利用数学课本思考题为学生思维生长赋能

江苏省淮安市外国语实验小学 孙春育

数学课本中编排的思考题思维难度相对较大、挑战性较强，在培养学生思维方面具有十分重要的价值，是学生思维素养培育的重要载体。但经调查发现，大部分教师对思考题的重视程度不足，对如何利用思考题资源培养学生思维能力关注不够，更鲜有教师去研究编者的编写意图及其背后蕴含的数学思想方法。郑毓信在《新数学教育哲学》一书中指出，与单纯强调“问题解决”相比，我们更应该明确提出如下主张：“求取解答并继续前进。”发展学生的思维，教学不能止步于单一的问题解决，应该有更多的思考与尝试。

下面，我将以苏教版五年级数学下册课本R101、R104两道思考题的教学为例，谈谈如何培养学生的思维能力。

课本R101思考题（如图1）：图中正方形的面积是8平方厘米，你能算出涂色部分的面积吗？

课本R104思考题（如图2）：图中正方形的面积是10平方厘米。圆的面积是多少平方厘米？

图2

一、旧题复习

出示五年级数学上册一道练习题：用35米长的篱笆，在靠墙的地方围一块菜地（如图3），高是10米。这块菜地的面积是多少平方米？

图3

学生思考片刻给出答案：(35-10)×10÷2=125m2。笔者质疑：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，不知道上、下底分别是多少怎么计算面积？学生释疑：知道上、下底的和可以直接求面积。

很显然，学生们在解题中已经突破了思维定式，学会换角度整体思考解决问题了。

二、新题教学

出示课本R101思考题（如图1）：图中正方形的面积是8平方厘米，你能算出涂色部分的面积吗？

涂色部分面积是圆面积的四分之三，要求涂色部分的面积就要先求圆的面积，怎样求圆的面积？学生眉头紧锁，陷入沉思。我不慌不忙，请学生谈谈困惑。学生纷纷表示：一般情况下，求圆的面积必须知道圆的半径，但这里只知道正方形的面积，不知道圆的半径所以圆的面积不好求。笔者紧抓这一冲突点，进一步引导：“在刚才的准备题中，不知道梯形的上、下底，但是可以根据已知条件求出上、下底的和，想一想，这样的思考方法能给你什么启发？联系已知条件，你有什么发现？”此时，一学生豁然开朗，思路泉涌：“老师，我知道了，因为圆的面积公式是S=πr2，而圆的半径是正方形的边长，所以正方形的面积就表示成r2，也就是说r2=8，那么圆的面积就是π×8=8π(cm2)。”

当学生思维的火花被点燃，盛放的那一刻一定是绚烂夺目的。我总结：“同学们，知道半径的平方，可以直接代入计算圆的面积，这就是整体思考，当我们思考问题思路受阻时不妨换个方向，往往会收获意想不到的精彩。”

三、变式练习

题1：已知阴影部分的面积等于8平方厘米，求圆环的面积（如图4、图5）。

题目出示后不少学生已经在草稿纸上快速地算起来，不一会儿，许多双手齐齐地举了起来。一学生：“受刚才那道思考题的启发，这道题虽然不知道内外圆的半径，但结合已知条件我想到，阴影部分的面积就是大正方形面积减去小正方形面积，而大正方形的边长是外圆的半径，小正方形的边长是内圆的半径，阴影部分的面积等于8平方厘米，也就是说R2-r2=8，那么S环=π（R2-r2）=8π（cm）2。”出示图5后，我已经无须多做讲解，学生就已能用举一反三的类比迁移能力很好地解决问题。

题2：已知正方形的面积是10平方厘米，求圆的面积（如图6）。

图6

学生的想法基本一致，都是先将大正方形等分成四个小正方形，列式为10÷4×π=2.5π（cm）2，即先求出一个小正方形的面积，再乘π，就算出了圆的面积。在前两题探究的基础上，学生解答这个问题已经非常熟练，思维变得更加灵活。

四、探究规律

（一）归纳发现

提问：你能算出这个（图6）圆的面积与它外面最小的正方形面积之间的关系吗？学生很快给出答案：圆的面积是正方形面积的π/4。我继续追问：如果正方形的面积是12平方厘米、15平方厘米呢？学生计算发现：圆的面积都是正方形面积的π/4。此时学生的好奇心被激发，竟主动探究起来，最后得出结论：“方中圆”图形中圆的面积始终是正方形面积的π/4。在师生的共同研究下，运用分数的基本性质解释了这一结论。

（二）适度延伸

出示课本P96第13题的三个图，并做适当改编（如图7）。

图7

学生经引导比较发现：长方形与其内部最大的半圆以及正方形与里面最大的扇形面积之间的关系与“方中圆”图形中的关系完全相同。

五、类比发散

出示课本R104思考题：图中正方形的面积是10平方厘米。圆的面积是多少平方厘米（如图2）？

学生观察发现：这道思考题与变式题2比较，条件和问题完全相同，只是图形中正方形与圆的位置发生了变化。我适时点拨：“在上题中，将大正方形等分成四个小正方形，是因为小正方形的边长就是圆的半径，那么这道题怎样将正方形和圆的半径建立联系？是否可以换一种等分的方法？”在笔者的启发下，学生通过小组讨论，得到两种方法：一是10÷4=2.5（cm）2先算出一个小三角形的面积，再乘2得到半径的平方，最后乘π即可（如图8①）；二是将相邻的两个小三角形拼成一个正方形，这样就将它转化成了与第一道思考题相同的图形（如图8②）。笔者继续启发：“在解决‘方中圆’问题时我们发现，圆的面积始终是正方形面积的π/4，那像这样的‘圆中方’问题会不会也存在类似的规律？”

图8①

图8②

一石激起千层浪，学生的探究欲望被再次激起。伴随着这个问题的解决，课堂被推向高潮，学生们不禁感叹：“数学真好玩！数学真有意思！”

六、扩展规律

如果将“方中圆”和“圆中方”两个图形合并，会形成什么图形？学生尝试得出两种图形，即图9①和图9②，那么，这时候图9①中的两个正方形和图9②中的两个圆的面积又存在着怎样的关系呢？在我的引导下，学生运用赋值法探究出了规律。

图9①

图9②

发展学生思维能力是数学教学的核心目标之一，也是发展学生数学核心素养的重要手段。以发展学生数学思维为核心组织课堂教学活动，培养学生良好的思维品质，不断提升学生的思维能力，已成为数学教学的应然追求。

总之，教师应以数学课本思考题资源为载体，抓住本质，寻求变化，关注联系，重视推广，引发学生深度学习，促进学生的思维向下扎根、向上生长。