基于核心素养下的高中生数学运算能力的培养策略探究

柯志坚

摘 要：数学运算是高中数学核心素养的基础素养，是解决数学问题的基本途径。基于如何引导学生在解题过程中提高解题效率和准确率，文章力求从数学运算的内涵出发，尝试提出六个解决问题的策略：转化语言明确运算对象;追本溯源理解运算对象;提炼过关掌握运算法则;确定差异寻找联系探究运算思路;以逸待劳求得运算结果;检验运算结果确保准确率。

关键词：数学运算;核心素养;内涵;策略

数学运算是《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确提出的六大数学核心素养之一。数学运算作为最基础的素养之一，主要指能“在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。”熟练掌握数学运算能让学生解决基本的数学问题，并养成数学学习的基本能力。

数学学科具有一定抽象性、逻辑性、难度大，再加上课堂容量大，授课速度快等，本就超负荷运转的高中生是否具备较高的运算效率及准确率等扎实的运算功底就显得尤为重要。在课堂学习中，大部分学生在运算过程中存在运算出错或者有思路不敢运算的现象，从而导致数学学习困难。学生为什么总会在运算上出问题呢？总结原因就是运算的环节没有落实到位。为了能使学生的运算能力得到有效提升，谨以三道题的运算为例，从数学运算的内涵提出以下六个策略。

题目1：普通高中教科书人教A版（2019）必修第一册P87第13题

（1）求函数f（x）=x3-3x2图像的对称中心。

解：函数y=f（x）的图像关于点（a，b）成中心对称图形的函数y=f（x+a）-b为奇函数。

又y=f（x+a）-b为奇函数x∈R，都有f（-x+a）+f（x+a）=2b

设函数f（x）=x3-3x2图像的对称中心为（a，b）x∈R，都有f（-x+a）+f（x+a）=2b

由f（-x+a）+f（x+a）=2b得：（-x+a）3-3（-x+a）2-[（x+a）3-3（x+a）2]=2b

化简得到：x∈R，（6a-6）x2+（2a3-6a2）=2b

∴6a-6=02a3-6a2=2b解得：a=1b=-2，∴函数f（x）图像的对称中心为（1，-2）

题目2：判断函数f（x）=log3（9x+1）-x是奇偶性。

依题意知f（x）的定义域为R

解法1：f（-x）=log3（9-x+1）+x=log39x+19x+x=log3（9x+1）-log332x+x=f（x）

解法2：f（-x）=log3（9-x+1）+x=log319x+1+2x-x=log39x+19x+log332x-x=log39x+19x+log332x-x=log39x+19x·9x-x=log3（9x+1）-x=f（x）

解法3：f（x）-f（-x）=log3（9x+1）-log39x+19x-2x=log3（9x+1）·9x9x+1-2x=log332x-2x=2x-2x=0

題目3：已知α、β为锐角，sinα=513，cos（α-β）=35，求cosβ。

解法1：“消元法”：因为α、β为锐角，sinα=513，∴cosα=1-sin2α=1213

又cos（α-β）=35由两角差的余弦公式得：cosαcosβ+sinαsinβ=35，

即1213cosβ+513sinβ=35，将sinβ=3×1325-125cosβ代入cos2β+sin2β=1中，

1352cos2β-2×3×12×1325×5cosβ+（3×13）2-252252=0即1352cos2β-2×3×12×1325×5cosβ-64×14252=0

135cosβ-1625135cosβ-5625=0，解得：cosβ=1613或cosβ=5613

解法2：“构角法”：由cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=35cosα+513sin（α-β）

因为α、β为锐角，sinα=513，∴cosα=1-sin2α=1213

∴α-β∈-π2，π2，sin（α-β）=±1-sin2（α-β）=±45

当α-β∈-π2，0时，sin（α-β）=-45，cosβ=35×1213+513×-45=-1665

当α-β∈0，π2时，sin（α-β）=45，cosβ=35×1213+513×45=5665

基于上面三个例题，提出以下六个提高运算能力的策略。

一、 转化语言明确运算对象

明确运算对象就是指要看清、看准运算对象，如果对象看不清楚，后续的运算都是徒劳。为了解决这个问题，应注重引导学生审题时除了标记重要的内容或数据外，争取充分利用三种不同的语言（文字、符号、图形）表达形式对同一个数学问题进行互译转化，并对它们之间的关系所表达的含义进行认真分析、反复思考、仔细推敲，以求更深入地理解题意、揭示联系，发现问题的本质并找到解决问题的最佳途径，从而使问题变得简单、易于理解，这就为接下来的数学运算做好了预备工作。

如题目1，我们知道，函数y=f（x）的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：

分析：这道题绝大多数学生没有不理解题意，主要是对题目中的文字语言所表达的奇函数的定义和对称中心的内涵没理解。这样一来就谈不上数学运算了，事实上是学生可以根据题目中奇函数的定义和对称中心为P（a，b），分别用图形语言表示，即用草图1和草图2表示y=f（x）

“函数y=f（x）的图像关于点（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x+a）-b为奇函数。”通过对比y=f（x）与y=f（x+a）-b形式，学生易发现，将y=f（x）的图像向左平移a（a>0）个单位或向右平移|a|（a<0）个单位，再向下平移|b|（b<0）单位得到y=f（x+a）-b的图像。即可以发现图2就是y=f（x）的图像，图1就是y=f（x+a）-b的图像。因此学生就可以顺畅理解题目中学生的推广。这就完成了数学运算的预备工作了。但要求函数f（x）=x3-3x2图像的对称中心学生还是无从着手。其实由y=f（x+a）-b为奇函数，用符号语言表示得到：x∈R，都有f（-x+a）+f（x+a）=2b，整理得：x∈R，都有f（-x+a）+f（x+a）=2b，这就完成了数学运算的预备工作了。