指向“化解疑问”的“数学广角——集合”教学

2021-10-08吴陈萍李苗苗

教学月刊·小学数学 2021年9期

关键词：集合

吴陈萍李苗苗

【摘要】“集合”的教学，一般被理解为“重叠问题”，进而使得“集合思想”的启蒙渗透在一定程度上被弱化了。问卷分析发现，学生眼中的集合与数学上的集合有一定的区别，如体育课上常常用到的“集合”与数学上的“集合”有何不同，学生心存疑问。教师首先要引导学生对数学上的集合有较为深刻的认识，然后结合学生对生活中集合的理解，帮助他们厘清两者的关系，通过对比分析让学生更深入地理解数学上的集合，从而化解他们心中的疑问。

【关键词】数学廣角;集合;学生疑问;化解疑问

“集合”是人教版三年级上册第九单元“数学广角”中的教学内容，是集合思想的初次渗透。值得注意的是，原人教版教材中的这一内容并没有明确提出“集合”一词，教师在教学这个内容时一般将其称为“重叠问题”。教材中明确提出“集合”一词并将其作为标题，是在人教版教材改版（2013年版）之后，并把这个内容从原来的三年级下册移到三年级上册。不过即便如此，很多教师对此的教学还是倾向于“重叠问题”。三年级学生初次接触“集合”，他们会有疑问吗？课题组对此展开了实践研究。

一、前测设计与意图解读

为了了解学生对集合概念的认识情况，研究团队设计了以下问卷。

1.写一写。

（1）数学上有一个名称叫“集合”，你听说过吗？请打“√”。

听说过（）没听说过（）

（2）关于“集合”，你心里有什么疑问吗？

2.想一想，填一填。

你已经在科学课上见过右边这幅图（如图1）了。请你仔细观察下面3个班的情况，如果请你从中选择1个班的学生填到该图中，你会选择三（）班。

[书法张一李四万一方可叶子合唱夏天马丽金果 ]

三（1）

[书法李凡丁一刘红王芳林立合唱李凡丁一于冰 ]

三（2）

[书法王五朱会龙华古田卫冰合唱王五朱会龙华 ]

三（3）

问卷第1题直接告诉学生数学上有“集合”这个名称，问学生有没有听说过，在此基础上再让学生写一写自己对集合的疑问。这样出题的目的除了了解学生对“集合”的知晓情况外，更想测查学生对“集合”会有什么疑问。第2题呈现了韦恩图（交集），并用提示的方式唤醒学生在科学课上学习的经验（本地科学教材三年级有这个内容的教学，早于数学），之后给出3组信息（交集、并集、子集），请学生根据学习经验进行选择。这道测试题的目的是了解学生在科学课上学习了韦恩图之后，能否将其迁移应用到数学中来。同时，这3组材料也是上课用的材料，故测试也可帮助研究团队更好地把握课堂教学情况。

二、测试分析与疑问确定

（一）测试分析

测试在1所城镇学校和1所农村小学同步开展，共有488名学生参与（城镇353人，农村135人）。通过对学生写下的疑问进行分类归并后发现，学生对集合的疑问主要集中在4个方面，相关数据如表1所示。

（二）疑问确定

基于对这节课的教学定位——集合问题，诸如“什么是集合”“集合有什么用”这样的疑问在教学中会自然化解。同时，这节课还涉及集合中的简单运算，因此“集合可以运算吗”这个疑问也会自然化解。然而，学生联系到体育课中的集合以及生活中其他的集合现象，产生如下疑问，这是在以往教学中所不曾顾及的。

由此课题组认为，基于对这节课的教学定位，可以将“数学课的集合与体育老师叫我们集合一样吗”确定为学生疑问。

三、疑问分析与“化疑”实施

（一）疑问分析

1.教学价值分析

集合（set），简称集，是数学中最基本的概念之一，是现代数学的基础。康托尔（Cantor，G.F.P）认为，“所谓集合，是一些对象的汇集。这些对象是人们的直观或思考中所涉及的，在一定范围内是明确而可鉴别的”。通俗地说，集合是将一些具有相同性质的对象放在一起，作为一个整体来考虑。

集合作为一种思想，它在生活中有着广泛的运用。比如一位教师的电脑中建有一个文件夹，取名“视频集合”，这便是一种最基本的集合思想的体现。集合思想其实就在我们每个人的身边。打开人教版《教师教学用书》，发现对这个内容的解读，也是指向集合思想的渗透。可见，基于“集合问题”的教学定位，以渗透初步的集合思想为目标，是合理的。

基于上述理解，再来看“数学课的集合与体育老师叫我们集合一样吗”这个疑问，就能进一步体会到化解这个疑问的内在价值了。

首先，化解这个疑问，可以更为有效地渗透集合思想。可以想象这样的画面：体育课上教师哨声一响，学生就迅速地集合到一起，排成整齐的队伍。这就是学生眼中的“集合”。不难发现，这个画面中的“集合”是一个动词，这与作为数学概念的“集合”当然是不一样的。数学上的“集合”，不关注对象的运动，关注的是对象的性质。这也就是说，操场上同一个班的学生不用集合（动词）到一起，本身就是一个集合（名词），因为这些学生具有一个共同的性质——来自同一个班级。当然，为了更清楚地表达把具有相同性质的对象看成一个整体，可以把这些对象圈起来，以区别于其他不同性质的对象。因此，把体育课的“集合”与数学课的“集合”加以区别的过程，本身就是集合思想渗透的过程。

其次，化解这个疑问，可为学生后续进一步运用集合思想奠定基础。教材在编排中并没有对集合的产生进行展现，而是直接进行集合的运用——交集，也就是韦恩图。不难看出，这样的教学是有“断层”的，即还没实现集合概念的建立，就已经开始运用集合概念了。这或许也就是在教学交集时，学生常常只能看见3个区域，看不见原来集合的原因。在后续教学中，如“因数与倍数”中“2的倍数”用集合表示，也是“没学就用”这一现象的延续。因此，把体育课的“集合”与数学课的“集合”进行区别，无形中把教材中的“断层”补上了，这为学生后续进一步运用集合思想奠定了基础。

由此可见，化解了“数学课的集合与体育老师叫我们集合一样吗”这个疑问，不仅可以实现集合思想的渗透，还可以为学生在后续学习中运用集合思想奠定基础，具有重要的价值。

2.可行性分析

曾有教师这样质疑：“在小学教学集合，合适吗？”当然不合适。事实上，这也不可能。课题组把教学定位在“集合问题”上，主要是基于学生在体育课上已有的关于集合的经验，将其与数学上的集合进行对比，去伪存真，进而初步渗透简单的集合思想。基于这样的教学定位，课题组认为在小学三年级教学“集合问题”是可行的，首先是三年级的学生已经具备了一定的抽象思维能力，具有把一些看成一个整体的经验（如一个班级等），其次是通过结合具体实例的形式，学生能理解把具有共同性质的对象圈起来看成一个整体的集合思想。

由此，就形成了化解“数学课的集合与体育老师叫我们集合一样吗”这一疑问的设想：首先在课始暴露学生对集合的疑问，然后通过熟悉的体育课的场景为素材进行辨析，认识到数学上的“集合”和体育课上的“集合”是不一样的，初步渗透简单的集合思想，最后进行集合的运用（韦恩图）。

（二）“化疑”实施

根据对学生疑问的确定，化解疑问教学主要集中在课的开始阶段。

师：同学们，这节课我们来学习集合。（板书：集合）我们一起来读一读。（生读）对于“集合”，你们心里有什么疑问？

生：什么是集合？

生：这个集合和体育课上老师叫我们集合，是一样的吗？

生：集合不就是排队吗，数学课上的集合难道也是排队？

生：数学课上的集合有什么用，又是怎么用的？

生：集合可以计算吗？

师：关于集合，你们有这么多疑问呀！我们来整理一下刚才大家提出的疑问。

教师与学生一起回忆，并板书：是什么？有什么用？能计算吗？与体育课的集合一样吗？

师：老师有点好奇。谁来把你们体育课上的集合介绍一下？