多环谐振微陀螺结构参数对性能的影响分析

谷留涛，张卫平，冯 军

（微米纳米加工技术国家级重点实验室，上海交通大学 电子信息与电气工程学院微纳电子学系， 上海 200240）

微机电(Micro Electromechanical System, MEMS)谐振陀螺仪因其体积小、功耗低、可批量制造等优势，在消费电子、工业和航天领域越来越受到青睐[1]。在各种MEMS 谐振陀螺仪中，盘形谐振微陀螺仪（Disk Resonator Micro-gyroscope, DRG），特别是多环谐振微陀螺仪（Ring-like Disk Resonator Gyroscope, RDRG），由于谐振器结构的对称性、低锚定损耗、大模态质量和对外部振动的免疫力而受到了广泛的关注[2-4]。目前常见的设计高性能多环谐振微陀螺的思路主要分为两种：（1）不改变多环谐振微陀螺的拓扑结构，仅改变其结构参数，实现性能的提高。辐条长度对多环谐振微陀螺的性能具有一定的影响[5]，斯坦福大学通过有限元仿真分析了环宽、环数、辐条角度、辐条宽度对多环谐振微陀螺谐振频率和品质因子的影响，并通过加工制造样机的方式证明了结构参数优化提升陀螺仪性能的可行性[6]。国防科技大学提出了一种基于改进粒子群算法的多环谐振微陀螺结构优化设计方法，解决了多参数在固定情况下的优化问题[7]；（2）改进多环谐振微陀螺的拓扑结构使其达到更高的性能。在环形谐振微陀螺的拓扑优化方面，国内的上海交通大学、国防科技大学、苏州大学分别提出了齿轮环、蜂窝状环[8]和蛛网状环形结构[9]，增加了环形谐振微陀螺对径向误差和制造误差的免疫力，降低了微陀螺的频率裂解，提高了机械灵敏度。

为了进一步提高多环谐振微陀螺的性能，需要更加全面地了解其结构参数对关键性能的影响。本文采取控制变量的方法研究了各个结构参数对微陀螺谐振频率、品质因子、有效质量、角度增益、机械灵敏度和机械热噪声的影响，并对其进行了理论解释，提供了多环谐振微陀螺结构设计的合理建议。

1 结构与理论分析

1.1 基本结构

多环谐振微陀螺整体上是全对称的二维平面结构。其中，中央锚点为圆盘形状，位于整个陀螺的中心位置，并固定于下面的基底上；相邻谐振环之间以及最内层谐振环和中央锚点之间都通过相间分布的辐条连接；谐振环和辐条为悬空结构，与中央锚点一起构成谐振子；外围有16 个周期分布的电极，电极与最外层谐振环之间留有一定间隙，从而形成若干组电容器，这些电容器可以用于驱动、检测和调谐等。微陀螺模型结构参数标注如图1，包括谐振子半径R，中央锚点半径r，谐振环宽度Wr，辐条宽度Ws，辐条长度Ls，谐振子厚度H，电容间隙d0，谐振环数目N。

图1 多环谐振微陀螺结构参数示意图Fig.1 Structure parameters schematic of disk resonator gyroscope

1.2 机械灵敏度

机械灵敏度定义为检测轴方向的振动幅值与输入角速度之比，它表示微陀螺在结构上对于输入角速度的灵敏性，单位为m/(rad/s)。由于加工误差，驱动轴和检测轴的刚度和阻尼并不完全一样，从而导致驱动模态和检测模态的不对称性。根据微陀螺动力学方程可以推导出存在频率裂解情况下的机械灵敏度表达式：

其中，Ag表示微陀螺的角度增益，meff表示有效质量，F 表示驱动力大小，wA和wB分别表示驱动和检测模态的谐振角频率，QA和QB分别表示驱动和检测模态的品质因子。当不存在频率裂解时(wA= wB)，机械灵敏度达到最大：

其中，w0表示不存在频率裂解时的谐振角频率，满足：w0= wA= wB；Q 表示不存在频率裂解时的品质因子，满足：Q = QA= QB。

1.3 机械热噪声

机械热噪声的物理机制是布朗运动，由分子碰撞引起。根据涨落耗散定理机械热噪声对于微陀螺的影响可以等效为一个随机的、高斯分布的、平均值为零的涨落力。这个力的谱密度可以表示为式(3)[10]，其单位是

其中，KB是玻尔兹曼常数，为1.38065×10-23J/K；γ 是阻尼系数，驱动模态和检测模态分别取γA、γB。该力会对微陀螺驱动轴和检测轴的运动均产生影响。驱动轴的位移可以由驱动电压控制并保持在恒定的幅值，因此机械热噪声对于驱动轴的影响可以忽略。可以得到检测轴方向布朗运动位移的谱密度，如式(4)所示，其单位是

于是，机械热噪声的影响可表示为一个额外的输入角速度，这个角速度的谱密度大小可以由式(5)求得，其单位是

当不存在频率裂解时，机械热噪声的大小为：

2 结构参数对性能的影响

为了研究各个结构参数对微陀螺性能的影响，采取控制变量的方法：改变其中某一个结构参数的值，并保持其他结构参数不变，然后对比其性能参数（谐振频率f0、品质因子Q、有效质量meff、角度增益Ag、机械灵敏度Smech和机械热噪声Ωmech）。谐振频率、品质因子、有效质量、角度增益都可以由COMSOL 单独求解，其中品质因子用热弹性品质因子QTED表示。这里仅考虑结构参数对性能的影响，暂不考虑由于结构不对称导致的频率裂解，因此机械灵敏度和机械热噪声分别由式(2)和式(6)求解。驱动力大小F 由电路控制，与施加的电压大小和驱动方式有关。由于本文仅考虑结构对性能的影响，因此在计算机械灵敏度和机械热噪声时可以假设驱动位移为定值，这里取1 μm。

2.1 谐振子宽度（Wrs）的影响

谐振子宽度是指组成谐振子的谐振环和辐条的宽度，假设两者具有相同的宽度，记为Wrs。将谐振子宽度由10 μm 变为50 μm，得到的结果绘制于图2(a)。随着谐振子宽度变大，谐振频率变大，品质因子变小，有效质量增大，角度增益几乎不变，机械灵敏度降低。机械热噪声并非单调变化，且变化幅度不大。整体而言，谐振子宽度较小时的机械热噪声更小。虽然谐振子宽度变大可以增大有效质量，但由于其他性能降低太多，最终导致机械灵敏度和机械热噪声变差。因此，要提高微陀螺的整体性能应该尽量减小谐振子宽度。然而，由于微加工技术的一些限制因素（如加工精度的限制、加工过程中的散热问题等），谐振子宽度不可以无限制地缩小。需要根据实际加工条件，设计合理的宽度。此外，过窄的谐振子在加工过程中有可能出现断裂，在工作过程中的抗冲击能力也会降低。

图2 谐振子宽度和厚度对性能的影响Fig.2 Influence of resonator width and thickness on performance

2.2 谐振子厚度(H)的影响

谐振子厚度H 对微陀螺性能的影响如图2(b)。可以看出，谐振子厚度对谐振频率和角度增益几乎没有影响，且对品质因子和机械灵敏度的影响很小。不过随着谐振子变厚，有效质量变大，机械热噪声变小。这说明，谐振子厚度并不是影响性能的主要因素，不过在加工条件达到要求的情况下，应该尽量设计较厚的谐振子。这里的加工条件主要是指刻蚀深宽比，由于在电容间隙一定的情况下，谐振子越厚，则要求更大的刻蚀深宽比，然而过大的刻蚀深宽比并不容易实现。

2.3 谐振环宽度（Wr）和辐条宽度（Ws）的影响

前面讨论了在谐振环和辐条宽度相等的情况下，谐振子宽度对性能的影响。然而谐振环和辐条宽度对微陀螺性能的影响不一定相同。因此有必要分别对两者的影响进行研究。谐振环宽度和辐条宽度的影响如图3 所示。可以看出，谐振环宽度或辐条宽度对角度增益均无影响。两者宽度变大会导致谐振频率变大、品质因子变小、机械灵敏度降低、机械热噪声增大，其中辐条宽度对这些性能的影响相对较小。此外，谐振环宽度变大可以较明显地增大有效质量，而辐条宽度的变化几乎对有效质量无影响，这说明谐振子的有效质量主要由谐振环决定。

图3 谐振环宽和辐条宽度对性能的影响 Fig.3 Influence of ring width and spoke width on performance

2.4 中央锚点半径（r）的影响

中央锚点的尺寸决定了整个谐振子固定部分所占的比例，该比例可以用中央锚点半径与谐振子半径之比AOR 来表示：

在谐振子半径一定的情况下，中央锚点半径变化会影响 AOR 的大小。将中央锚点半径设置在0.4 mm～2.4 mm 的变化范围内，并观察各性能参数的变化，如图4(a)所示。随着中央锚点尺寸的变大，谐振频率增大、品质因子减小、有效质量增大，角度增益几乎不变，且机械灵敏度和机械热噪声均减小。

图4 中央锚点半径和谐振子半径对性能的影响Fig.4 Influence of center anchor radius and resonator radius on performance

2.5 谐振子半径（R）的影响（r 不变，AOR 变化）

谐振子半径也是微陀螺的一个关键结构参数。这里先讨论在中央锚点半径不变时谐振子半径的影响，注意，此时AOR 是变化的。如图4(b)，随着谐振子半径的增大，微陀螺的整体性能将得到提高，主要表现在品质因子增大、有效质量增大、机械灵敏度增大、机械热噪声减小。同时还可以观察到谐振子半径对角度增益几乎没有影响。因此要提高微陀螺的性能，可以增大谐振子半径。然而需要注意的是，谐振子半径将直接决定微陀螺整体尺寸，由于MEMS 小尺寸的要求，谐振子半径不能太大。此外，对比中央锚点半径和谐振子半径对微陀螺性能的影响可以发现，谐振子半径的影响更明显。

2.6 谐振子半径（R）的影响（AOR 不变）

前面分别分析了中央锚点半径和谐振子半径的影响，但这两者单独变化时会使得AOR 发生变化，不能观察出在AOR 不变时谐振子半径的影响。这里将AOR 设置为定值（AOR=0.45））并讨论此时谐振子半径的影响，如图5(a)所示。通过对比图4(b)与图5(a)可知，AOR 一定或r 一定时，谐振子半径对微陀螺性能的影响趋势是相似的，且影响均较大。这进一步说明，与中央锚点半径相比，谐振子半径对微陀螺性能的影响大得多。

2.7 谐振子环数（N）的影响

谐振子由同心的圆形谐振环嵌套而成，因此谐振环数目也可能对性能产生影响。将谐振环数目由3 变为25，并将结果绘制于图5(b)。

图5 谐振子半径（AOR 不变）和谐振环数目对性能的影响Fig.5 Influence of resonator radius (AOR unchanged) and ring number on performance

谐振频率和品质因子受谐振环数目的影响较小，且两者的变化均不是单调的。随着谐振环变多，有效质量变大，且角度增益几乎不变。机械灵敏度的变化也不是单调的，且变化较小。机械热噪声随着谐振环数目的增加会逐渐降低。需要注意的是，随着谐振环数目增大，谐振环之间的间隙会逐渐变小，这同样会受到刻蚀深宽比的限制，因此需要综合考虑性能和工艺条件，设计合理的谐振环数目。

3 结构参数对性能影响的解释

通过上述分析可知，多环谐振微陀螺的热弹性品质因子QTED与谐振频率之间存在密切联系，这与Zener 热弹性阻尼理论[11]十分相似。因此多环谐振微陀螺的热弹性阻尼可能与Zener 热弹性阻尼理论存在一定联系。将多环谐振微陀螺的热弹性品质因子和谐振频率的仿真结果与Zener 热弹性阻尼理论绘制于同一张坐标图上，如图6 所示。为了便于观察，图中每个结构参数只显示4～6 个取值。可以看出，多环谐振微陀螺的热弹性品质因子可以与Zener 曲线很好地拟合。这说明多环谐振微陀螺的热弹性阻尼可以用Zener 热弹性阻尼理论来近似。

图6 Zener 曲线与多环谐振微陀螺热弹性阻尼的对比Fig. 6 Comparison of Zener curve and thermoelastic damping of disk resonator gyroscope

增大谐振环宽度或辐条宽度会增加谐振子实际质量，因此有助于增大有效质量。同时这也导致有效刚度明显增加，最终谐振频率增大。此外，由于谐振子在弯曲方向的宽度变大，热弛豫时间增大。这使得微陀螺工作在更靠近德拜峰的位置，从而品质因子降低。根据式(2)，机械灵敏度随之降低。根据式(6)，机械热噪声与成反比，由于有效质量增大、谐振频率增大、品质因子降低，三者乘积并不一定呈现单调变化，因此机械热噪声的变化也不一定是单调的。

当谐振环和辐条宽度不变时，其他结构参数的变化几乎不会对热弛豫时间产生影响，此时谐振频率与品质因子具有相反的变化趋势。根据式(2)，机械灵敏度与成正比。因此只要降低谐振频率就能提高机械灵敏度。这些结构参数对谐振频率的影响如下：中央锚点变大会使得微陀螺被固定的部分变多，从而谐振频率增大；谐振子半径增大会使得微陀螺尺寸变大，从而更容易起振，即谐振频率降低；谐振环数目变多一方面会增大微陀螺的实际质量，从而使得有效质量增大，另一方面也会增大有效刚度，因而此时谐振频率并不是单调变化。机械热噪声由于与0w Q 成反比，因此也不会呈现单调变化。此外，环形谐振陀螺的角度增益约为0.4，这一结论同样适用于多环谐振微陀螺，因而角度增益不会随着结构参数发生变化。有效质量的增加主要是因为这些结构参数的变化增加了微陀螺的实际质量。

4 结 论

本文使用有限元方法分析了多环谐振微陀螺结构参数对性能的影响，对于设计高品质因数的多环谐振微陀螺具有一定的指导作用。结果表明：（1）相比于其他结构参数，谐振环宽度和谐振子半径是影响微陀螺性能最主要的两个因素。减小谐振环宽度、增大谐振子半径可以有效地提高微陀螺的性能；（2）多环谐振微陀螺的热弹性阻尼可以用Zener 热弹性阻尼理论近似；（3）多环谐振微陀螺角度增益大小约为0.4，结构参数的变化对微陀螺的角度增益几乎无影响；（4）微陀螺的有效质量主要由谐振子中的谐振环决定，因此增大谐振环宽度、增加谐振环数目可以明显增大有效质量。根据上述特点，在设计微陀螺结构参数时，可以采取以下设计思路：首先根据性能要求和工艺条件初步确定谐振子半径和谐振环宽度，然后再综合考虑工艺上的限制、抗冲击能力等因素，确定谐振子厚度、谐振环数目、中央锚点半径等。