基于Daubechies小波基的木材声学振动信号分析与评价

尹玉雪,苗媛媛,万珂,王秀雅,翟学勇,刘镇波

(生物质材料科学与技术教育部重点实验室(东北林业大学),哈尔滨 150040)

木材是一种环境友好型材料[1]，并且具有音色优质以及音响特性良好等特点，常被用于乐器音板的制造[2]，木质材料的声学振动性能在很大程度上决定着乐器的声学品质[3]。虽然我国林业资源十分丰富，树木种类较多[4]，但可用于制造乐器音板的木材比较紧缺。一般优良的乐器音板要求具备比动弹性模量大、密度适中、传声速度快、声辐射品质常数大、内摩擦能量损耗低、声阻抗小等特性[5-6]。前人对声学技术在木材科学领域的应用方面做出了显著成绩，但仍有一些问题需要进一步研究。乐器音板的振动性能直接决定着乐器产品的质量，如何有效地评价音板的声学振动性能是一个重要的研究课题。目前主要采用动态弹性模量、比动态弹性模量、声辐射品质常数、声阻抗以及对数衰减率等参数来评价乐器音板木材的声振动特性，很少涉及乐器木材在振动信号方面的定量研究。因此，笔者通过对乐器木材振动信号进行处理与分析，并与木材声学参数评价指标建立联系，为乐器木材的评价提供一个新思路。

振动信号分析是一门新兴的技术科学，目前，木材振动信号的分析主要局限于快速傅里叶变换[7]，由于快速傅里叶变换是一种全局变换方法，只能选择对整个时域或者频域进行分析，不能显示信号时频局部化[8]，且不适用于突变和非平稳信号的分析；虽然短时傅里叶变换和小波变换克服了快速傅里叶变换的不足，但是短时傅里叶变换的窗口是固定的，因此无法满足非稳态信号变化的频率需求[9]。小波变换分析窗的面积是固定的，在高的时间分辨率处，它的频率分辨率较差，因此对于包含许多中、高频率的非平稳时变信号的频率分析结果不理想，为了克服这一缺点，在小波变换的基础上相关学者提出了小波包变换，对信号的高频部分进行更精细的分解[10-11]，因此小波包变换具有更好的时频分析能力。赵东等[12]应用小波包-能量法提取木材声发射信号特征值，有效地分析了声发射信号特征向量和木材缺陷之间的映射关系。Zhu等[13]采用小波变换和模态分析相结合的方法，通过分析小波包分解的能量谱来识别人造板缺陷的位置和程度。徐锋等[14]将小波包分析与能量谱相结合，提出基于时频和频段能量占比的胶合板声发射信号特征提取方法，以达到识别胶合板不同损伤类型的目的。董红平等[15]依据应变能释放产生的声发射信号特征，提出一种基于信号瞬时频率的声发射辨别方法，以达到从能量的角度客观评价木材损伤程度的目的。王鑫等[16]将小波包能量谱和结构振动测试应用于古木结构的损伤预警中，通过能量谱的变化可以定量地描述损伤的状态。从前人的研究可以看出，小波分析和小波包分析等先进的信号处理技术在木材的声发射信号、木质材料缺陷信号的分析中有较为深入的应用，但在乐器木材振动信号方面的应用较少开展。

木材传声与辐射声能的基础是振动，从木材或音板上采集到的振动信号含有丰富的信息，如何对其进行深入分析对木材声学振动特性的研究具有积极的意义。本研究结合小波包分析方法，对乐器木材振动信号的时域和频域信号进行定量研究，得出信号的能量特征规律，并与木材声学参数指标建立联系，以期实现对乐器木材声学性能的客观评价。

1 材料与方法

1.1 试验材料

泡桐(Paulownia)木材由企业提供，树龄在30 a左右，所选素材均为泡桐心材径切板，表面纹理通直、无腐朽、无结疤，将素材的尺寸截取为300 mm(纵向)×30 mm(径向)×10 mm(弦向)，共18块；将试件放入恒温恒湿箱的环境下(20 ℃，65%相对湿度)平衡含水率1个月后取出，使试件含水率保持在12%左右，试件的气干密度为0.213～0.314 g/cm3。

1.2 试验方法

1.2.1 木材声学性质测定

木材振动性能测试：基于梁的振动理论，采用双端自由的边界条件，应用日本小野测器(ONO SOKKI)生产的双通道快速傅里叶变换分析仪FFT(CF-5220Z)，在试件的基频振动节点处(距试件端头长度为总长度的0.224倍)，用泡沫三角架将试件水平撑起，利用刀片给试材一定的激励，利用微音器收集其声学信号，得到试件的时域以及频域信息，记录试件振动信号前5阶峰值对应频率。试验原理示意图如图1所示。再根据式(1)～(5)计算出试件的动态弹性模量(E)、声辐射品质常数(R)等反映木材声学振动性能的参数[17]。

图1 木材共振频率测定试验原理Fig. 1 Schematic diagram of the experimental principle of wood resonance frequency determination

通过弯曲共振法测得的动态弹性模量(E)计算公式为：

(1)

式中：ρ为试件密度；L为试件长度；f为试件弯曲共振频率；m为振动阶数所决定的系数；T为试件厚度。

木材长度方向的声传播速度(v)计算公式为：

(2)

声辐射品质常数(R)表示木材及其制品向周围空气辐射声功率的大小，可评价材料的声辐射能力，其计算公式为：

(3)

对数衰减率(δ)表示木材因摩擦损耗所引起的能量损耗，自由振动时：

(4)

式中，A1和A2为两个连续振动周期的振幅。

声阻抗(ω)是表征介质性质的重要物理量，其计算公式为：

ω=ρv

(5)

1.2.2 小波包分析

小波包分析是小波分析的延伸，其基本思想是使信号的信息能量集中，为信号提供一种更加精细的分析方法[18]。小波包变换中的Daubechies系列小波是目前工程应用最广泛的、最成熟的正交连续且紧支撑的小波函数族。Daubechies小波是由小波分析学者多贝西提出的二进小波函数，用dbN表示(N为小波的阶数)。由于其尺度函数为低通函数且长度有限，因此Daubechies小波具有低通滤波器的特性，又因木材的能量主要分布在低频段，所以在本研究中选择Daubechies小波基符合木材振动信号的特点。基于Daubechies小波基对木材振动信号进行小波包分析，主要是利用小波包能量的分解与重构，将隐含的木材振动信号的特征分量提取出来，并将其映射到不同的频带上，通过对比分析不同频带能量分布的情况，可以体现不同木材振动信号的差异性，从而获取不同木材振动信号的特征与其声学性能之间的定量关系。

对信号S(t)进行小波包分解后，在第i分解层可得到2i个子频带，S(t)的表达式为：

(6)

式中：S(t)为总信号；fi,j(tj)是将木材振动信号小波包分解到相应节点(i,j)上的重构信号，其中，j=0,1,2,…,2i-1(i=1,2,3)。

由式(6)和巴什瓦(Parseval)定理可以得出第i层信号中的能量，其表达式为：

(7)

式中：i、j分别表示小波包分解的层数和采样点数；Ei,j(tj)表示信号在第i层第j个节点处的小波包子频带能量，其中，mj,k(j=0,1,2,…,2i-1;k=1,2,…,l)表示木材振动信号分解后得到的重构信号fi, j(tj)离散点的幅值，在分解的第i层，有2i个子频带。

峭度因子(K)和峰值因子(C)是对振动信号进行时域处理最常用的无量纲参数指标，通过MATLAB软件输入相应程序可直接计算出来。峭度因子通常用于检测振动信号中的冲击成分，其定义为：

(8)

(9)

峰值因子可表示振动信号的峰值在波形中的极端程度，其定义为：

(10)

式中，xp为振动信号的峰值。

木材振动信号的处理：笔者选用应用较多的dbN小波函数系，它的优点是随着N值的增加，支撑长度变长，频率局部性变好，同时其滤波器长度增加，但随着N值的变大，dbN小波系的计算量呈指数增加，因此，在本试验中选用db4[19]小波对木材振动信号作3层小波包分解。在MATLAB的Wavelet Toolbox中用db4小波对木材时域振动信号进行3层小波包变换，并对变换后的信号进行重构，获得信号在不同频段的能量分布。测试选取的频宽为8 kHz，信号的采样频率为频宽的2.56倍，即20.48 kHz，把振动信号经过3层小波包分解，将振动信号划分为8个等带宽的频段，所以式(7)中的i=3，振动信号的采样点数j=2 048，并对第3层的系数进行重构，以重构信号小波包系数能量值作为研究对象，提取信号在不同频段的能量特征分量，计算各子频带能量的占比，滤掉其他分量的干扰信号，得到信号特征与木材声学参数之间的相关性，进而分析其与木材声学性能之间的关系。

2 结果与分析

2.1 时域信号分析

木材以及木质复合材料都是具有弹性的固体材料，因此声波在木材中的传播与木材的弹性应变有关。动态弹性模量是木材以及木质复合材料的重要物理性质，与弯曲振动的共振频率和纵波传播速度均具有明确的函数关系，进而可以计算出表征木材振动特性的主要参数，如比动弹性模量、声辐射品质常数以及声阻抗等。动态弹性模量越大表示储能模量越高，内摩擦能量损耗越小，用于声辐射的能量越大，声振动的转换效率越高，所以动态弹性模量是评价材料声学性能好坏的重要参数，通过动态弹性模量可以直观地评价乐器音板木材的优劣。根据木材振动信号波形的特点，在时域内选择了与泡桐木材动态弹性模量相关性较好的参数(峭度因子和峰值因子)作为特征。振动信号的时域特征参数与泡桐木材动态弹性模量之间的关系见图2。

图2 动态弹性模量与时域信号指标之间的关系Fig. 2 The relationship between dynamic elastic modulus and time-domain signal indicators

峭度是反映振动信号分布特性的数值统计量，可由式(8)计算得出，用来表示波形的平缓程度。正态分布的峭度值以3为界限，峭度大于3时分布曲线较“陡”，小于3时曲线较“平”。观察图2可知，随着时域信号峭度因子的增加，木材动态弹性模量逐渐减小，峭度因子的增大表明振动信号中冲击成分增多，信号波形衰减相对较快一些，振动持续时间相对较短，不利于信号能量的传递。当检测木材的声学振动性能时，不同的敲击力度或者试验环境，会引起信号标准差和幅值的变化，但其比值变化比标准差和幅值变化小得多，因此，峭度因子对振动信号的敏感性相对较小，可以对不同木材的振动信号进行分类。由式(10)可计算出峰值因子，峰值因子是信号峰值与有效值的比值，有效值一般可描述振动信号的变化大小，峰值则是在某个时间内振幅的最大值，因此峰值因子代表的是峰值在波形中的极端程度，可以用来检测不同振动信号的异常。峭度因子和峰值因子均与木材动态弹性模量呈显著的相关性，相关系数分别为0.841和0.860。进一步探究峭度因子和峰值因子之间的关系可以看出，两者呈负相关关系，相关系数为-0.766，分别表示波形的平缓程度和峰值在波形中的极端程度。当峭度越大时，表示振动信号中的冲击成分越多，信号波形衰减快则不利于信号能量的传递，因此会减少声振动能量的转换效率；峰值对应频率点上的信号能量，峰值越高能量越高，则信号转换为声振动的能量越多。在乐器选材时，根据时域信号的特征指标，可以选择时域振动信号峭度因子较小、峰值因子较大的木材，此时木材的动态弹性模量最大，为乐器的合理选材奠定了基础。

2.2 基于小波包的木材振动信号特征分析

由于不同小波基分析同一个信号会产生不同的结果，因此选择合适的小波基是进行信号处理、分析的重要环节。目前小波基的选择是根据被检测的信号成分与小波时域振荡的波形相似或匹配的程度，因此振动信号的特性是小波基选取的重要参考因素。根据振动信号处理的小波基选择经验[20-22]，在目前比较常用的和成熟的小波基中选用对称的双正交小波和有一定对称性的正交小波[23]。Daubechies小波系列(dbN)在时频域是有限支撑的，同时具有相似对称性和光滑性的特点，Daubechies小波具有低通滤波器的特性，比较适用于提取信号中的低频分量，同时，木材振动信号的能量主要集中在低频部分，在高频部分振幅衰减较快，因此选择Daubechies小波作为木材振动信号处理和分析的小波基符合木材振动信号的特点，并且其具有较好的紧支撑性、光滑性和近似对称性[24]。dbN小波函数系，随着N值的增加计算难度会大大增加，能量损失程度也有所不同，db4小波计算难度适中，并且采用db4小波进行小波包分解时原始信号能量损失相对较少，因此本研究选择db4作为小波包基。对木材振动信号进行3层小波包分解，得到8组频域分量，泡桐木材振动信号的每段频率区间如图3所示。

图3 泡桐木材振动信号的小波包重构系数图Fig. 3 Wavelet packet reconstruction coefficient graph of Paulownia wood vibration signal

通过图3分析发现，木材振动信号在第1、2两个频段占原始信号的绝大部分能量，其中0～500 Hz频段的低频分量所占的能量最大，而且最能逼近原始信号。木材振动信号经过3层Daubechies小波包分解变换之后，可计算出木材振动信号不同频带的能量占总能量的百分比，即各层信号的能量率。观察所有的样品均具有相似的规律，不同木材试件振动信号的db4 3层小波包变换能量率变化趋势如图4所示。

图4 泡桐木材振动信号小波包分解后各层的能量率Fig. 4 The energy rate of each layer of Paulownia wood vibration signal after wavelet packet decomposition

从图3和图4中可以看出，木材振动信号的不同频段能量分布广泛，但在0～1 000 Hz频带内的能量占总能量的90%以上，高频部分的能量占比很少，说明木材振动信号主要集中在低频范围内，并且能量集中，此结论与小波包重构系数得出的结论一致。

2.3 木材振动信号的能量率与声学振动参数之间的关系

时域分析能够直观地观察木材振动信号的幅值大小及变化规律，但是无法确定包含振动信号频率的关键信息，因此使用小波包变换将信号从时域转换到小波域，可得到信号的能量率特征。能量是分析信号的一个重要物理量，其意义为信号传递能力的大小。为研究振动信号的能量率对木材主要声学振动参数的影响，分析木材振动信号的能量率与木材声传播速度、动态弹性模量、声辐射品质常数、声阻抗以及对数衰减率之间的关系。小波包分解第1、2频带信号的能量率与木材声学振动性能的关系分别如图5和6所示，回归方程及相关系数如表1和2所示。

表1 小波包分解第一频带信号能量率与木材声学振动性能之间的回归方程及相关系数Table 1 The regression equations and correlation coefficients between the energy rate of the first frequency band signal and the acoustic vibration performance of wood

表2 小波包分解第二频带信号能量率与木材声学振动性能之间的回归方程及相关系数Table 2 The regression equations and correlation coefficients between the energy rate of the second frequency band signal and the acoustic vibration performance of wood

由图5和6分析可得，利用Daubechies小波基分解振动信号，把信号分解到更细的频段，从信号在不同的频段占整个信号的能量率去分析各频段信号与木材声学参数的关系，并把能量率作为描述信号的特征向量，降低了信号的维数；同时，泡桐木材的振动信号能量主要集中在低频带，Daubechies小波基比较适用于提取信号的低频分量，Daubechies小波基的选取符合泡桐木材振动信号的特点。泡桐木材振动信号在0～500，>500～1 000 Hz这两个频带中，信号的能量特征与声学参数之间的变化规律相似。振动信号的能量率与声传播速度、动态弹性模量和声辐射品质常数之间呈显著正线性相关，随着信号能量率的增加，木材声传播速度、动态弹性模量和声辐射品质常数均呈现小幅度增加的趋势；振动信号的能量率与声阻抗和对数衰减率呈负线性相关，相关系数相对较小，随着信号能量率的增加，声阻抗和声衰减系数则呈现小幅度下降的趋势。这可能是由于木材的纹理角度、生长轮宽度、晚材率以及是否有缺陷等因素对其声学振动性能产生一定的影响。由前人研究[25-28]可以得出，适宜的木材晚材率(15%～28%)和生长轮宽(1.0～1.5 mm)，并且晚材率变异系数、生长轮变异系数越小，木材的振动性能越好。木材动态弹性模量随着纹理角度的增大而减小，即选择纹理通直的木材声能损耗较少，其声学振动性能更佳，振动信号的能量越强。这是由于纹理通直有助于振动信号的传递，传声速度的快慢直接影响木材的声辐射能力，大的传播速度易使振动更快地传递给乐器的整个音板，从而使整个音板更容易均匀地振动起来，有利于将振动传递过来的能量辐射出去，而振动效率相对较高的音板，能把入射的能量大部分转变为声能辐射到空气中去。进一步分析振动信号的能量率与木材密度之间的关系，发现两者之间没有固定的规律，相关性低，说明木材密度的大小对振动信号能量率的影响没有明显的规律。采用小波包分析方法，得出信号的能量主要集中在低频部分，在振动过程中，能量逐渐减小，振幅逐渐降低。通过以上研究得出，在乐器选材时，应该选择低频部分能量率高的木材，当能量率特征值越高时，可以得到较高的v、E和R，较小的ω和δ，这样的乐器木材具有相对较高的振动效率，说明在一定程度上可以通过分析木材振动信号的能量率指标来初步预测乐器的声学品质。

图5 小波包分解第1频带信号能量率与木材声学振动性能之间的关系Fig. 5 The relationship between the energy rate of the first frequency band signal and the acoustic vibration performance of wood

图6 小波包分解第2频带信号能量率与木材声学振动性能之间的关系Fig. 6 The relationship between the energy rate of the second frequency band signal and the acoustic vibration performance of wood

3 结 论

基于MATLAB语言环境，以Daubechies小波函数作为小波基对木材振动信号进行了小波包分析；探讨了木材振动信号频带能量分布规律以及与声学振动参数之间的相关性，得出以下结论：

1)从木材振动信号的时域特征分析可以得出，信号的峭度因子和峰值因子与木材的动态弹性模量之间呈显著的相关性，因此振动信号能量的多少以及衰减的快慢在一定程度上可以作为声学性能评价的标准。

2)木材振动信号的能量主要集中在第1、2两个频带，能量主要分布区域在0～1 000 Hz，高频部分的能量衰减速度较快。

3)木材振动信号的特征能量率与木材声学性能密切相关。声传播速度、动态弹性模量和声辐射品质常数随着信号特征能量率的增大而增大，声阻抗和对数衰减率随着信号特征能量率的增大而减小。通过Daubechies小波基对木材振动信号的分解与重构分析的结果表明，小波包分析对木材振动信号的分析是合理的，并且振动信号的能量指标可以初步预测木材的声学品质。