高中新教材背景下的三角函数性质教学实践与思考

摘 要：人教版高中数学新教材在编写理念、教材结构、知识内容编排、例题设置和习题设置五个方面具有特色。在教学实施过程中，教师应当充分研究新教材调整内容，有效用好教材当中的“思考”和“探究与发现”，挖掘其数学思维培养内涵，合理整合教材，设置有思维价值的延伸探究题，充分调动学生的积极性，引导学生独立自主地开展思维活动，并通过交流讨论，提升数学核心素养。

关键词：新教材;教学内容整合;探究学习;核心素养

一、三角函数性质的内容改变

笔者在人民教育出版社2019A版数学必修第一册第五章《三角函数》中的《5.4.2正弦函数、余弦函数的性质》发现，与旧教材相比，在学习完周期性概念后，新教材直接到了奇偶性的学习，在完成例题和课后习题之后，出现了和旧教材一模一样的“探究与发现”，这个“探究与发现”是针对周期性的拓展内容。而旧教材把这个“探究与发现”放在周期性之后，也就是完整学习完周期性的概念以及拓展之后，再学习奇偶性。这个变化到底用意如何呢？在教学用书上解释了这个原因：在例题和习题结束后，是“不要求学生必须探究出一般形式的函数的周期与ω之间的确切关系。”而后的探究与发现则是对例2的推广，“分级递进地进行抽象，先从具体函数抽象为一般函数，研究其周期性，再从这些特殊类型的函数抽象为一般的周期函数进行研究”[1]。看来为了三角函数性质内容的连贯，以及削枝强干的主导思想，教材作出了这个变化。

二、利用探究与发现进行教学内容整合

笔者认为既然这样的处理能使“干”的教学内容更连贯，那么探究与发现也可以使“枝”的内容更丰满。于是，我大胆进行教学内容的整合。在完成周期性与奇偶性的概念教学后，我以问题“中的三个变量A、ω、φ对三角函数的周期性和奇偶性有影响吗？如果有，有怎样的影响？”来进行探究教学，深化拓展对一般形式的函数的周期以及奇偶性的认识。

（一）教材分析

本节书是第五章《三角函数》第四节《三角函数的图像与性质》第二课时《5.4.2正弦函数、余弦函数的性质》。所谓性质，就是研究对象在变化过程中保持不变的特征。教科书通过“探究”引导学生明确函数性质的研究内容，选择适当的研究方法。教材从观察图像以及公式验证两种方法得出周期性与奇偶性，这种多角度的观察、描述与思考中，提升学生的直观想象和逻辑推理等数学素养。我把这部分内容称之为第一部分，即原理教学。第二部分内容为原理应用教学，即“探究与发现”的拓展，我把这部分又分为两个小部分，其一就是课本本例，研究一般形式三角函数的周期问题;其二就是引申探究，研究一般形式三角函数的奇偶性问题。

（二）学生分析

学生在学习完正弦函数和余弦函数图像之后进行性质的学习，应该说具备了自主探究的知识储备与探究能力。但是类比已有的函数性质，周期性却是三角函数独有的，因此无法只从类比中得到，我认为这个需要引导学生回忆正弦曲线作图过程，以及单位圆变化的规律性而得出。周期性与奇偶性的探究可以通过教师启发，任务引领，自主阅读，完成探究的思路展开。这节课的亮点是课后的“探究与发现”，让学生通过任务引领，发现A、ω、φ三个变量对周期性以及奇偶性的影响，这个过程对学生来说有一定的难度，也最容易产生思维的火花。

（三）教学过程

1.任务、自学、探究

（1）请同学们阅读课本201页，完成以下思考：

正弦函数与余弦函数的周期是什么？你从何而知？

周期与最小正周期的关系是什么？

（2）探究下列函数的周期：

（3）请同学们阅读课本202页，完成以下思考：

正弦函数与余弦函数的奇偶性是什么？你从何而知？

2.分享自学成果，教师从中指出重点、突破难点

3.延伸探究

（1）探究任务1：对于，中的三个变量A、ω、φ对三角函数的周期性有影响吗？如果有，有怎样的影响？请求出的最小正周期。

（2）探究任務2：对于，中的三个变量A、ω、φ对三角函数的奇偶性有影响吗？如果有，有怎样的影响？请分别判断的奇偶性。

4.归纳提升，形成结论

（1）归纳探究任务1：

函数及的周期T=。因此周期只与ω有关。

（2）归纳探究任务2：

对于函数，

因为，所以是奇函数;

对于函数，因为所以是奇函数。也就是说A与ω都没有影响函数的奇偶性，那么φ呢？

5.聚焦争议点，蹦出思维的火花

对于函数的奇偶性，这时候学生们就发生争议了。大部分学生认为这是个非奇非偶函数，然而只有个别学生觉得这与的取值有关，因此不能判断。于是我就让两派学生分别详细阐述自己的观点和证据，下面是课堂实录：

学生1：因为

且，所以它是非奇非偶函数。

学生2：如果，

那么，它就是个奇函数。

其他学生恍然大悟，这时又有同学提出：能是个偶函数吗？

于是其他同学马上投入探索中，不一会儿，就有学生发现答案是肯定的。

学生3：如果，

那么，它就是个偶函数。

教师表扬同学们善于发现问题，解决问题，总结大家从诱导公式角度来解释问题的可行性，同时提出新问题，如果从诱导公式来分析，那么的取值还可以更简洁。

所以如果，那么函数就是奇函数;如果，就是偶函数。

6.课后思考问题

课后思考对于的奇偶性如何判断？命题“如果函数y=f（x）的周期是T，那么函数y=f（ωx），的周期是”是否成立？

三、教材重组的反思

章建跃对新课改实施过程中，教学涉及各环节及相关问题进行了反思和讨论，概括出一些基本共识：教学设计——不仅从内容的教学需要预设提问、讲授、训练等，而且特别强调课堂“生成”，设计能引发学生独立思考、自主探究的“开放性问题”;教学方法——教师主导取向的讲授式和学生自主取向的活动式融合，强调“启发式教学”的核心地位[3]。下面是我的几点反思：

（一）學生自主阅读教材，发挥教材引领作用

本节课开始，我启发学生探究三角函数的性质，但是并没有越俎代庖，而是引导学生重视教科书的阅读，在直观感知的基础上，系统、规范的认识函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性。

（二）教师设计探究发现，发挥学生主体地位

本节课我利用教材的探究与发现，结合新课学习，设计了延伸探究，并把教材当中没出现的奇偶性探究放在一起让学生探究。这个问题引发了学生的认知冲突，由此展开了思维碰撞，激发了学生的求知欲。这部分属于启发式教学，在启发式教学中，教学是教与学交互作用的双边活动，学生是教学的主体，教师是教学的主导;教师根据认知目标与情感目标并重的要求安排教学过程，充分调动学生的知、情、意、行等诸方面的积极性，引导学生独立自主地开展思维活动，融会贯通地掌握知识，发展智力，培养能力，实现教育目标，达到全面发展[4]。因此这部分延伸探究，正是发挥学生主体地位的体现。

（三）师生共同修正结论，提升学生核心素养

学生在开放性的问题中的数学思维是自由的，也是最具创造性的。本节课在讨论函数的奇偶性时，学生就出现各种争议，既有认为是非奇非偶函数的，也有认为是奇函数的，更有认为是不能判断的。每个人都各执一词，各说各有理。因此我采取师生共同修正结论。课堂上我引导学生侃侃而谈，各抒己见，并提供诱导公式作为工具，修正结论，使结论呈现数学的简洁美。这个过程其实就是学生提升逻辑推理，数学表达能力。

王尚志，史宁中认为，数学核心素养是在数学学习过程中逐步形成的。数学核心素养包括数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算数据分析共六个方面，更一般的还包括学会学习、数学应用、创新意识等。从学习评价的角度看，数学核心素养主要体现在情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思的综合运用能力上[5]。可见数学交流能力是核心素养的一个重要体现。

结束语

新教材对《正弦函数和余弦函数的性质》的教学内容呈现以及顺序作出了调整。这既体现了新教材以生为本，注重知识的生成过程，也体现了新教材注重核心素养的培养。那么教师在设计教案时，应该充分利用教材，并根据实际情况开发教材，设计适当的教学环节，使学生从不解、质疑、交流、释疑的过程中，逐渐培养起对数学学习的兴趣，以及提升了逻辑推理、直观想象的数学核心素养。

参考文献

[1]数学必修第一册教师教学用书[M].北京：人民教育出版社2019，7

[2]何小亚，姚静.中学数学教学设计[M].北京：科学出版社2020：67

[3]章建跃.数学教育随想录[M].杭州：浙江教育出版社，2017，6：475

[4]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2018，10：48

[5]华志远.数学核心素养的内涵与构成[J].教育研究与评论·中学教育教学，2016（5）：11-13

作者简介：郭靖.（1980年8月），女，汉族，广东省广州市人，教育硕士，研究方向：高中数学教育。