回归基础数学模型，类比迁移突破难点

王宝良

[摘 要]对于一些无法用现有的定理公式解决的难题，可以先得出类似问题的基础数学模型，进而类比迁移，从而利用基础数学模型有效突破难点。

[关键词]基础模型;类比迁移;函数

《中小学数学》杂志小学版2014年第7、8期（合刊）刊载了范午英老师的一篇教研论文，题目是《教数学要以理服人》，范老师通过严密的论证说明了数学教学的推进要“理直气壮”，范老师严谨务实、精益求精的治学态度令人折服。笔者反复品读该文，受益匪浅，对范老师的观点也十分认同，但是对一道题的讲解，笔者认为教师给出的解题方法一定要“有理有据”：这“理”一定要在事理上、逻辑上、数学理论上站得住脚。

原题回放：[题1]用一块长10厘米、宽6厘米的铁皮可以焊成一个无盖的长方体，这个长方体的最大体积是多少？笔者认为原文中阐述的解题原理超出小学生的认知范围，因此对文中举出的例题仔细分析，并提出修改意见：在“长方体”后面加上“盒子”二字，对“体积”的描述换成“容积”，且要补充说明“在切割和焊接时厚度和损耗忽略不计”，这样描述更加科学严谨。另外，范老师在文末盖棺定论：“43.75立方厘米是能切割出的最大的体积。”这个结论也是有问题的。

一、找到基础模型

笔者先研究一个类似的问题：[题2]用20米长的铁丝网在墙根处（围墙足够长）围一块长方形（长方形的一边用围墙代替）的花圃，怎样才能使围成的长方形的面积最大？最大的面积是多少？

对于这道题，采用逐一列举法就可以推知答案。众所周知，长方形的周长一定，围成的长方形在长、宽相等时面积最大。但这道题又有所不同，题目所要围成的并不是一个完整的长方形，其中有一条边是墙体，铁丝网的全长只是被分成三条边，由此，一个大胆的想法在笔者的脑海中浮现：假设围墙的“另一面”也有一个“长方形”，它与“花圃长方形”沿着围墙对称，那么从空间视角来看，这两个对称的长方形不就拼接成了一个大长方形吗？此时这个大长方形的周长就恰好是铁丝网的全长，应为20×2=40（米），根据已有的解题经验，要使这个“假想”出的大长方形面积最大，必须令其长、宽相等，而其长、宽一旦相等，这个长方形就会变成正方形，这个正方形的边长为40÷4=10（米）。由于这个“假想”的正方形是一个对称图形，所以隐去添加的对称部分后，就得到围成的长方形的长为10米，宽为10÷2=5（米），这时围成的长方形的面积最大，最大的面积为10×5=50（平方米）。

二、上升到函数高度

函数的作用就是将列举法进行了无限化处理，渗透了极限思想，因为列举法不可能列出所有数据，难免有所遗漏，而函数思想则弥补了这一缺陷，将列举法中自变量的动态变化过程连续化、绵密化，其论证结果更具说服力。有人认为“学生接受不了函数思想，只能接受列举法”，但是教师两者都必须掌握，只有占据理论的制高点，教师才能做到高屋建瓴、指挥若定。

函数思想可以很好地“指导”列举法，比如列举时可以有序列举（对应函数图像的连续性），可从两个端点开始尝试列举，不断向中间“缩进合拢”。例如，从宽度是0开始，不断递增，同时从宽度是10开始，不断递减，这也对应着函数思想（图像）里的函数图像与横坐标的两个交点（[x1]，0）（[x2]，0），此时函数值为0。更为神奇的是，函数图像里的两交点（[x1]，0）（[x2]，0）的中点坐标就是最值的横坐标（对称轴所在处），可以类比迁移到列举法里，能得到最大值的宽度就是两个端点值的中间值，也就是（0+10）÷2=5。这种思想方法克服了列举法的断续性和有限性，可以弥补无法穷举带来的漏洞。

三、基础模型的类比和函数理论的推广

由题2的两种解法联想到，长方体的体积一定时，只有长、宽、高相等，也就是长方体变成正方体时，表面积最小。反过来，当长方体的表面积一定，且长、宽、高相等时，也就是变成正方体时，体积最大。这其实是对“面积周长最值定律”的推广，只不过由原先的长、宽两个数据扩充为长、宽、高三个数据，由原先的二维平面图形延伸为三维立体图形，但原理是一样的。至此，能否大胆假设：题1中还有一块同样的铁皮，如此一来，切割焊接后，根据前文推广的最值定律，焊接而成的有盖长方体盒子的容积达到最大时，长方体的长、宽、高必然相等，即变为正方体盒子。此时，设焊接成的正方体盒子的棱长为a厘米，则有6[a2]=10×6×2;[a2]=20，a=[25]，则按题1的要求，再将这个正方体有盖盒子沿着某个面的中线切割一半下来，使其变成两个相同的无盖长方体盒子（如图2），这个无盖的长方体盒子的容积应为[a3]÷2=20×[25]=2044.72（立方厘米）。

上述由类比推广出的方法，有没有函数理论上的依據呢？设围成的无盖长方体盒子内部的长、宽、高分别为a、b、c（假定开盖的那个面为a×b），则有ab+2ac+2bc=10×6，这个长方体盒子的容积应为abc。当abc最大时，4[a2][b2][c2]也一定最大，即ab×2ac×2bc最大，又因为ab+2ac+2bc=60，这三个数（把这三个积当成三个数）的和一定，要使它们的积最大，那么这三个数一定相等，这也是对“两个数的和一定，要使积最大，必须使两个数相等”的推广，即ab=2ac=2bc，则有a=b=2c，所以4[c2]+4[c2]+4[c2]=60，[c2]=5，a=[25]，b=[25]，c=[5]，那么题目中要求的长方体盒子的容积abc=[25]×[25]×[5]=20[5]=44.72（立方厘米）。

通过对此题的研究，笔者认为范老师给出的方法是好的，设计是巧妙的，但是数据设计欠妥，因为最后出现无法避免和抵消的平方根，导致一道精巧的题出现瑕疵，并引起不必要的争端。如果将题1的数据稍作改动，比如将铁皮的长改为8厘米，宽为6厘米，这样一来，c=[4]=2，恰好为整数，效果会更好。

（责编 黄春香）