无限不循环小数本质的探究

李秀丽

[摘 要]小数和分数的互化是小学生进行各种换算的必备技能，除法运算更是建立起小数和分数的亲密联系，但是在无限循环小数和无限不循环小数与分数的互化中则存在一些阻碍，甚至有些人对无限不循环小数属不属于小数产生了怀疑。因此，有必要将分数与小数关系的本质探查清楚。

[关键词]小学数学;分数;小数;无限;有限;认知;发展

青岛版教材中“小数”的内容主要出现了四次。三年级下册教材中初步介绍了小数的概念：“像0.1、0.4、0.55、1.2……这样的数，都是小数”。五年级下册教材中介绍了有限小数与无限小数的概念：“小数部分的位数是有限的小数，叫作有限小数”，“小数部分的位数是无限的小数，叫作无限小数”。五年级下册中，教材介绍了分数与除法的互化。六年级上册教材中介绍了一段数学史料，引出圆周率π，π=3.1415926535…”。

一、认知发展方面

认真研究就会发现，小学数学教材对于“小数”课程的编写是非常有条理的，层层递进，具有严密的逻辑性。首先，由熟悉的生活事例引出小数的基本意义。其次，通过除法运算不带余数的商来揭示小数的“有限”与“无限”。再次，说明任意分数都能通过除法运算将其转化为小数 （能够除尽的，商就是有限小数;除法竖式中余数从某一位开始循环，导致商从某一位开始循环，这样的商就是无限循环小数;由除法运算得出的无限小数必定循环，无限不循环小数不可能由除法运算求商得出）。最后，进一步借助圆周率来推出小数的另一种形式——无限不循环小数，这类小数是无理数。至此，所有小数的形式被“一网打尽”。

这样的教材编排顺序贴近学生的生活经验，体现了识数、算术、数域整理的密切关系，体现了学生的知识基础，契合学生认知事物的规律。显然，如此安排可以使学生对小数的基本意义、无限循环小数、无限不循环小数等知识进行连续闯关、逐个击破。但是，学生要真正领会小数的本质就不太容易，因为在学习小数的基本意义时，教材是借用单位之间的进率来诠释的，如货币单位元、角、分，长度单位米、分米、厘米，让学生在小数与十进制分数的互化过程中感知小数的意义，给学生造成“十进制分数与小数之间严格对应”的印象。在学习小数除法运算及分数与除法的关系时，学生知道除法运算的商是小数的合理来源，而且通过经历无法除尽的情况，也就是从某一步开始，余数开始重复出现，导致商也重复出现，这时的小数位数就会无穷无尽，感知无限小数的现实来历。但教材并没有让学生去追溯无限小数的前身——其对应的分数（被除数和除数），因此，学生自然不会深究有限小数与无限（循环）小数对应的分数是否都是十进制分数。那么，等到借助圆形的周长与直径的比值揭示“圆周率是一个无限不循环小数”时，学生更不会思考无限不循环小数是否也来自某个分数了。

二、数学形式方面

数学是关于模式的科学，数学模式具有多种多样的表征，小数就是数的一种表征，或者说存在形式。把十进制分数改写成的有限小数，可以认为是对十进制分数的乔装易容——换了一种书写形式。显然，无限循环小数是非十进制分数的另一种存在形式。照此理论，无限不循环小数就找不到对应的分数。然而，这样用类比法为无限不循环小数寻根，会让思路走进死胡同。要想为“小数都是源自分数，是分数的第二表征”找到合理解释，教师必须另辟蹊径。下面，笔者先梳理小数的表征方式。

有限小数：0.29= [210] + [9100]

无限循环小数：0.377…=[310] + [7100] + [71000] +……

无限不循环小数：3.14159…= 3 + [110] + [4100] +[11000] + [510000] + [9100000] +……

[5]=2.23606…=2 + [210] + [3100] + [61000] + [010000] +[6100000] +……

一般地，对于任意纯小数：[0.a1a2a3a4…ak]= [a1101] + [a2102] + [a3103] + [a4104] + … + [ak10k] =[i=1kai10i]。也就是说，当k是定值时，有限小数“[0.a1a2a3a4…ak]”可以用若干个十进制分数的和“[i=1kai10i]”来表征;当k趋于正无穷时，无限循环小数“[0.a1a2a3a4…ak]”可以用无限个分子循环出现的十进制分数的和“[i=1kai10i]”来表征;当k趋于正无穷时，无限不循环小数“[0.a1a2a3a4…ak]”可以用无限个无规律的十进制分数的和“[i=1kai10i]”来表征。综上所述，用“把十进制分数（有限或无限个十进制分数的和）改写成无分母形式的特异分数，即为小数（有限小数、无限循环小数、无限不循环小数均在此列）”的定义就能将有限小数、无限循环小数和无限不循环小数的表征方式统一起来。

三、数学本质方面

什么是数？这既是一个高等数论问题，又是一个形而上学的哲学问题。“数”常常被看成是对“物品数量”的标记。那么，生活中物品数量是以何种形式存在？人们对同类物品的整理方式分两种：合并与分割。通过合并累计，人们形成了整数的计数单位;通过对一个物品的切分，人们形成了小于1的分数计数单位。

计数其实就是对计数单位的数目进行记录和描述。顯然，这样的计数结果有三种：第一种是只包含大于或等于计数单位“1”的物品数量记录信息（整数）;第二种是只含有小于计数单位“1”的物品数量记录信息（纯小数）;第三种是既含有大于等于计数单位“1”的物品数量记录信息，又含有小于等于计数单位“1”的物品数量记录信息（混小数）。

据此，教师可以将这些数字分门别类。第一种分类方式是分成两类：一类是只含有大于或等于计数单位“1”的数字，叫作自然数;另一类是既含有大于或等于计数单位“1”的计数单位，又含有小于计数单位“1”的计数单位的数，叫作小数。第二种分类方式是分成三类（或许这种分类更有效）：第一类是所含计数单位大于计数单位“1”的数（整合数，如250=200+50），第二类是只含有计数单位“1”的数（真正自然状态下的数量状态，全部一个一个累加起来），第三类是所含计数单位全部小于“1”的数（纯小数，如0.265）。

无论是哪种分类方式，都可以看出不同数的数学本质：自然数的计数单位只含有“基数1”，整数的计数单位全部大于或者等于“基数1”，小数的计数单位全部小于“基数1”。因此，“含有小于‘基数1的计数单位的数叫作小数”，这样定义，就可以涵盖有限小数、无限循环小数、无限不循环小数等三种小数类型。这样一来，不仅为无限不循环小数恢复了小数身份，而且可以直击小数的数学本质。

（责编 吴美玲）