随机SEIR模型在吉林省2019-nCoV肺炎疫情中的应用

柴 林，郑元琳，林玉国，宋仁全

(1.北华大学数学与统计学院，吉林 吉林 132013；2.吉林省白山市第二中学，吉林 白山 134300)

众所周知，人类的历史就是和各种传染病抗争的历史.21世纪以来，就已经出现SARS-CoV、MERS-CoV、2019-nCoV三种高致病性冠状病毒，对人类的生命健康构成极大威胁.目前，前两者已经得到有效控制，而2019-nCoV肺炎疫情还在进行常态化防控当中.由此，对新冠肺炎疫情的分析与预测就显得至关重要.随机SEIR模型是在众多传染病模型中最为经典的传染病动力学模型[1-2].因此，应用随机SEIR模型分析2019-nCoV肺炎疫情，找出影响疾病预防控制的关键因素并预测疫情发展态势，具有重要现实意义.

1 随机模型

考虑传统的SEIR随机模型和2019-nCoV肺炎疫情的流性特征，我们将所有人群分为易感者(S)、隔离者(Q)、接触者(E)、无症状感染者(A)、有症状感染者(I)、确诊者(D)以及治愈人群(R).假设模型中各参数均为正常数.β为易感者转化为接触者的接触率；无症状和有症状感染者传染率占比为c；隔离的易感者释放率为λ；隔离率为τ；接触者到感染者的转移率为α，其中转移到有症状感染者占比为p，无症状占比为1-p；有症状和无症状感染者的诊断率分别为μ1，μ2；有症状感染者、无症状感染者和确诊者的恢复率分别为γ1，γ2，γ3；有症状感染者和确诊者因新冠肺炎导致的死亡率分别为d1、d2；易感者疫苗接种率为ν.对于2019-nCoV肺炎疫情传播过程中各类人群发生的数量变化，忽略吉林省自然出生和死亡人口的影响，传播流程如图1所示.

图1 基于SEIR模型的COVID-19传播流程图

根据上述传播方案，可建立如下形式的常微分动力学模型：

(1)

本文主要依据SEIR模型估计并预测2019-nCoV肺炎疫情流行趋势的现状，考虑到自然界中的种种不确定性，我们假设模型(1)中的β和α受到干扰，用B1(t)，B2(t)表示标准的布朗运动，正常数σ1，σ2是其对应的布朗运动的强度，这种扰动形式的具体解释可参见文献[3].于是模型(1)变成如下形式：

(2)

2 数值模拟

我们运用Matlab软件对随机系统(2)进行数值模拟.这里我们将采用欧拉法研究[4]，即将随机方程(2)离散化为

根据吉林省卫生健康委员会官网公布的数据，选取2020年1月23日—2020年3 月23日共60天的疫情动态数据进行拟合分析.在考虑将人群进行隔离，没有疫苗免疫的情况下，与文[5]研究结果比较.取β=4.783 8×10-8，c=0.005 0，τ=1/4，λ=1/60，α=1/7，p=0.960 0，ν=0，μ1=1/5，μ2=1/6，γ1=0.068 6，γ2=0.102 9，γ3=0.096 0，d1=0.002 9，d2=0.002 0，Δt=0.01.取初始值S0=24 877 352，Q0=2 163 248，E0=87，A0=6，I0=5，D0=3，R0=0.对确定性方程用Matlab软件模拟如图2所示.

在图2中，(S)～(R)分别表示易感者、隔离者、接触者、无症状感染者、有症状感染者、确诊者和治愈人群的在不加入随机因素时的人口数量，图2(D)中绿色线表示吉林省在院隔离治疗确诊病例的实际数据.我们发现，在疫情初期全民对COVID-19易感的情况下，我省采用的“超长居家隔离”措施使易感者数量在某一值后逐渐保持在较低水平，此时疫情得到有效控制.加入环境中随机因素的影响后，如图3所示.

图2 确定系统的轨道图

图3 σ1=β·0.3，σ2=α·0.3时的随机系统的轨道图

通过图3可知，我们发现在此情形下，易感者数量将逐渐保持在较低水平，治愈人群数量在不断上升.此时，传染病灭绝，疫情可控.而确诊者数量在25天左右达到峰值，这与我省确诊病例真实数据大致相同，故该模型真实有效.

从图3可以看出，S(t)，Q(t)，I(t)，A(t)，E(t)，D(t)，R(t)都在x轴上方，故函数具有非负性，所以模型(2)的非负解是存在且唯一的.现在减少隔离天数，令λ=1/25，当σ1的取值大一点，即σ1=β·0.5时，其他数值不变，作确诊病例消失天数的密度如图4所示.

从图4中，可以看出疾病灭绝的天数在140天～150天范围内出现峰值.综合图2、图3和图4，我们发现隔离期越长，确诊病例越容易较早时刻达到较低峰值，这一结论与文献[5]研究结果类似.同时，为了探求政府居家隔离措施的有效性，我们在保证其余参数不变的情况下，改变λ的值进行数次循环模拟，如图5所示.

通过图5可知，我们发现在有隔离措施的条件下，确诊者数量在14天后逐渐趋于0，也就是说，此时传染病灭绝.故政府制定的“14天隔离观察期”政策是真实可靠的.

综上所述我们模拟了新冠疫情初始阶段的发展趋势，可以看出我省采取的隔离政策对遏制疫情发展起到重要作用.随着疫情的常态化防控发展，我国多地开放新冠疫苗接种.现在我们用疫苗接种代替隔离措施，需要说明的是，模型(1)和模型(2)中采用的免疫形式来自于文献[6].在保持其他数值不变的情况下，我们分别模拟了ν从0.01到0.09的疫情发展趋势，结果如图6所示.

从图6中，可以看出，ν的值越大，确诊者数量将越早时间达到较低峰值.当ν=0.02时，确诊者数量峰值在2.5万人次左右，这会造成医疗负荷饱和，使疫情进一步恶化；增加疫苗接种率，令ν=0.03，确诊病例则减少到0.25万人次；继续增加ν值，ν取0.07，0.08，0.09时的确诊病例峰值以及峰值到达时间相差不多，确诊者数量减少幅度不明显.所以，疫苗接种阈值在0.03到0.04之间.按照ν=0.03来算，初期每天需要接种74万人次，吉林省现有608个乡镇，平均每个乡镇每天需要接种1 200人次，这对基层工作是一个极大考验.所以我们仅仅靠接种疫苗还不能够有效阻断疾病流行，应该适当增加隔离措施，辅助进行疫情防控.这样既可以使疫情得到有效控制，又可以让地方政府合理布局医疗资源，减轻用药负担.