巧用数值假设 搭建解题桥梁

董开福

[摘 要]随着学生知识的积累和数学经验的增加，运用数值假设法可以有效解决部分图形周长（面积、体积等）扩大（缩小）类问题、图形周长（面积、体积等）比值类问题、因果关系类的问题。因为数值假设法自身的一些因素，使其在具体的运用过程中存在一定的局限性，只能在特定类型的问题中使用。

[关键词]数字;假设;数值;解决问题

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）23-0078-02

作为一门抽象性和实用性较强的学科，学习数学对学习者来说，不仅是在知识层面的拓宽延深，更是对数学思想、数学思维、数学方法以及数学敏捷性的一种训练与提升。随着学习者对数学学习的深入，数学知识和学习经验不断丰富，解决数学问题的方法也逐渐向着更简便、更有效的方向迈进。小学阶段，教师除了让学生掌握基础的数学知识和基本的数学技能，更应该注重对学生的数学思想、数学思维、数学方法等方面的训练与拓展。因而列方程、公式法、列举法、画图等多种方法在小学数学学习阶段都应进行教学。在这众多的方法中，笔者认为数值假设是一种值得借鉴和运用的方法。数值假设，就是把代数思维（方程思想）中的转化方法通过简化后，转变成适合小学生心理发展，便于学生理解、运用的一种方法。笔者认为运用数值假设法可以解决以下几类问题。

一、圖形周长（面积、体积等）扩大（缩小）类问题

数值假设法可以让学生在解决部分问题的过程中摆脱烦琐的计算与推理过程，直接以更迅速、更便捷的方式解决问题。

比如，一个长方体的长、宽、高都扩大了2倍，那么，它的表面积扩大了（ ）倍，它的体积扩大了（ ）倍。一般解题过程如下。

解：设长方体的长为a，宽为b，高为h，那么扩大2倍后，它的长就为2a，宽就为2b，高就为2h。

原来长方体的表面积=2（ab+ah+bh），原来长方体的体积=abh;

扩大2倍后长方体的表面积=2（2a×2b+2a×2h+2b×2h）=2（4ab+4ah+4bh）=2×4（ab+ah+bh）=8（ab+ah+bh），扩大2倍后长方体的体积=2a×2b×2h=8abh;

8（ab+ah+bh）÷[2（ab+ah+bh）]=4，即表面积扩大了4倍;

8abh÷（abh）=8，即体积扩大了8倍。

如果运用数值假设法，解题过程如下。

解：假设原来长方体的长为3 cm，宽为2 cm，高为1 cm，扩大2倍后长方体的长为6 cm，宽为4 cm，高为2 cm，则：

原来长方体的表面积=2×（3×2+3×1+2×1）=2×11=22（cm2），

原来长方体的体积=3×2×1=6（cm3）;

扩大2倍后长方体的表面积=2×（6×4+6×2+4×2）=2×44=88（cm2），

扩大2倍后长方体的体积=6×4×2=48（cm3）;

88÷22=4，即表面积扩大了4倍;48÷6=8，即体积扩大了8倍。

比较上面的两种方法，不难发现第一种方法因为字母的出现，无论是在计算过程，还是在理解方面都显得比较繁杂，对于小学阶段的学生来说，掌握这样的解题方法会有一定的难度，甚至会有一部分学生听不懂、学不会。而第二种方法直接把相关的量用具体的数值替代，在简化计算的同时，让学生直观了解每一个数字所代表的含义，进而进行计算并得出准确的结论，比第一种方法更利于学生理解和掌握。

二、图形周长（面积、体积等）比值类问题

有时，一些题目比较抽象，导致学生理解起来比较困难，这种情况下，如果用数值代替相关信息，就会让题目变得较为直观，有助于学生理解和思考。

比如，一个矩形和一个三角形的底相等，它们高的比是1∶2，它们面积的比是（ ）。

一般方法：根据题意，得知三角形的高是矩形高的2倍，它们的底相等;在等底等高的情况下，矩形的面积是三角形面积的2倍，在矩形和三角形的底相等，三角形的高是矩形高的2倍的情况下，矩形和三角形的面积比就是1∶1。

数值假设法：因为矩形和三角形的底相等，所以可以假设它们的底都是1，它们高的比是1∶2，就可以假设矩形的高是1，三角形的高是2，矩形的面积=1×1=1，三角形的面积=1×2÷2=1，它们的面积比就是1∶1。

对比以上两种方法，不难发现，把一些关键的数学信息用数值代替后，就可以把抽象、繁杂的思考过程变得直观、简洁，避免陷入思维的泥潭，在促进有效思考的同时，也体现了数学思维的简便性与实用性。

三、解决因果关系类问题

在解决一些因果关系类问题时，比如，判断正误：甲比乙多25%，则乙比甲少20%。由于题目中只告诉了甲、乙两者之间的数量关系，并没有给出具体数值，学生在解题时，一时无从下手。其实，对于这一类问题，如果运用数值假设法解题，那么整个解题过程将更简捷、明了。具体过程如下。

首先，根据单位“1”的判定方法，可以判断出前半句“甲比乙多25%”中的单位“1”为“乙”，为了方便计算，可以将乙设为100，则通过计算，就可以得出甲的数值为100×（1+25%）=100×1.25=125，至此，通过假设和计算，得出了甲和乙的具体数值。

接下来，将相应的数值代入到后半句话中，来判断结论正确与否。乙比甲少（ ），将前面的数值代入，计算为（125-100）÷125×100%=25÷125×100%=20%，判断得出“甲比乙多25%，则乙比甲少20%”这句话是正确的。

数值假设法的好处在于将单位“1”的量用数值假设出来后（通常为计算简便考虑，假设单位“1”的量时要根据后面的关系数灵活选择），可以根据不同的量之间的关系，通过计算得出其他的量，然后根据相关的数值进行计算并验证结论。在有效解决问题的同时，也训练了学生思维的灵活性。

四、数值假设法的局限性

通过对以上几种可用数值假设法解决的题型进行分析，不难发现，如果能够恰当运用数值假设法，会使得解题过程更为简捷，解题思路更为清晰明了，学生理解和掌握起来也更容易，但也不能否认，用数值假设法解决问题并不是在任何场合、任何模式下都能取得明显的效果，它也有一定的局限性。

1.使用范围的局限性

因为数值假设法所呈现的是某种特定的情形，假设出的数值具有个体性的特征，不能代表大范围和具有普遍性特征的内容。因此，数值假设法只适用于解决如填空、选择、判断等问题，不适合运用在解决问题、描述性问题等题型中。

2.数值选择的局限性

可以假设的数值通常都需要具备以下特点：（1）如果在解题过程中出现小数或者分数，那么所设数值尽可能是整十、整百数，便于通过计算将小数转化为整数;或是选用分母的公倍数，通过计算将分数转化为整数，从而简化解题过程。

比如，由于圆锥的体积计算公式为[V=13πr2]，因此运用数值假设法解决有关圆锥体积问题的时候，就需要尽量选择符合条件的3的倍数作为假设的数值，这样就可以简化计算，提升解题效率。

（2）数值假设法中所设的数值需要坚持“趋小化”原则，在符合条件的情况下，数字越小越好。通常我们都在1、0、-1等数字中进行选择，如果这些数字不合适，我们再考虑稍大一点的数字。因为数字越小，计算越简单，计算错误的概率也越小。

鉴于以上两点，数值假设法中所选用的都是一些特定的数字，在某些程度上不能代替全部数据，具有一定的局限性。

3.学生群体的局限性

因为数值假设法是从转化方法中提炼出来的一种方法，它的运用主要是为了让学生在面对较复杂的代数问题时，把相关的字母信息转为具体的数值。因此，解决代数问题时，这种方法对于小学阶段的学生来说比较方便，但随着学生知识和解题经验的增加，尤其是在中学阶段，学生真正掌握了代数知识之后，数值假设法的作用不仅变小了，而且显得繁杂了。

4.知识内涵的局限性

数值假设法实际上是运用具体的数值替换了相应的字母，正因为如此，所假设的数字只能代表某一个特定的量，并不能反映出量与量之间的联系和区别。因此，数值假设法的运用可以简化计算过程中，但不能明确地表示出相应的推導过程，在知识内涵中存在一定的局限性。

5.数学逻辑的局限性

数学是逻辑性很强的一门学科。在解决数学问题的过程中，每一个环节、每一个步骤都需要严密的逻辑思维。数值假设法虽说具有一定的逻辑思维，但就严密程度来说，还存在不足。因此，数值假设法的运用会随着学生学习程度的加深而逐步淡化，被更符合实际、更具有数学逻辑性的方法所取代。

总之，数值假设法给解决部分数学问题打开了新的大门，提供了更便捷的途径。对于小学阶段的学生的数学思维、数学方法的提升提供了一定的帮助，但也因为其自身的局限性，使得学生在运用这种方法时要不断积累、不断完善。

（责编 黄 露）