=e

所以逆元b=-f(x).

对于二元运算-，∀f(x)∈A，∃b=f(x)∈A，使f(x)-f(x)=f(x)-f(x)=0=e，所以逆元b=f(x),逆元律成立.由定义7知，(A,±)为一个群.证毕.

定义8[5]称由商代数(A/R,∘)构成的群为商群.

文献[5]中给出了这个定理：设A是非空集合，∘是集合A上的二元运算，代数系统(A,∘)是群，R是集合A关于二元运算∘的同余关系，则商代数(A/R,∘)是群.

由此定理，可得到如下推论2.

推论2设集合A={f(x)|在同一极限过程中，limf(x)存在}，定义集合A中的二元运算±为通常意义下两函数的加减，性质R为集合A中两函数极限相等，则商代数(A/R,±)是商群.

证上面定理3已经证明代数系统(A,±)构成一个群，定理2已经证明两函数极限相等的性质R是集合A关于二元运算±的一个同余关系，由文献[5]中给出的上述定理知，商代数(A/R,±)是群.由定义8知，商代数(A/R,±)是商群.

3 结 论

本文在微积分中引入代数系统理论，对一元函数的集合A关于极限相等的性质，进行代数结构分析.证明了函数极限相等是一个等价关系，基于此等价关系，证明了商集

A/R={[f(x)]R|∀f(x)∈A}

是集合A的一个分类.证明了函数极限相等是一个同余关系，进而证明了由极限存在的一元函数集合A所构成的代数系统(A,±)是一个群，由商集A/R构成的商代数(A/R，±)是一个商群.这样对一元函数集合的代数构造有了一个大致的了解.这对微积分教学的外延有一定的帮助.

在研究集合的代数结构时，用等价类把集合分成子集.当子集之间有运算，就涉及同余类概念.当集合的元素之间带有运算，也就涉及群的概念.

致谢感谢相关文献对本人的启示；感谢审稿老师对本文提出的宝贵修改意见，使该文内容更清晰和丰满.