从一道模拟题的多解谈解三角形的一轮复习

洪汪宝

(安徽省安庆市第一中学 246004)

题目已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2sinAcosB-sinBcosC=sinCcosB.

(1)若a,b,c成等比数列，试判断△ABC的形状；

(2)若a=2,c=3，点D在边AC上，且BD平分∠ABC，求BD的长.

本题是我校2020届高三第三次模拟考试的理科第17题，主要考查三角恒等变换、特殊角的三角函数值、等比数列的定义、正弦定理、余弦定理等多个知识点，对学生的逻辑推理能力和运算求解能力要求较高，要求学生具备扎实的逻辑推理素养和数学运算素养.

一、解法探究

1.第(1)小题的解法

由a,b,c成等比数列知b2=ac.

方法2由余弦定理知b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c时，b2=ac，因此△ABC是等边三角形.

点评解法1直接利用余弦定理并整理得到完全平方式；解法2利用重要不等式，巧用取等条件，将解三角形与重要不等式相结合，是我们常见的一个综合点；解法3发现所给等式的两边均为二次，利用正弦定理，将边化为角，再利用三角恒等变换，对学生的运算求解能力要求较高；解法4引入公比q，实际上是为了消元，将多元化为一元，体现了转化与化归思想.

2.第(2)小题的解法

点评解法1，2，3主要都是利用正弦定理和余弦定理，思路比较自然.根据已知条件，在△ABC中，已知两边及其夹角，该三角形是唯一确定的，所以其内角平分线的长也是唯一的.解法1中出现两解，要注意取舍，而且整个计算过程比较繁琐，不少学生应用了该解法，但算出来的不多；解法2的后面利用了正弦定理，效果比较好；解法3挖掘出隐藏条件∠ADB+∠CDB=π，要注意这个模型的应用.

二、复习建议

1.理清知识要点，正确选用定理

解三角形是每年高考的必考知识点，我们在复习过程中必须理清知识要点，弄清知识要点的来龙去脉.比如说正弦定理，我们知道它反映了同一三角形的边角之间的等量关系，在一轮复习中可以设计如下的问题链：

(1)正弦定理的具体内容是什么？(文字语言、图形语言、符号语言等)

(2)如何证明正弦定理？常见证法有哪些？(作高、面积法、作外接圆、向量法等)

(4)何时利用正弦定理来解三角形？(已知两角与一边，已知两边与其中一边的对角)

(5)利用已知的两边与其中一边的对角解三角形时，要注意什么？

2.开展一题多解，促进深度学习

考试或作业时因时间有限，大部分学生解完题目就认为万事大吉了，没时间进一步思考，制约了学生的思维质量与思维层次，不利于学生思维的培养.于是要求老师在批阅试卷和作业时要注意搜集典型题目和解法，笔者在初次见到上面的题目时，感觉很平常的一道问题，但在批阅试卷时，惊喜连连，上面提供的解法基本上都是学生考试中运用的方法，只不过有的解法学生用的比较多，有的用的比较少.

3.精心组织微专题，提升复习效率

在一轮复习过程中，大部分老师都喜欢直接利用一轮复习用书，按照书上的要求进行讲解，没有自己的再加工，长此以往，学生对复习必将失去兴趣，影响复习效果.微专题教学是时下比较流行的教学方式，特别在复习课中应用比较广泛，微专题具有切口小、选题精、角度新、针对性强等特点，这样可有效抓住热点，突出重点，突破难点和易错点，从而备受广大一线教师的青睐.所以要求老师精心挑选组织微专题，微专题的选择要“微”在定点突破，“微”在精心预设，“微”在互动生成.