对数的比较与斐波那契数列——从2020年全国Ⅲ卷理科第12题谈起

肖志军 张 浩

(1. 北京工业大学附属中学 100022； 2. 北京市朝阳区教育研究中心 100021)

1 一道“致命问题”

2020年全国Ⅲ卷理科第12题是一道比较对数大小的题目：已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则( )．

(A)a

(C)b

解析因为34<53，所以4log53<3，

这样的问题曾被选为“致命问题”．美国麻省理工学院的数学家Tanya Khovanova及其Alexey Radul在2012年《美国数学月刊》第十期上合作发表文章《致命问题》(Killer Problems)[1]，其中介绍的第11个问题是一个与上述题目类似的问题：log23与log35谁更大？

这篇文章的第一作者Khovanova曾于1976年代表苏联参加国际数学奥林匹克竞赛(IMO)获得金牌，并且是IMO有史以来第二位获得金牌的女选手．这篇文章包含了14道“致命问题”，王淑红和蒋迅[2]在《数学文化》上也介绍过这些问题，它们的特点是“构思新颖、设计巧妙，很难使人想到答案，但是一旦看到答案，又使人恍然大悟 ：“原来这么简单！”这些问题一般都能够用初等数学知识来解答，但令学生们抓狂．

设{Fn}是斐波那契数列(Fibonacci)：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…，即F1=F2=1，当n>2时，Fn=Fn-1+Fn-2(这个递推关系由Girard在1634年发现)．我们观察到上述不等式链中对数的底和真数组成的数列2,3,5,8,13恰好是斐波那契数列的一个子列，于是我们提出如下猜想：

通过计算机数值验证可以得到当n≤103时，不等式均成立．因此这也让我们更加相信这一猜想的正确性.

nFnn-2n-1logFn+1Fnn-1n320.50.630930.666667430.6666670.6826060.75550.750.7739760.8680.80.8107140.8333337130.8333330.842480.8571438210.8571430.8633610.8759340.8750.8799770.88888910550.8888890.8927730.91000.9898990.9899320.9910000.9989989990.9989993270.999

2 猜想的证明

引理1(Bernoulli不等式)：设x≥-2，n∈N，则(1+x)n≥1+nx.

证明当n=1时，显然成立．

以下考虑n>1的情况．

设f(x)=(1+x)n-(1+nx)，

则f′(x)=n[(1+x)n-1-1]．

当x≥0时，f′(x)≥0，

所以f(x)单调递增，f(x)≥f(0)=0．

当-2≤x≤0时，因为(1+x)n-1-1≤

|1+x|n-1-1≤0，所以f′(x)≤0，

所以f(x)单调递减，f(x)≥f(0)=0．

所以当x≥-2时，f(x)≥0，即(1+x)n≥1+nx．

注常见的Bernoulli不等式中要求x≥-1，这个引理说明x≥-1的条件可以放大至x≥-2．

则0

(1)首先证明猜想的左半部分．

我们有

因为1+φ-2n-2>1，

又因为φ-2n-2+φ-2n<φ0+φ0=2，

所以-(φ-2n-2+φ-2n)>-2．

由Bernoulli不等式得

因为n≥4，所以

(2)下面证明猜想的右半部分．

我们有

>φ·[1-(φ-2n+φ-2n-2)].

又因为-(φ-2n-2+φ-2n)>-2，

由Bernoulli不等式得

>φn[1-n(φ-2n-2+φ-2n)].

3 推论与探索

证明当n=3时，φ

设n≤k时命题成立,则当n=k+1时，

φk-2+φk-3

因为

φk-1+φk-2=φk-2(1+φ)=φk-2·φ2=φk,

φk-2+φk-3=φk-3(1+φ)=φk-3·φ2=φk-1,

所以φk-1

证明(1)当k≥2且n>k时，

(2)当k≤1时，

证明(1)当n≥3时，

(2)因为