丰富教材内容 凸显方程本质

于伟玲

[摘 要]方程是小学数学中重要的概念。在尊重教材的基础上，文章深入挖掘教材，将方程的形式化表征与其蕴含的思想内涵有机融合，突出等量关系在列方程中的重要作用，让学生经历建立方程模型的过程，凸显方程本质，建构方程概念。

[关键词]方程本质;等量关系;建模

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）23-0067-02

“方程的意义”是人教版教材五年级上册第五单元的教学内容，是学生学习代数知识的开始，它实现了从算术思维向代数思维的重大跨越。学生在学习中需要经历把实际问题抽象为方程模型，也就是建模的过程，如何渗透这数学建模思想，体现方程的核心价值，这是教师面临的挑战。

一、关于“方程的意义”教材的编排

教材编排“方程的意义”时是以连环画（5幅图片）的形式呈现的，第一幅图：由天平左右两端平衡引出等式;第二幅图：天平平衡，发现空杯子的质量是100克;第三幅图：空杯子中加水后显然比100克重;第四幅图：两次调试，由方程不平衡引出不等式;第五幅图：第三次调试方程平衡，由一杯水重250克列出含有未知数的等式。最后脱离天平模型列出含有未知数的等式，总结方程的意义。

教材内容很简单，教师是应该遵循教材，还是抛弃教材，进行大刀阔斧地创新呢？笔者查阅了各个版本的教材，对比和分析后发现，大多数都是采用天平这个媒介引入等式和方程，再也没有比天平作为等式的模型更直观，更利于学生理解了。“天平”这一形式化的媒介，生动揭示了方程概念的内涵和外延。这是一节课题研究课，借助视频动态演示能体现信息技术在小学数学教学中的应用优势。基本的教学思路已经清晰：尊重教材的基础上深入挖掘教材内容，丰富方程的内涵。

怎样才能讲出方程的本质和内涵呢？著名数学家陈重穆教授指出：“‘含有未知数的等式叫方程这样的定义要淡化，不要记，无须背，更不要考。关键是要理解方程思想的本质以及它的价值和意义。”因此，要改变常规课堂中紧扣方程字面意义的局面，从静态定义转向让学生积极主动地动态建构对方程的认识，从表面深入其本质，真正领悟方程的思想精髓。

二、此“等式”，非彼“等式”

教材中第一幅图的天平左边有2个50克砝码，右边有一个100克砝码，天平处于平衡状态，要求学生列出一个等式，为接下来利用天平认识方程提供了有利的支撑。

【教学片段1】

演示天平平衡：

师：天平上发生了什么？

生1：天平左边放了2个50克的砝码，右边放了100克砝码，天平平衡了。

师：能用一个式子把天平左右两边相等的关系表示出来吗？

生2：50+50=100。

师：谁来说说这个式子的各个部分是怎样得到的？

生3：左边是2个50克的砝码，就是50+50，右边是100克砝码，左边和右边相等，所以用等号连接。

师：像这样表示左右两边相等的式子就是等式。

师：大家在低年级时就会口算50+50，今天这个50+50=100和口算50+50=100一样吗？

生4：不一样的，今天学习的这个等式是通过天平平衡得到的。

师：对呀，今天学习的这个等式带给我们不一样的体验，它是通过天平两边平衡之后得到的。

利用天平平衡让学生列出等式对五年级学生来说并不是一个难点，因为学生从一年级开始就会用等式表示运算结果。但是今天学习的等式和以前学习的等式内涵一样吗？学生对这个概念是模糊的，这就需要利用天平对等式进行全新的学习。学生以前接触的算式是知道数据和运算符，通过运算得出结果，这就是程序化的思考方式，它是单向的。而这节课认识的等式是结构化的思考方式，它表达的是一种关系和结构，等号两边的数学对象是等价的。等式是认识方程的基础，方程表示的也是一种等价关系，虽然都是等式，但是有本质区别。

三、未知数与已知数“平起平坐”

学生以前学习的都是用已知数通过运算得到未知数，也就是算术的解法，而方程就是在未知数与已知数之间建立起来的等式关系，未知数和已知数一样参与运算，享受同等的地位，这是算术向代数发展的重大飞跃。在教学中如何体现方程这一核心本质呢？

【教学片段2】

视频演示天平经过三次调试平衡的过程：

师：一起来看一看找平衡的过程。通过第一幅图，我们知道了什么？

生1：空杯子的质量是100克。

师：第二、三、四幅图的意思是什么？

生2：第二幅图中，空杯子加水之后一定会比100克重;第三幅图中，右边加100克砝码之后，天平的左边重一些;第四幅图中，继续调试，右边再加100克砝码，天平右边又重了，说明这杯水比300克砝码轻。

师：通过第三幅和第四幅图，想到什么？

生3：这杯水的质量应该在200克与300克之间。

师：最后一次调试，把右边的一个100克砝码换成50克砝码。经过三次调整，天平终于平衡了。

师：我们已经知道空杯子的质量是100克，可以把它看成已知数，水的质量不知道，那应该怎么办呢？用x克来表示，能用一个等式把天平左右两边相等的关系表示出来吗？

生4：100+x=250。

师：通常情况下我们用x、y、z来表示未知数。

師：在以前的学习中，未知数不会出现在我们列的算式中。现在它不但出现了，而且和50、100这样的已知数平起平坐。这标志着我们的学习进入了一个新的阶段。

本节课的重点是建模思想，因为它是方程思想的核心。方程的模型就是用等号将相互等价的两件事情联系起来，在阐述这个事实中，未知数因势而生，把它和已知数放到了同等的地位，就要引领学生转换视角，把未知数看成一个已知条件参与到运算中，这对于学生来说是一种思维的颠覆。

四、“等量关系”不能避而不谈

人教版教材 “方程的意义” 中并没有提到等量关系，那么教学中是否要把等量关系提炼出来呢？构建方程的最重要的环节就是分析具体情境中的数量关系，找出两件等价的事情后建立等式，也就是数量间的相等关系即等量关系，如果避而不谈，弱化等量关系，学生就会凭着感觉走，对方程的认识就会仅仅停留在形式上，不能上升到理性认识，淡化了对方程内涵的理解。学生的关注点只有集中到方程表示的等量关系，对于方程的认识才能达到更高的水平。因此在教学过程中，还是要让学生找出等量关系，经历构建方程的过程。

【教学片段3】

视频演示调试砝码天平平衡：

学生列出含有未知数的等式：

[杯子的质量+水的质量=砝码的质量][100+x=250]

师：这个等式表示什么？

生1：天平的左边表示杯子加水的质量，天平的右边表示砝码的质量。

师：这是根据“杯子的质量+水的质量=砝码的质量”这个等式列出来的。大家不要小瞧了这个相等关系，我们称它为等量关系。100+x=250这个等式就是根据这个等量关系写出来的。

师：同桌先说一说，再结合下图说说这个等式表示的意思，它的等量关系是什么？

在建立方程模型的过程中，一般是先让学生用自己的语言阐述要解决的问题，然后抽象为数学语言，提炼出等量关系，最后用数学符号建立方程解决问题，建立方程的关键就是找出等量关系。学生在这节课上才初识等量关系，教材中提供的具体情境比较简单，学生又刚刚认识了等式，所以顺应学生的思维先列出等式，再让学生讲讲等式表达的含义，自然引出等量关系，最后通过练习再次强化等量关系。实践证明，方程模型的建立不是一蹴而就的，需要一个循序渐进的过程，但是对方程本质的深入认识要贯穿其中。

对方程思想的认识比定义更重要，体会等量关系比技巧训练更重要。让学生在具体情境中，经历建构方程模型、解决问题的过程中，感悟方程的思想内涵，应该是方程教学的价值所在。

（责编 金 铃）