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随机SEIR模型在吉林省2019-nCoV肺炎疫情中的应用

2021-10-30郑元琳林玉国宋仁全

东北电力大学学报 2021年3期
关键词:感者感染者吉林省

柴 林,郑元琳,林玉国,宋仁全

(1.北华大学数学与统计学院,吉林 吉林 132013;2.吉林省白山市第二中学,吉林 白山 134300)

众所周知,人类的历史就是和各种传染病抗争的历史.21世纪以来,就已经出现SARS-CoV、MERS-CoV、2019-nCoV三种高致病性冠状病毒,对人类的生命健康构成极大威胁.目前,前两者已经得到有效控制,而2019-nCoV肺炎疫情还在进行常态化防控当中.由此,对新冠肺炎疫情的分析与预测就显得至关重要.随机SEIR模型是在众多传染病模型中最为经典的传染病动力学模型[1-2].因此,应用随机SEIR模型分析2019-nCoV肺炎疫情,找出影响疾病预防控制的关键因素并预测疫情发展态势,具有重要现实意义.

1 随机模型

考虑传统的SEIR随机模型和2019-nCoV肺炎疫情的流性特征,我们将所有人群分为易感者(S)、隔离者(Q)、接触者(E)、无症状感染者(A)、有症状感染者(I)、确诊者(D)以及治愈人群(R).假设模型中各参数均为正常数.β为易感者转化为接触者的接触率;无症状和有症状感染者传染率占比为c;隔离的易感者释放率为λ;隔离率为τ;接触者到感染者的转移率为α,其中转移到有症状感染者占比为p,无症状占比为1-p;有症状和无症状感染者的诊断率分别为μ1,μ2;有症状感染者、无症状感染者和确诊者的恢复率分别为γ1,γ2,γ3;有症状感染者和确诊者因新冠肺炎导致的死亡率分别为d1、d2;易感者疫苗接种率为ν.对于2019-nCoV肺炎疫情传播过程中各类人群发生的数量变化,忽略吉林省自然出生和死亡人口的影响,传播流程如图1所示.

图1 基于SEIR模型的COVID-19传播流程图

根据上述传播方案,可建立如下形式的常微分动力学模型:

(1)

本文主要依据SEIR模型估计并预测2019-nCoV肺炎疫情流行趋势的现状,考虑到自然界中的种种不确定性,我们假设模型(1)中的β和α受到干扰,用B1(t),B2(t)表示标准的布朗运动,正常数σ1,σ2是其对应的布朗运动的强度,这种扰动形式的具体解释可参见文献[3].于是模型(1)变成如下形式:

(2)

2 数值模拟

我们运用Matlab软件对随机系统(2)进行数值模拟.这里我们将采用欧拉法研究[4],即将随机方程(2)离散化为

根据吉林省卫生健康委员会官网公布的数据,选取2020年1月23日—2020年3 月23日共60天的疫情动态数据进行拟合分析.在考虑将人群进行隔离,没有疫苗免疫的情况下,与文[5]研究结果比较.取β=4.783 8×10-8,c=0.005 0,τ=1/4,λ=1/60,α=1/7,p=0.960 0,ν=0,μ1=1/5,μ2=1/6,γ1=0.068 6,γ2=0.102 9,γ3=0.096 0,d1=0.002 9,d2=0.002 0,Δt=0.01.取初始值S0=24 877 352,Q0=2 163 248,E0=87,A0=6,I0=5,D0=3,R0=0.对确定性方程用Matlab软件模拟如图2所示.

在图2中,(S)~(R)分别表示易感者、隔离者、接触者、无症状感染者、有症状感染者、确诊者和治愈人群的在不加入随机因素时的人口数量,图2(D)中绿色线表示吉林省在院隔离治疗确诊病例的实际数据.我们发现,在疫情初期全民对COVID-19易感的情况下,我省采用的“超长居家隔离”措施使易感者数量在某一值后逐渐保持在较低水平,此时疫情得到有效控制.加入环境中随机因素的影响后,如图3所示.

图2 确定系统的轨道图

图3 σ1=β·0.3,σ2=α·0.3时的随机系统的轨道图

通过图3可知,我们发现在此情形下,易感者数量将逐渐保持在较低水平,治愈人群数量在不断上升.此时,传染病灭绝,疫情可控.而确诊者数量在25天左右达到峰值,这与我省确诊病例真实数据大致相同,故该模型真实有效.

从图3可以看出,S(t),Q(t),I(t),A(t),E(t),D(t),R(t)都在x轴上方,故函数具有非负性,所以模型(2)的非负解是存在且唯一的.现在减少隔离天数,令λ=1/25,当σ1的取值大一点,即σ1=β·0.5时,其他数值不变,作确诊病例消失天数的密度如图4所示.

从图4中,可以看出疾病灭绝的天数在140天~150天范围内出现峰值.综合图2、图3和图4,我们发现隔离期越长,确诊病例越容易较早时刻达到较低峰值,这一结论与文献[5]研究结果类似.同时,为了探求政府居家隔离措施的有效性,我们在保证其余参数不变的情况下,改变λ的值进行数次循环模拟,如图5所示.

通过图5可知,我们发现在有隔离措施的条件下,确诊者数量在14天后逐渐趋于0,也就是说,此时传染病灭绝.故政府制定的“14天隔离观察期”政策是真实可靠的.

综上所述我们模拟了新冠疫情初始阶段的发展趋势,可以看出我省采取的隔离政策对遏制疫情发展起到重要作用.随着疫情的常态化防控发展,我国多地开放新冠疫苗接种.现在我们用疫苗接种代替隔离措施,需要说明的是,模型(1)和模型(2)中采用的免疫形式来自于文献[6].在保持其他数值不变的情况下,我们分别模拟了ν从0.01到0.09的疫情发展趋势,结果如图6所示.

从图6中,可以看出,ν的值越大,确诊者数量将越早时间达到较低峰值.当ν=0.02时,确诊者数量峰值在2.5万人次左右,这会造成医疗负荷饱和,使疫情进一步恶化;增加疫苗接种率,令ν=0.03,确诊病例则减少到0.25万人次;继续增加ν值,ν取0.07,0.08,0.09时的确诊病例峰值以及峰值到达时间相差不多,确诊者数量减少幅度不明显.所以,疫苗接种阈值在0.03到0.04之间.按照ν=0.03来算,初期每天需要接种74万人次,吉林省现有608个乡镇,平均每个乡镇每天需要接种1 200人次,这对基层工作是一个极大考验.所以我们仅仅靠接种疫苗还不能够有效阻断疾病流行,应该适当增加隔离措施,辅助进行疫情防控.这样既可以使疫情得到有效控制,又可以让地方政府合理布局医疗资源,减轻用药负担.

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