一种基于单幅图像的相机标定方法

徐 杰

(北京城市学院3D打印研究院，北京100083)

0 引 言

在现代机器视觉和工业测量中，人们通常用张正友方法［1］对摄像机的内外参数进行标定。其好处是，使用一块带有特征点的平面标定板即可（平面板容易生产），且标定精度高。但该方法需要拍摄至少3幅不同角度的标定板图像（通常要拍摄10幅左右的图像），才能完成标定，标定工作时间长、容易出错，给实际应用带来一定的麻烦。此外，当多个相机需要同时标定时，不容易找到对所有相机都合适的标定板角度和位置，容易漏拍、错拍，需要仔细调整角度位置，否则会产生算法错误，使标定成为一个繁琐的工作。

针对上述情况，本文提出一种标定方法（是作者对已发表论文［2］的改进），使用平面标定板，只拍一幅图像即可完成标定，操作简单方便，且标定精度高。

1 摄像机模型

摄像机的标定，就是要确定相机内、外参数。外参包括相机的空间位置和姿态，内参包括相机的焦距、畸变等。计算相机的空间位置和姿态，涉及到世界坐标系、摄像机坐标系和焦平面坐标系等，以及各坐标系之间的变换关系。

1.1 标定中的几种坐标系［3］

（1）世界坐标系（Owxwywzw）。 世界坐标系（Owxwywzw）是在环境中选择一个基准坐标系，描述摄像机和物体的位置。一般以标定板为基准建立世界坐标系。标定板中心为世界坐标系原点，标定板法向上方向为世界坐标系Z轴方向。

（2）摄像机坐标系（Ocxcyczc）。 原点在摄像机光心，zc轴为摄像机光轴，与摄像机焦平面垂直，xc、yc轴分别平行于焦平面坐标系的xu轴和yu轴，且方向相同，如图1所示。

图1 世界坐标系、摄像机坐标系和焦平面坐标系及其变换关系Fig.1 World Coordinate，Camera Coordinate，Focal plane Coordinate and relations

（3）焦平面坐标系（Ouxuyu）。 物体在摄像机焦平面上成像，该坐标系以实际物理长度为单位，原点为摄像机光轴与焦平面的交点，xu轴、yu轴分别平行于图像坐标系的u轴和v轴，且方向相同。

（4）图像坐标系（Ofuv）。CCD传感器阵列在焦平面上，将物像转换为像素图像，图像坐标系以像素为单位。图像的横向为u轴，纵向为v轴，如图2所示。

图2 焦平面上的图像坐标系(Of uv)与焦平面坐标系(Ou xu yu)的变换关系Fig.2 Image Coordinate(Of uv)and Focal plane Coordinate(Ou xuyu)relation

1.2 各坐标系之间的转换关系

坐标系之间具有一定的转换关系。其中包括:世界坐标系与相机坐标系、相机坐标系与焦平面坐标系、焦平面坐标系与图像坐标系等。

（1）世界坐标系与摄像机坐标系的转换关系

设世界坐标系中物体点的坐标为（xw，yw，zw），物体点在摄像机坐标系中的坐标为（xc，yc，zc），则有:

（2）摄像机坐标系与焦平面坐标系的转换关系

设物体点在摄像机焦平面成像的坐标为（xu，yu），则有:

其中，s为比例系数；fx、fy分别为镜头焦距在x、y轴方向的值；γ为成像平面与光轴不垂直造成的偏差系数；（Δu，Δv）为像平面中心与光轴穿过像平面位置的偏差值。理想情况下:

则有:

其中，f是摄像机镜头焦距。

由于摄像机镜头有畸变，实际物体点在焦平面的成像坐标为（xd，yd），其数学模型可以用下面公式描述［2］:

（3）焦平面坐标系与图像坐标系的转换关系

设物体点在图像上的像素坐标为（u，v），则有:

其中，Nx、Ny分别是焦平面上横向、纵向单位长度的像素数，（u0，v0）是焦平面坐标系的原点Ou在图像坐标系中的像素坐标，一般在图像中心（通过实验发现，u0，v0值对总的标定精度影响不大［4］）。

1.3 面阵CCD摄像机镜头综合畸变模型

对于面阵CCD摄像机来说，Nx、Ny值是固定的（厂家已给出）。如果厂家给出的Nx、Ny参数不准确，或者CCD传感器阵面排列有畸变，导致由像素坐标（u，v）和公式（3）推算出来的物体在焦平面的成像位置与实际位置不一致，则可以把这种由CCD阵面排列畸变引起的偏差归并于摄像机镜头，而认为CCD阵面是整齐排列的，且Nx、Ny参数值是精确的。这时，摄像机镜头畸变模型由公式（2）改为:

其中，xd、yd是由像素坐标（u、v）和公式（3）计算出来的，并不一定是实际成像位置，Fx、fy是关于xd、yd的某种函数，反映的是摄像机镜头和CCD面阵的综合畸变。

2 摄像机内外参数的求解

假设，已知摄像机镜头和CCD面阵的综合畸变模型（例如，函数fx、fy为关于xd、yd的某种多项式），以及单平面靶标上n个点的世界坐标（xw，yw，zw）和二者在图像上对应点的图像坐标（u，v）。计算摄像机的内外参数（包括外参数R、T，和内参数A、镜头综合畸变参数等）的步骤如下:

第一步:设相机理想模型和镜头综合畸变模型。

若已知镜头综合畸变模型函数fx、fy分别为:

设其中各畸变参数的初始值分别为:k1＝0，k2＝0，p1＝0，p2＝0。且设式（1）中的初始值为:fx＝fy＝f，γ＝0，Δu＝0，Δv＝0。

第二步:计算R、T、f初值。

因

由于平面靶标上的点是共面的，则设zw＝0，所以有:

设靶平面上n个点的世界坐标为（xwi，ywi，zwi），其对应的一幅图像坐标为（ui，vi），（i＝1，2，…，，n），根据公式（3）可以计算出（xdi，ydi）、根据公式（5）可以计算出fxi＝fx（xdi，ydi）和fyi＝fy（xdi，ydi），所以有:

整理可得线性方程组:

式（6）可以写为Ax＝b。其中A矩阵共有8列2n行，向 量x＝（x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8）＇＝（f*r1／Tz，f*r2／Tz，f*Tx／Tz，f*r4／Tz，f*r5／Tz，f*Ty／Tz，r7／Tz，r8／Tz）＇的元素是8个待求的未知数，向量b＝（fx1，fy1，...，fxn，fyn）＇为已知。只要知道平面靶标上4个以上点的世界坐标和对应的图像坐标，就可以用最小二乘法求解，即对于线性方程组Ax＝b，解为x＝（A＇A）-1（A＇b）。

因为R是正交矩阵，所以存在关系式:

由此，可解出f／Tz，从而算出r1、r2、r4、r5、Tx、Ty。

同样因R是正交矩阵，则有关系式:

所以有如下方程:

从而可解出f、算出Tz，同时可算出r7、r8（r7＝x7*Tz、r8＝x8*Tz）。可由R前两列向量叉乘算出第三列向量（r3、r6、r9），即:

这样，可求得R、T、f初值。为A的初值。

第三步:计算优化标定解。

假定平面标定板上有n个标记点，相机拍摄一幅标定板图像，则制定评价函数［5］如式（11）:

其中，mi为第i个点的图像坐标；Mi为第i个点的空间坐标；m（A，R，T，k1，k2，p1，p2，Mi）是通过这些已知量，根据式（1）、（2）、（3）求得的图像坐标。使评价函数最小的A，R，T，k1，k2，p1，p2就是问题的最优解，即标定结果。利用Levenberg-Marquarat来求解非线性最小二乘问题，初始估值为上面求得的R、T、A矩阵初值，k1，k2，p1，p2初值为0。这里是优化一幅图像的标定，为了提高景深标定的精度，也可以增加图像数量。如果是多幅图像，则是多个位姿Rk、Tk，和多幅拍摄点mki（k＝1，2，...）同样可以用（11）式求优化解。

3 实验结果

实验中采用平面标定块，如图3所示。靶标上各圆心的世界坐标见表1，其对应的图像像素坐标见表2；实验使用sony面阵CCD摄像机，分辨率为1024*1280，Nx＝1／0.005 2（像素／mm），Ny＝1／0.005 2（像素／mm）；设（u0，v0）＝（640，512）。

图3 实验使用的平面标定块Fig.3 Testing calibrate board

表1 平面标定板的圆心世界坐标(zwi＝0，63个点，单位mm)Tab.1 The world coordinates of centers of circles on the calibrate board(zwi＝0，63 points)

表2 平面标定板的圆心图像坐标(63个点，单位：像素)Tab.2 The image coordinates of centers of circles on the calibrate board(63 points，unit：pixel)

根据摄像机特性，设该摄像机镜头综合畸变模型为式（5），由上述方法求出R、T、A、k1、k2、p1、p2的值，见表3。

实验结果:

其中（ui，vi）为圆心实际图像坐标，（ui′，vi′）为由参数R、T、A、k1、k2、p1、p2计算出来的圆心图像坐标。在普通Intel＿i7处理器的电脑上算法运行时间小于1 s。

4 结束语

通过实验可以发现，摄像机镜头综合畸变模型函数fx（xd，yd）、fy（xd，yd）设为上述式（5）函数，或者Tsai方法［6］提到的畸变模型函数时，标定结果都是稳定的。采用本标定方法，标定板不能正对相机，否则标定误差较大。标定板法向与相机光轴之间的夹角应大于10°，一般取30°～45°比较合适。这也表明畸变参数的标定计算需要在一定景深范围内进行。本方法的优点是:只使用平面靶标，一幅图像，操作简捷快速，而且适用于任何种类的镜头畸变模型。与张正友方法相比，本方法只要拍摄一幅图像，就能计算相机初始参数，再利用Levenberg-Marquarat方法求优化解，具有更大的灵活性。