略谈高中数学函数单调性问题

梁晓玲

摘要：日新月异的社会在不断地进步。随着时间的发展，国家对于教学的要求也越来越高，所以对于开展高中数学的课程也尤为重要。从课程开展以来，高中数学的相关教学也在不断地发展，相应的教學方式和教学方法也越来越得到人们的重视，所以在教学过程中提高教学能力和教学技巧至关重要。本文对函数单调性的问题进行探讨。

关键词：高中数学；函数；单调性

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）16-0121

一、为什么要学习函数

通过初中数学的学习，我们学过的函数有正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数。这些函数都是与相关的变量有关，例如在一个变化过程中，x是有一个相应的范围，而函数也有对应的每一个值y，y数值与x数值存在着某种数量关系，那么就称y为x的函数，在函数过程中x称为自变量，y称为因变量。如果将其延伸到高中数学，那么就涉及集合问题。设A，B是非空的集合，如果按某种数量关系，使在集合A中的任意一个数值，在集合B中都有它唯一的数值和其对应，那么就称：A、B为从集合A到集合B的函数，记作函数y=f（x），其中x叫自变量，（x的取值范围A，叫作函数y=f（x）的定义域）。学习相关的函数，我们可以从其中找到对应关系来总结相应的规律，就可以运用在解题方面，将题目中的文字转化成数字的整合，进而将题目的信息套进去，再者可以根据信息求出题目的答案。还有一些题目也是可以通过已知的函数，进行构建数学模型，画出相应的图形或者坐标，根据图形或者坐标的走势在图中寻找解题的突破点。而且在我们的日常生活中，比如关于去商店购物，那么要进行大批量的采购时，如何能够准确，而且又经济、划算地采购，可以通过构建函数来找到其中的最值问题，为我们的生活提供便利以及解决问题的方案。可见，学习函数是很有必要的。

二、在高中数学课堂中解决函数单调性问题最常用的方法

1.从概念出发解决

在学习函数中最重要的性质之一就是单调性，它在高中数学中有许多相关的应用。比如，我们常用的就是根据求函数单调性的方法来求整个函数变化趋势及它的值域范围，如果想解决函数单调性的问题，首先可以考虑从概念出发，对于函数f（x）的定义域，如果是在某个定义域范围，有两个任意的值x1、x2，当x1小于x2时，函数f（x1）的值小于函数f（x2）的值，则说明这个函数在这个定义域范围内属于递增函数；当x1小于x2时，函数f（x1）的值大于函数f（x2）的值，则说明这个函数在这个定义域范围内是属于递减函数。根据其具体的概念，我们可以在题目所设定的定义域中，假设两个固定的值，并通过套相应的函数去比对它们之间的差值。如果符合函数逐渐增大，也就是大于零，则说明是增函数，如果是小于零，则说明是减函数。

2.根据性质来判断

利用生物学上萨顿的类比推理法的原理，得出函数的性质，在初中学习的时候，我们都知道基本初等函数有单调性，高中的函数也具有单调性，基本函数是单调递增或者单调递减，复杂函数可能是间断性的变化，根据这一性质我们可以用同类相比的方式进行解题，用数学运算的方式进行比较，例如有两个函数f（x）、g（x），f（x）、g（x）都是属于增函数，将其进行简单的加减乘除运算，最终得出结果，那么将这两个函数相加起来即f（x）+g（x），也是属于增函数，还可以用这两个函数进行相乘即f（x）×g（x），如果两者相乘恒大于零，说明它就是递增函数，而当两者相乘小于零则是递减函数。

3.同号为增函数，异号为减函数

学科之间有内容是可以互通的，比如在物理学上关于磁铁同性相斥异性相吸，根据其原理，我们可以猜测在函数中同号为增函数，异号为减函数，这个方法适合处理一些复合型的函数——单调性的问题，因为在复合函数y= f [g（x）]中，可以转换成两个函数进行求解，是因为涉及还有一些内含函数的值域相关问题，我们可以将其中的函数设为一个值，那这个函数就可以把它写成，令t=g（x），将其转换则y= f（t）。根据设定的函数，我们可以由其中的两个函数的单调性来判断，如果有两个函数的单调性相同，那么复合函数的单调性是增函数，如果有两个函数的单调性不同，那么复合函数则为减函数。但是首先要知道内含函数的单调性，才能知道复合函数的单调性。其实就是转换成求内含函数的单调性。

4.构建模型

近几年的高考中，很多学科都涉及建模的方向，通过模型的构建其实是比较直观的表述，让学生能在思维上得以提升，是一种极其形象的方法。在数学学习过程中，关于模型的构建及利用是非常广泛的。利用模型，可以非常直观地描绘出函数的变化趋势，进而判断它在某一个区间的单调性。比如，当某个函数在大于零的情况下，它的定义是什么样的？当它的值小于零的情况下，定义又是怎样的？这样，它的单调区间就可以把两种情况整合在一起，得出相应的答案。

5.利用导数求值

关于利用导数求单调性，其实在高考中的应用是非常普遍的。因为用导数来求最值是最直接、最快速的一种方式，首先我们必须要理清楚函数的单调性与导数之间的关系。例如在某个区间内，如果函数的导数大于零，那么这个函数在该区间内就是单调递增，如果该函数的导数小于零，那么该函数在这个区间就是单调递减。所以，求单调区间问题就转化为利用函数求其导数，根据上述的判断方法，进一步利用其导数大于零，求其递增区间或者利用其导数小于零，求递减区间。

三、总结

总而言之，上述讲的五种方式都各有其优势，也能够从本质上来解决问题。所以，关于函数单调性的问题，有不同的方法来进行解答，也可以通过学生在不断的训练过程中掌握并找到适合自己的方法，进一步解决数学问题。

（作者单位：广西北海市铁山港区南康中学536000）