对人教版《数学选修2-3》二项分布与超几何分布的几点探讨

2021-10-25欧阳才

高考·中 2021年9期

摘要：超几何分布和二项分布是人教2003版《数学选修2-3》中两个重要的离散型随机变量的分布，教材对该两个分布的研究主要是分布的认识与应用，由于受教学难度的制约，未对两个分布的内在联系与区别做深入的探讨。本文从两个分布期望与方差的计算揭示两个分布的区别与联系，旨在加深学生对这两个分布的认识与理解。

关键词：二项分布;超几何分布;期望;方差

在人民教育出版社2003课标版《数学选修2-3》的课本中分别介绍了服从超几何分布（Hyper-Geometric Distribution）與二项分布（Binomial Distribution）两种离散型随机变量的概率分布。教材从应用角度构建实例，从具体情境中让学生认识模型，理解模型所描述的随机变量的特点，通过模型的理解来解决一些实际问题。课本中对超几何分布的模型这样来描述：若有N件产品，其中有M件是废品，无返回地任意抽取n件，设其中恰有的废品件数为X，则X服从超几何分布。而对二项分布模型的描述是举了射击问题，通过独立重复的射击问题来建立服从二项分布的随机变量模型。教材没有对这两个分布的期望与方差的得出给出明确的说明，也未对两种分布的联系与区别加以辨析。本文从这两个角度对这两个分布进行再研究。

一、两个分布的期望与方差

为更好的求解两个随机变量的期望与方差，先来看一个引理。

引理：DX=EX2-（EX）2.

）

命题1：如果，那么，，这里。

证明：因为

所以

=np（p+q）n-1=np

由引理得

而

（注：）

所以

。

命题2：如果随机变量ζ服超几何分布，且，其中，则，.

证明：（1）期望的证明

1.若n≤M，则X的分布列为：

X 0 1 2 …… k …… n

P …… ……

则

因为，

所以

又

所以

。

2.当n>M，同理可证。

（2）方差的证明

因为

所以

。

二、两个分布的区别与联系

从式子特点上来分析，两种分布的概率密度求取有截然不同方式，表达式也完全不同，但我们知道，若随机变量服从超几何分布与二项分布，它们的取值都是取自然数值的离散分布，且从其的概率分布表，也能够发现在构造上有相似的特点，如：随机变量X的取值都从0中间不间断即连续变化到m，m是n和M中的较小值，即，显然每个值对应概率和M，n，m三个值密切相关……从而可以发现两种分布之间除了表面形式上的区别外，内丰一定有着密切的联系。

我们将超几何分布的概率模型做如下修改：在含有M件是次品的N件产品，任意抽取1件，抽取以后计算其概率，将产品放回，连续的抽取n次。则在这n次中，次品的数量X是服从二项分布的。从而可以看出，要具体描述两种分布的差别的话，就在于“有”或者“无”的差别，只要将概率模型中的“无”和“有”进行修改，两种分布在一情境中就可以实现转化。而其中的关键就是“返回”和“不返回”。

例如：某校高一（3）班的元旦晚会设计了一项摸球游戏：在一个口袋中装有15个红球、25个白球，这些球只有颜色不同，其他外完全相同。一次从中摸出6个球，摸到5个红球1个白球就是一等奖，求获一等奖的概率.显然本题中摸的球没有放回，则摸出球中的红球个数X服从超几何分布。但是如果将“一次从中摸出6个球”修改改为“摸出一球记下颜色，重新放回后再摸一球，重复5次”，则在5次摸球中摸出球中的红球个数X将不再服从超几何分布，而应是服从二项分布。

我们分别按公式来计算这两种分布所对应的概率：

从上述概率分布表中，我们可以发现两种分布的概率差别并不大。若将题中的条件扩大为100个红球，200个白球，则对应的概率分布为

这时我们可以发现两种分布的概率大小差异进一步缩小。

样本个数越大超几何分布和二项分布的对应概率相差就越小。

如果当样本个数为无穷大时，超几何分布和二项分布的对应概率就会近似的相等，也就是说从极限的角度，超几何分布的极限就是二项分布。

三、解题示例

例1：（2012年广东理）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50]，[50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]。

（I）求图中x的值;

（II）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ζ，求ζ得数学期望。

解析：（I）易得x=0.018

（II）从图表中可以看出，成绩大于或等于80分的学生所占的频率为0.24，成绩大于或等于80分的学生人数为12人，成绩大于或等于90分的学生人数为3人。由题意可知，ζ的取值为0，1，2.且ζ服从超几何分布.则。

或者直接计算可得分布列.