移动荷载下高速铁路简支梁桥消振机理频域分析
2021-09-27李锦华李添艺吴亮秦张焕涛
李锦华,李添艺,吴亮秦,张焕涛
(华东交通大学 土木建筑学院,南昌 330013)
最近几年,由于高速铁路的快速发展,高铁已成为我国的代名词,这就导致我国对高速铁路的要求也越来越高。而高速铁路桥梁发展状况关乎高速铁路的运营发展,这就要求高速铁路桥梁除了满足一般铁路桥梁的要求外,还需满足乘客舒适度、运行的平顺性等要求。因此,对于高速铁路桥梁的车桥动力响应显得至关重要,尤其是关于高速列车引起桥梁共振及消振响应的问题[1-4]。
对于列车作用下桥梁共振响应的研究模型主要采用2种类型:车-桥耦合模型;移动荷载模型[5]。采用车-桥耦合模型作用下,桥梁共振等问题的研究仅能通过数值模拟进行分析各个参数的影响,如桥梁跨径、刚度、荷载间距和荷载数等[6-8]。宁晓骏等[9]探讨了高速铁路桥梁跨径布置与共振的关系,发现桥梁共振与跨径有关,而与其跨径布置的形式无关。苏木标等[10]发现当调整桥梁跨度与车辆长度的比值时,可避免高速铁路桥梁出现较大竖向振幅;且适当加大桥梁结构刚度和阻尼比可以抑制桥梁共振的峰值和避免在规定范围内出现强烈共振。该类方法仅能通过编程建模才可确定各个参数对桥梁共振问题的影响,因此对于工程的通用性不高。虽然移动荷载模型是最一般的模型,但研究表明,相比较移动荷载模型,采用车-桥耦合下的分析模型计算所得结果往往会减少桥梁的振动响应[11]。因此,当只考虑桥梁的动力响应时,可以把列车荷载简化为移动荷载模型。Yang等[12-13]将列车荷载简化为等间距的2个子系统,通过解析方法确定了控制桥梁动力响应的关键参数,并根据移动荷载产生的桥梁响应曲线给出了有效抑制桥梁共振的优化设计准则。张铎等[14]为了探究轨道不平顺给桥梁带来的影响,将等间距列车荷载简化为移动简谐荷载,然后通过理论推导得到了桥梁响应的解析表达式;最后通过数值模拟研究了移动荷载速度、谐振频率等参数对桥梁共振的影响。以往针对移动荷载作用下桥梁响应的研究大多数关注桥梁共振问题,仅有少量文献涉及移动荷载作用下桥梁消振现象的研究。Museros等[15]从单个移动力出发得到了简支梁桥发生消振效应时的消振速度表达式,以及在弹性支撑梁下类似的移动荷载消振速度表达式。Xia等[16-19]首先从单个移动荷载出发,再到多个移动荷载及移动荷载列的形式,来研究移动荷载过桥后引起的桥梁共振及消振响应;并通过时域角度,进行理论推导得到了引起桥梁自由振动时期的共振及消振速度公式。上述文献都是在时域内进行求解分析,相关理论推导分析过于复杂,而且由于时域分析的局限性,导致桥梁振动响应需要反复计算求解。而频域相对时域而言具有诸多优势,直观且无需求解微分方程。
因此,本文将从频域角度出发,采用傅里叶变换方法,理论推导出多个移动荷载通过桥梁时的桥梁位移傅里叶谱及移动荷载傅里叶谱;然后通过桥梁位移傅里叶谱对桥梁自由振动时期的消振机理进行分析,提出了基于移动荷载傅里叶谱的消振机理频域分析方法,并通过数值算例对相关理论研究进行验证。
1 非等间距移动荷载列作用下桥梁振动响应方程
本文假设桥梁为欧拉-伯努利梁,沿桥梁跨度方向性质不变,截面弯曲刚度EI、单位质量m、结构阻尼c均为常量。本文假设桥梁为欧拉-伯努利梁,沿桥梁跨度方向性质不变,截面弯曲刚度EI、单位质量m、结构阻尼c均为常量。将列车车辆模型简化为移动集中力模型,如图1所示,车厢简化为4个集中力pk(k=1,2,3,4),其大小均为p0。l1为车厢第1个轮轴~第2个轮轴的距离(集中力为p1与p2的间距),l2为车厢第1个轮轴~第3个轮轴的距离(集中力为p1与p3的间距),l3为车厢第1个轮轴~第4个轮轴的距离(集中力为p1与p4的间距),且l3-l2=l1。
图1 列车及移动荷载模型Fig.1 Train and moving load models
非等间距移动集中荷载以速度v匀速通过跨径为L的简支梁桥,其运动方程为
(1)
(2)
式中:y(x,t)为桥梁在x位置t时刻的竖向位移;Pc(x,t)为t时刻作用在桥梁x位置的移动集中荷载;Np=4为移动集中荷载的个数;dk=lk-1为第k个移动集中力与第1个集中荷载p1的距离,其中d1=l0=0;tk为第k个移动集中荷载到达桥梁最左端的时间;S(t-tk)=S0(t-tk)-S0(t-tk-L/v),其中S0为跟时间有关的Heaviside函数,可判断移动荷载是否仍作用在桥上;δ为Diarc函数。
(3)
采用振型叠加法求解,则桥梁在x位置t时刻的竖向位移y(x,t)可写成广义坐标qn(t)与振型函数φn(x)相乘的形式
(4)
将式(4)代入式(1),利用振型正交性可得
(5)
式中:ωn,ξn分别为桥梁的第n阶频率和阻尼比;Pcn(t)为移动荷载的第n阶振型荷载,其表达式为
(6)
下面分别采用了10个自由度的列车车辆模型和非等间距移动荷载模型,进行列车荷载激励下的桥梁振动响应对比。车辆模型参数和桥梁参数取自于文献[20],如表1所示。非等间距移动荷载模型中的每个集中力大小为p0=9.8(0.25Mc+0.5Mt+Mw)。列车以100 m/s速度匀速通过桥梁,桥梁跨中竖向位移响应,如图2所示。由图2可知:车辆模型和移动荷载模型激励下的桥梁第1阶模态位移响应非常接近,且桥梁第1阶模态和第10阶模态位移响应也是非常接近的。因此,对于列车激励下简支梁桥的振动响应,可采用移动荷载模型且仅考虑桥梁第1阶模态响应。
表1 列车车辆模型参数与桥梁参数Tab.1 The parameters both bridge and train vehicle model
图2 桥梁跨中竖向位移响应Fig.2 The vertical displacement response of the bridge at mid-span
2 非等间距移动荷载傅里叶幅值谱
将式(5)进行傅里叶变换可得第n阶响应分量
Qn(ω)=Hn(ω)Fn(ω)
(7)
传递函数为
(8)
非等间距移动荷载傅里叶谱为
(9)
当振型为奇数时,即n=1,3,5,…,非等间距移动荷载傅里叶谱为
(10)
当振型为偶数时,即n=2,4,6,…,非等间距移动荷载傅里叶谱为
(11)
于是,对应的非等间距移动集中荷载引起的桥梁位移傅里叶谱为
对于一般的简支梁桥,通常仅考虑桥梁竖向第1阶振型即可满足计算精度要求。因此,本文仅考虑桥梁第1阶振型且忽略桥梁阻尼作用时的桥梁位移傅里叶幅值谱为
|Y1(ω)|=|Q1(ω)·φ1(x)|=|H1(ω)F1(ω)φ1(x)|=
(13)
观察式(13)可知:当x=0.5L时,对应的振型函数产生最大值;即在桥梁跨中位置会产生最大值;而对于传递函数,在ω=ω1附近将出现最大值。此时,桥梁位移傅里叶幅值谱的最大值,仅与移动荷载傅里叶幅值谱的最大值有关。非等间距移动荷载傅里叶幅值谱的大小为
|F1(ω1)|=
为了进一步分析非等间距移动荷载傅里叶幅值谱与桥梁位移响应幅值之间的关系,根据表1所示的跨度为30 m的桥梁及相关的移动荷载参数,得到了移动荷载激励下的桥梁自由振动时域响应的位移幅值、移动荷载傅里叶幅值谱分别与移动荷载速度之间的关系曲线,分别如图3(a)、图3(b)所示。根据图3(b)可知:随着荷载速度的增加,移动荷载傅里叶幅值谱出现了一系列的极值点,这与在时域中得到的v-y(L/2,v)曲线规律一致如图3(a)所示。因此通过图3可知:对桥梁自由振动时期的位移响应幅值的分析,可以等效为移动荷载傅里叶幅值谱的研究,另一方面也验证了本文移动荷载作用下桥梁振动响应在频域分析的正确性。
图3 移动荷载傅里叶幅值谱与桥梁位移响应幅值Fig.3 Fourier amplitude spectrum of moving loads and displacement response amplitude of bridge
3 基于移动荷载傅里叶幅值谱的消振机理
目前,对于移动荷载作用下桥梁自由振动时期的消振效应的研究,主要是从时域角度分析,而该方法的理论分析推演比较复杂。根据图3可知,移动荷载作用下桥梁自由振动时期的位移响应幅值可等效为桥梁位移傅里叶幅值谱的研究。因此,对于移动荷载作用下桥梁自由振动时期消振效应的分析,可转化为对桥梁位移傅里叶幅值谱的研究。
根据式(13)可知:变间距移动荷载作用下的桥梁位移傅里叶幅值谱,与桥梁跨度L、基频ω1、移动集中荷载间距l1,l2及移动荷载速度v等参数有关。当变间距移动荷载作用下桥梁发生消振效应时,即|Y1(ω)|=0,此时对应的移动荷载傅里叶幅值谱的大小为
|F1(ω1)|=
其中,令
(16)
根据式(15)可知,对于移动荷载作用下的桥梁,其自由振动时期的消振研究可简化为仅考Fcan=0。为了分析方便,在式(16)中,令cos(ω1L/2v)=A,cos(ω1l1/2v)=B,cos(ω1l2/2v)=C。显然,A,B,C任意一项等于0,则Fcan=0,即桥梁产生消振现象。因此,在式(16)中,对Fcan=0的消振分析,可分别考虑A=0,B=0和C=0进行分析。
当A=0时,则Fcan=0消振成立,此时有
(17)
对应的移动荷载速度为
(18)
同理,当B=0或C=0时,Fcan=0消振也成立,此时对应的移动荷载速度分别为
(19)
(20)
根据以上式(18)~式(20)可知,移动荷载消振速度可以分为两类:第一类消振速度v1-can仅与桥梁参数有关,如桥梁基频ω1与跨度L,见式(18);第二类消振速度v2-can则涉及桥梁与移动荷载相关参数,如桥梁基频ω1、移动荷载间距l1和l2,见式(19)和式(20)。上述移动荷载傅里叶幅值谱的相关理论分析清晰易懂,下面将通过算例进一步验证基于移动荷载傅里叶幅值谱分析桥梁消振的有效性。
4 算例验证
本节考虑标准跨径L=24 m和L=32 m的铁路简支梁桥,以及不同的列车移动荷载间距l1=2.5 m,3.0 m和l2=17.5 m,18.7 m,19.0 m,得到了与移动荷载速度相对应的移动荷载傅里叶幅值谱,如图4(a)、图4(b)所示。根据图4可知:移动荷载傅里叶幅值谱,并不是随着速度的增加而单调增加,而是从低速到高速出现了一系列的极值点;对于不同跨径简支梁,各极值点对应的移动荷载速度各不相同;对于同一跨径的简支梁,部分极小值点对应的移动荷载消振速度并不受移动荷载间距的影响,这是因为这些极小值点仅与简支梁本身有关,这些极小值点对应的消振速度为第一类消振速度,而其它极小值点所对应的移动荷载消振速度受到移动荷载间距l1和l2的影响,属于第二类消振速度。根据式(19)、式(20),由于移动荷载间距的大小关系通常是l1 图4 考虑不同移动荷载间距的移动荷载傅立叶幅值谱Fig.4 Fourier amplitude spectrum of moving loads considering different moving load spacing 针对某跨径简支梁,改变移动荷载间距l2,不同类型的移动荷载消振速度如图5(a)~图5(c)所示。观察图5可知:在0~20 m/s移动荷载低速区域存在大量的消振速度,而随着移动荷载速度的增大,消振速度数量越来越少。因此,分析移动荷载在高速区域的消振速度更有意义。在图5中,高速区域的消振速度分别对应着式(18)~式(20)所求的两类消振速度,各消振速度如表2所示。观察表2可知:分布在20~100 m/s速度区域的第一类消振速度和第二类消振速度主要与桥梁结构特征和移动荷载间距l2有关,而受移动荷载间距l1影响的消振速度最大值仅为20.40 m/s。根据式(18)~式(20)可知:仅与桥梁结构特征有关的第一类消振速度最大值可以达到261.04 m/s,而与移动荷载间距l2有关的第二类消振速度最大值达到142.70 m/s。从图5(a)~图5(c)和表2可知:移动荷载间距l2的变化对于第二类消振速度的影响不大。目前铁路简支梁桥,其跨径L采用的是标准化跨径,而各种型号列车轮轴间距l2变化也不大,因此列车合理的运行消振速度可根据标准化的桥梁结构特征和移动荷载间距l2来确定。 图5 不同类型的移动荷载消振速度Fig.5 Different types of moving load cancellation velocities 表2 各个消振效应对应的移动荷载速度Tab.2 Moving load speed corresponding to each cancellation effect 为进一步验证频域分析中消振效应对应的移动荷载速度与时域计算结果的吻合性,取表2中的第一类与第二类消振速度进行时域验证,如图6所示。图6(a)为移动荷载间距l2=17.5 m,当移动荷载分别以速度142.70 m/s,87.01 m/s,20.40 m/s通过桥梁时,对应的桥梁跨中位置位移时程响应;图6(b)为移动荷载间距l2=18.7 m,当移动荷载分别以速度87.01 m/s,50.85 m/s,20.40 m/s通过桥梁时,对应的桥梁跨中位置位移时程响应;图6(c)为移动荷载间距l2=19.0 m,当移动荷载分别以速度87.01 m/s,51.67 m/s,20.40 m/s通过桥梁时,对应的桥梁跨中位置位移时程响应。 图6 桥梁跨中位移时程响应Fig.6 Time history response of bridge midspan displacement 很明显,在时域内,改变移动荷载间距l2,第一类消振速度87.01 m/s与第二类消振速度20.40 m/s均能使得简支梁桥在自由振动时期发生消振响应,如图6所示。这与频域分析相互吻合,即第一类消振速度仅与桥梁结构特征有关,与移动荷载间距l1有关的第二消振速度不受间距l2的影响。同样,在图6中,与移动荷载间距l2有关的第二消振速度142.70 m/s,50.85 m/s,51.67 m/s也使得简支梁桥在自由振动时期发生了消振响应。因此,上述时域结果验证了在频域内基于移动荷载傅里叶幅值谱分析的两类移动荷载消振速度的准确性。 本文提出了非等间距移动荷载作用下桥梁振动响应的频域分析法,并根据该方法推导出非等间距移动荷载作用下移动荷载傅里叶幅值谱;然后基于移动荷载傅里叶幅值谱,分析了非等间距移动荷载作用下桥梁自由振动时期的消振效应,且得到了两类消振速度。最后从时域角度对理论推导及分析进行了验证。研究结论表明:移动荷载傅里叶幅值谱能够有效反映桥梁自由振动位移响应幅值,即移动荷载作用下桥梁自由振动位移响应幅值,与移动荷载傅里叶幅值谱各个极值点所对应的荷载移动速度是相互吻合的;非等间距移动荷载的消振速度可分为两类,均会使得桥梁产生消振现象;第一类消振速度公式仅跟桥梁基频、跨度有关;第二类消振速度公式不仅与桥梁基频有关,还与移动荷载间距l1和l2有关;分布在高速度区域的移动荷载消振速度主要是第一类消振速度,以及与移动荷载间距l2有关的第二类消振速度。因此,基于本文的研究可对高速铁路桥梁的设计及列车运行速度的设定具有一定的参考价值。5 结 论