“APOS”理论在数学概念教学中的应用

卞家海

[摘 要]在初中数学知识体系中，数学概念是基础与重点.把“APOS”理论运用于数学概念教学中，能够引导学生经历数学概念的形成过程，提高教学效率.文章结合“一元二次方程”的教学，对“APOS”理论在数学概念教学中的应用进行了探索.

[关键词]APOS理论;概念教学;一元二次方程

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）29-0014-02

著名教育学家杜宾斯在进行数学概念教学的过程中，架构了一种全新的理论模型——AOPS模型.这一模型的基本流程是“活动阶段—过程阶段—对象阶段—图式阶段”.在这四个阶段中，其核心目标就是创设良好的情境，使学生可以在这一过程中实现自觉发现、自主建构，准确把握概念的特点.这是一个循序渐进的过程.APOS理论认为，针对数学概念的学习过程，实际上是学生的自我心理建构.在这一过程中，需要学生积极调整现有的认知结构，或者将其与外部认知结构相融合，形成新的认知结构，所以在数学概念教学中，需要教师及时恰当地引导，使学生可以亲历思维过程，这样才能够在不断建构不断反思的基础上，对概念组成图示，或者同化，或者顺应.一方面是为了解决现实问题，而另一方面也是对当前认知结构的进一步完善.APOS理论在教学数学概念的过程中具有科学性和实用性.下面结合“一元二次方程”概念的教学来论述APOS理论在数学概念教学中的具体应用.

一、基于APOS理论的“一元二次方程”四阶段教学设计

（一）第一阶段：活动阶段

活动1：一块长方形铁皮面积为5 000平方厘米，其中长为100厘米，列式求出其宽.（学生列出算式①）

活动2：在这块铁皮上的四角，各自切掉一个正方形，然后将凸出部分折起，由此形成一个无盖方形铁皮盒，假如所形成的铁皮盒的底面积为3 600平方厘米，求所截去的正方形的边长.

针对这一环节可以借助视频演示的方式带领学生体会整体和打开的过程，引导列式.（学生列出算式②）

活动3：一座高2米的人体雕像，如果上下部分的高度比等于下部和全部之间的高度比，下部应该设计为多少米？

借助多媒体将题目转化为图形，引导学生列出算式③.

（二）第二阶段：过程阶段

针对上述三个算式展开仔细观察，发现其中的异同.此时教师引导：判断算式①是否属于之前所学过的方程，由此唤醒学生的已知概念以及已有经验.在探寻异同点时，类比一元一次方程的概念，就此探讨其中包含几个未知数，未知数的最高次数是多少.

组织学生讨论，引导发现在算式①中包含1个未知数，最高次数为1，有等号，由此可做出准确判定.在算式②和③中，虽然都包含有一个未知数，但是最高次数为2，有等号，是方程.通过类比概念的方式，可以初步感知这是两个一元二次方程，能够就此掌握其所具有的三个基本属性.

（三）第三阶段：对象阶段

如何使用数学语言对其进行描述？显然对于学生而言，这一问题相对抽象，也是教学实践中的难点.可以结合小组探讨的方式，再将其与一元一次方程的描述进行类比，完成对一元二次方程的概念界定.

1.分组讨论，理解概念

小组1：根据算式②与③，将其中的数字替换成字母，由此得到[（a-bx）（c-dx）=m]或者[a-bx=cx?].很显然，通过学生的这一回答，可以发现他们并没有真正掌握一元二次方程的本质，因此不能借助本质属性完成对概念的数学描述.

小组2：类比一元一次方程[ax+b=0]，得出[ax2+bx=0]，在这一过程中.有学生提出算式②与③与这一形式并不吻合，除了包含[ax2+bx]后面还增加了一个常数，因此很多学生认为不能不算是正确的一般式.

小组3：在经历了之前两组学生的展示之后，一部分思维能力较高的学生认为，一元二次方程的一般形式应当为[ax2+bx+c=0].此时可以要求学生将算式②與③转化为这一形式，然后说一说在这个一般式中包含了几个未知数，未知数的最高次数又是多少，是不是方程.在充分考虑这些问题之后，很多学生都认为这一表达是正确的，但是并未涉及其中是否存在限定条件.

2.深入反思，深化概念

问题1：a是否可以为0？

如果a为0，这个方程就没有了二次的项.要牢记[a≠0]这一限制条件.

问题2：b、c是否可以为0？

再次强调一元二次方程的三个本质属性，此时学生发现，b或者c可以为0，由此得到[ax2+bx=0]，[ax2+c=0]，这是其特殊式.

问题3：等号可以换成大于号、小于号或者不等于号吗？

学生根据方程的定义能够了解，只有等式才能称为方程，所以“=”不能替代为其他符号.此时，教师可以对知识进行拓展，如果转换为其他符号，所得到的式子称为一元二次不等式.

3.归纳总结，内化概念

基于上述探究活动，促使学生进行自主归纳.

（1）只包含1个未知数，其中未知数最高次数为2，二次项系数不为0，

（2）一般情况下，对于任何一个关于x的一元二次方程，在经过整理之后，能够将其转化为[ax2+bx+c=0（a≠0）]，因此称为一元二次方程的一般式.

（四）第四阶段“图式阶段”

基于一元二次方程的概念组织学生进行练习.

（1）将方程[5x（x-1）=4（x+2）]转化为一般式.

（2）方程[（2a-4）x2-2x+a=0]，在怎样的条件下为一元二次方程？在怎样的条件下为一元一次方程？

（3）一扇长方形的门，高比宽长六尺八寸.对角线为一丈，求高和宽各是多少？

（4）根据方程[（16-2x）（10-2x）=112]，联系实际自主编写一道应用题.

二、基于APOS理论的“一元二次方程”四階段教学反思

在APOS理论的指导下，在教学“一元二次方程”这一概念的过程中，严格遵循四个阶段组织概念教学，既实现了循序渐进，也带领学生亲历具体的概念形成过程，体验生动多维的思维活动，深化对概念的认知和了解，顺利实现对概念的建构.

在数学这门学科中，抽象是其中一个最为关键的特点，形象化的表述方式更突显了这一特质，所以对于师生而言都需要经受抽象的考验，如果不能有效解决这一问题，很显然不能完全理解数学知识，但是如果以此为由，抹去原本的现实背景，实际上这也是片面认知.因此，不仅要为学生搭建良好的平台，使学生体验数学的发生以及发展过程，也应当创设合理真实的情境，这样的数学教学才不会仅停留于活动层面，才不会放弃对抽象数学的追求，体会其独有的美感.

1.基于问题情境，设计数学活动

针对学生活动的设计，需要配以相应的问题情境，而这一情境，既要能够揭示数学知识的现实背景，也要能够展现具体的形成过程，更要能够与学生现阶段的学习水平以及心理建构能力相吻合，只有学生在活动过程中拥有充足的体验，才能够激发其主动学习的兴趣.

2.关注概念形成，培养数学思维

在数学这门学科中，数学思维方法是揭示知识产生的关键所在，同时也是促进思维架构概念的关键主线，需要教师基于学生的学习过程给予相应的提示和建议，引导学生在总结中完成归纳，通过巧妙灵活的设计能够就此激发学生的反思，使学生可以顺利完成，由活动、过程向对象这一阶段的过渡.

3.坚持循序渐进，提升创新能力

对于任何一个数学概念而言，从过程发展到对象，其间需要经过多次反复，需要经历一个漫长的循序渐进的过程.在建立对象时，必须要保障简练的语言形式以及符号表达，这样才有助于学生架构直观的结构形象.当然对于这一理论而言，也不需要在一堂概念教学中展现所有的阶段，也并非需要经历所有阶段.

APOS理论是依托于数学概念而建构的教学理论，基于教学实践，让我深刻地体会到自身角色以及任务的转变.在这一过程中，教师不是独奏者，也不是知识的传授者，而是为学生搭建平台，引领学生主动发现，主动学习，师生共建伙伴关系，能够营造轻松愉悦的学习氛围，能够表达个性、放飞自我，从而促进创新能力的进一步提升.

总之，基于教学本课的实践经验，我深刻地体会到了教师这一身份的转变，同时转变的还有教学任务，我们教师是学生学习平台的搭建者，是学生思维的引领者，是学生学习的最佳伙伴.希望在教师的引领下，能够营造愉悦的氛围，能够促使学生展现自我、发展个性，促进学生创新能力进一步提升.

[   参   考   文   献   ]

[1]  佟亮亮.APOS理论视角下数学概念教学模式的探究[D].长春：东北师范大学，2013.

[2]  乔连全.APOS：一种建构主义的数学学习理论[J]. 全球教育展望，2001（3）：16-18.

[3]  王学沛，李尚莹.数学教育实践中实施素质教育的问题及其解决[J].数学教育学报，2003（4）：59-62.

[4]  刘兼，黄翔，张丹.数学课程设计[M].北京：高等教育出版社，2003.

（责任编辑 黄桂坚）