网络环境下“数学分析”混合式教学设计研究——以连续函数的概念为例

陶玉杰，段丽芬，程亚焕，于梅菊

“数学分析”是数学与应用数学专业重要的专业基础课，也是后继课程学习的基础，具有极强的理论性、逻辑性和系统性［1］.而数学概念是数学分析知识体系中重要的一环，是深入学习、理解一切的基础，因此做好概念教学是十分必要的.在以往的概念教学中，通常是直接给出定义，这种教学方式硬性灌输，忽略了学生认知形成过程和参与体验，使得原本就抽象的概念更加枯燥乏味难以理解，不能有效激发学生进一步学习的兴趣.因此，在进行概念教学时，要充分利用现代信息技术，借助超星学习通平台，大胆尝试、精心设计教学过程，采取线上线下混合式教学模式，从生活现象、生活实际出发，利用问题驱动法让学生直接参与定义得出的过程，亲自尝试用数学语言进行刻画，这样学生对定义的理解一定会更深刻，有益于后继内容的学习.

1 教学?内容分析

1.1 内容分析

连续函数是“数学分析”中着重讨论的一类函数，连续函数概念是学生进入连续函数性质学习的第一道门槛，由于定义很抽象，初学的学生在理解上会有一定的难度.本节主要的学习内容为：

（1）函数在x0点连续的定义；

（2）函数在x0点连续的等价形式；

（3）定义的应用.

1.2 学情分析

“数学分析”的授课对象为数学与应用数学专业大一学生，经过一个阶段的学习，学生已经对极限思想有了充分的了解；由于刚刚步入大学校门，学生还未完全适应大学的学习生活，没有养成良好的学习习惯，课前自主预习和课后复习没有成为学习常态，课后只是为了完成作业而做作业；学生的学习基础参差不齐，差异性较大，有的学生对抽象的数学分析不感兴趣.

1.3 目标分析

知识目标：从生活现象出发，通过问题的设置使学生了解连续性概念的实际背景，建构对连续性的认知基础，引导学生思考，给出连续性概念，掌握函数在一点连续的精确定义及等价形式.

能力目标：通过学习，培养学生从具体到抽象、发现和转化的思维能力；培养学生课前、课后自主学习能力及课上合作探究能力.

思想目标：通过学生亲自参与知识建构，激发学生学习的兴趣，使学生真正理解连续性定义，并能认识到在生活中，凡事不能急于求成，必须遵循事物原本的规律.

1.4 重点难点分析

（1）利用问题驱动法引导学生探索连续性的本质.

（2）通过小组合作，师生共同讨论完善对连续性的理解.

（3）通过典型例题进一步加深和拓展对概念的理解，掌握极限存在与函数在一点处连续的区别与联系.

2 教学设计策略

“数学分析”中的概念具有抽象性，不易理解，所以在教学过程中依据先行组织者策略，打破传统的教学模式，积极采用现代信息技术，通过超星学习通平台将线上线下混合式教学融入传统教学模式中，以学生为中心，提高课堂效率.在课堂实施过程中，采用问题驱动教学方法，借助小视频、PPT等辅以讲授法、小组讨论等形式完成对函数连续性概念的感知、提炼、形成、巩固和应用，提高学生对概念的理解和运用能力.

3 教学过程设计

“数学分析”中连续函数的概念与高中阶段学习的概念相比较，“数学分析”中连续函数的定义不仅仅是定性的描述，而重要的是要从定性描述中抽象出定量的描述.如何从具体教学中抽象出连续函数的概念，引导学生明晰其各种等价形式是连续函数概念教学的重点.本节内容以课前（线上）—课中（线下）—课后（线上）为主线，利用超星学习通完成教学任务.

3.1 课前（线上）准备

课前，通过线上超星学习通平台发布学习任务，让学生了解学习目标.第一步，教师线上发布学习资源，比如课件、小视频等，小视频中主要给出植物的生长过程、潺潺的流水、温度的变化、舞者手中的飘带等生动的画面，让学生从鲜活的画面中去感知连续性，增强学习欲望，促使学生进行在线预习；第二步，布置查阅任务：通过所发布的小视频，结合生活实际，让学生再查找一些与连续相关的生活现象，加深对连续性的认知.连续来源于生活，反过来又怎么样应用于生活中呢？引导学生查阅连续性的应用，在查阅过程中让学生感受到抽象的数学与生活是息息相关的，激发他们继续学习的兴趣；第三步，教师与学生进行线上互动交流，收集学生课前预习中所遇到的疑难问题，以备课堂上进行探究释疑.课前的线上教学是学生自主完成的学习活动，是上好一节课的关键.

3.2 课中（线下）课堂实施

线上学习活动是作为线下教学的补充，根据线上学习反馈，完成知识的巩固、拓展和提升.在这一环节中，通过问题驱动法完成连续函数的概念教学，重点是抽象出连续函数定义及其等价形式，按课前回顾、问题引入、分组探究、归纳总结、课堂小结这五个环节进行展开.

（1）课前回顾.教师首先检验线上自主学习效果，设计几个关于函数极限问题作为课前小测，这为后面解答函数极限与函数的连续之间的关系做准备.利用学习通统计小测结果，可以快速掌握预习情况.其次让学生代表展示其查阅的与连续性相关的生活现象，让学生快速融入课堂气氛之中.

（2）问题引入.首先，借助学生查阅的生活现象提出问题：“一提到连续，你会想到什么词汇？”学生通过预习肯定会答出：“连绵不断”.教师可补充说明连续描述的就是连绵不断的现象.

其次，通过与连续相关的生活现象设计问题：“我手里有一根断开的绳子，那么怎么样把他们连接起来，使两段绳子看起来是连绵不断的一根绳子呢？”这个问题比较简单，很容易引导学生得出简单的方法，就是将断开的绳子凑到同一个点，然后用胶水粘住即可，这样断开的绳子便连接起来.

最后，引导学生从这一现象出发尝试用数学符号进行刻画，进一步抽象出函数在一点处连续的定义.将断开的绳子凑到一起，也就是这两段绳子从两侧向同一个点凑近，在数学上解释这一现象可以用左右极限刻画.这两段绳子的断点凑在一起并用胶水粘住，在数学上描述就是这一点处左右极限存在且相等，而且还要等于函数在这一点处的函数值，这就给出了函数在一点连续的定义，用数学符号表述如下：

（3）分组探究.在给出函数f(x)在x0点连续的定义后，设计以下4个层层递进的问题让学生进行分组合作探究，通过探究性问题可实现知识的迁移.

探究1：针对上述抽象出来的f(x)在x0点连续的定义，你是否能用其他形式来表达这个定义？

探究2：函数f(x)在x0点连续的定义是用极限定义的，那么函数f(x)在x0点极限存在和f(x)在x0点连续之间有什么联系呢？

探究3：函数f(x)在区间I上连续如何定义？

探究4：怎样证明函数f(x)在区间I上连续？

在小组合作探究的时候，教师可以与各小组进行交流，了解同学们的掌握情况.帮助他们尽快实现知识的迁移.

（4）归纳总结.经过小组合作探究，让各组学生代表进行归纳总结，小组之间也可以进行互评，教师在此期间进行补充、纠错，最后对所提问题进行总结.

对于探究问题1：设函数f(x)在某U(x0)内有定义，若满足下列条件之一，函数f(x)在x0点连续.

对于探究问题2：函数f(x)在x0点极限存在，则f(x)在x0点不一定连续，反之函数f(x)在x0点连续，则函数f(x)在x0点极限存在.即函数f(x)在x0点极限存在是f(x)在x0点连续的必要条件.

对于探究问题3：函数f(x)在区间I上的每一点都连续，则f(x)为I上的连续函数.对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些端点连续是指左连续或右连续.

对于探究问题4：若要证明函数f(x)在区间I上连续，依据定义，只需证明区间内每一点均连续，即∀x0∈I，证明f(x)在x0点连续即可.若区间I是闭区间或半开半闭区间，还需证明在端点处左连续或右连续.

（5）课堂小结.教师对整个教学过程中学生的表现进行点评，对所学知识点做进一步梳理，强调重点、难点，引导学生进行课后学习.

3.3 课后（线上）提升

通过超星学习通平台，教师布置课后任务，引导学生再次进行深入的学习和应用.课后任务要有层次，以满足不同层次学生的需求，使学生在课后得到进一步提升.

教师可以在平台上批阅学生提交的作业，通过作业情况掌握学生的学习情况，对于个别接受较差的同学或接受能力强的同学可以进行个别辅导.

在(0,1)内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续.

4 教学效果

线上线下混合式教学有效拓展了教学时空，极大地丰富了教学资源，充分体现了学生的主体地位，最大限度实现了预期教学目的.课前通过学习通平台向学生发布自学任务和学习资料，为课上讨论做好前期准备；课上从植物的生长、潺潺流水、温度的变化、舞者手中的飘带等生活现象入手，让学生感受到抽象的连续函数概念有着丰富生动的生活背景.课上通过断开的绳子设计问题，引导学生给出函数在一点处连续的定义，并用数学符号进行刻画，使学生对抽象的概念有了直观认识.再通过精心设计的问题，让学生分组进行讨论并汇报讨论结果，教师进行补充、纠错，使学生完成知识的迁移，使相关认知得到升华；课后布置阶梯式练习，满足各个层次学生的需要，真正做到全员参与学习“一个也不能少”.整个教学过程层层递进，环环相扣，内容一气呵成，通过学生亲历定义的给出过程，激发了学生的学习兴趣，函数连续的概念教学在匠心独运的教学设计和意趣盎然的教学环节中完美收官.

“信息化教学手段引入数学课堂，有助于走出一支粉笔、一块黑板、一本书的传统课堂教学模式”［3］.线上线下混合式教学模式避免了传统教学中“填鸭式”式教学方法的枯燥与单一，课堂上，通过层层递进的问题，让学生分组讨论，教师从旁辅助、纠错，克服了线上教学模式中教师与学生沟通不便的弊端，实现了教师与学生、学生与学生之间的互动，这不仅能够发挥教师的引领作用，又能充分发挥学生的主观能动性与创造性.信息化教学已成为现代教育发展的必然趋势［4−5］.但是要想实现高效的线上线下相结合的课堂教学，教师必须要掌握现代信息技术，具备较高的业务水平，这对教师提出了极大的挑战.本文以“函数的连续性概念”为例，充分发挥了线上的优势，通过超星学习通平台，学生自主学习，打破了时间和空间的界限，线下采用分组讨论研究式学习，真正调动了学生学习的积极性，构建了以学生为主体的线上线下相结合的课堂教学方式，但如何在“数学分析”教学中全面实践线上线下混合式教学模式还需要更多的探索.