拓展性学习：基于“1+x”的课程实践

纪应华

[摘 要]基于“1+x”的课程，通过趣味性拓展、动态性拓展以及文化性拓展，能激發学生研究热情，提升学生数学认知，深化学生对数学知识技能、思想方法与文化精神的体认。其中，“1”是单一性的，而“x”是多元性的，通过“1+x”可以提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

[关键词]小学数学;拓展性学习;课程实践

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）23-0046-02

近年来，小学数学课程开发正逐步成为数学教学的研究热点。拓展性课程的实施，摒弃了传统数学教学“繁难偏旧”的奥数化趋势，代之而起的是灵动化、多样化、综合化的数学学习新样态。拓展性学习具有趣味性、动态性和文化性等特质。作为教师，可以基于“1+x”的课程实践视角，引导学生对数学知识、技能、方法和思想等进行有效性拓展。其中，“1”是教材中的基本数学知识，“x”是基于教材又超越教材的拓展性内容。显然，“1”是单一性的，而“x”是多元性的。富含趣味性、动态性和文化性的拓展性学习，可以提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

一、趣味性拓展：激发研究激情

长期以来，学生的数学学习往往容易出现两种倾向：一是学习的简单化倾向，二是学习的繁难化倾向。学习的简单化倾向主要表现为学生的数学学习主要围绕教材中的简单问题展开，往往只是对知识的重复识记与应用;学习的繁难化倾向主要表现为对学习内容过度地、人为地拔高，让学生觉得数学枯燥，由此丧失数学学习兴趣，甚至谈“数”色变，畏惧数学、害怕数学。趣味性拓展，就是在学生原有学习认知的基础上，注入一些学生感兴趣的素材、内容，激发学生学习热情的同时对数学学习进行拓展。

如笔者教学“因数和倍数”（苏教版教材五年级下册）之后，安排了一节趣味性拓展课——完美的“完美数”，引导学生观察、猜想、验证、质疑、推理等。在活动中，师生一起探究完美数的性质。首先，笔者出示资料：古希腊人认为，如果一个数恰好等于它的所有真因数（不包括它自己的所有因数）的和，那么这个数就是“完美数”（完全数）。

（1） 请从50以内的数中找出两个完美数，并说明理由。

（2） 请根据下列条件找出完美数：这个完美数是偶数，并且非常接近500。

（3） 拓展完美数的视界：数学家到目前为止还没有找到奇完美数，只找到了一些偶完美数，比如6、28、496、8128、33550336、8589869056、137438691328、2305843008139952128……请认真观察，并说说这些完美数有什么共同特点。（末位都是6或者28）

（4） 探究完美数的特征：数学家在研究中发现了完美数的一系列特征，比如完美数都可以拆分成若干个相邻自然数的和。请选择几个完美数，将它们拆分成连续的相邻自然数的和。

（5） 数学家通过研究还发现：所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次方之和，比如6=2?+2?，28=2?+2[3]+2[4]，等等;除了6之外的偶完全数，还可以表示成连续奇数的立方数之和。你知道28可以表示为哪几个奇数的立方数之和吗？

美国科普大师马丁·加德纳指出，“唤醒学生的最好办法是向其提供有吸引力的数学游戏、智力题、魔术、笑话、悖论、打油诗或那些呆板的教师认为无意义而避开的其他东西。”学生在探究的过程中感受、体验到“完美数”的近乎完美的性质，感悟到“完美数”的奇异之美。在研究的过程中，笔者还让学生借助信息技术查询资料，从而认识到完美数更多的完美性质。这些性质犹如一颗颗闪亮的珍珠，让数学学习多了一些趣味，少了一些枯燥和冰冷。

二、动态性拓展：提升数学认知

学生的数学学习过程是一个生动活泼的过程。传统的数学教学，其拓展与延伸往往是通过减少题目的条件或者增加题目的问题，或者增加学生思考的步骤来实现的。这样的教学虽能增强学生的解题能力，却不能让学生在学习中触类旁通、举一反三。教学中，教师应当将教材中的静态知识动态化，从而让学生的数学学习更加鲜活。通过动态性拓展，让学生的数学知识获得动态生长。

静态性的数学知识学习中，学生往往会出现感悟肤浅、感悟不完整等现象，由此常常导致深度理解受阻。动态性拓展，往往能够突出学生数学学习的自主性、能动性、参与性，让学生对数学知识获得更深刻的体悟。比如教学“循环小数”（苏教版教材五年级下册）这部分内容时，许多教师都会对分数化成小数的内容进行拓展、延伸，诸如怎样的分数可以化成有限小数？怎样的分数可以化成纯循环小数？怎样的分数可以化成混循环小数？等等。这样的教学是一种“规则性”教学，学生往往“知其然，而不知其所以然”。笔者是以探究规律的方式引导学生展开深度学习，让学生的数学学习过程化、动态化，提升学生的学习力。以下是笔者设计的“无限循环小数可以化成分数吗？”探究导学案：

[问题]无限循环小数可以化成分数吗？

[探究]解决复杂的问题要从简单的情况入手，比如0.2×10=（     ）;0.2=0.222……。

把两个式子的等号两边分别相减，结果如下：

0.2×10-0.2=2.222……-0.222……?0.2×9=2?0.2=[29]

[应用]你看懂了吗？尝试将0.7、0.15分别化成分数。

这样的动态化教学，让学生对陌生的数学知识的认知由浅入深、由表及里、由此及彼。动态性拓展，不仅有利于调动学生数学学习的积极性，而且有助于帮助学生积累数学基本活动经验，让学生展开有深度的数学学习。这种深度，不是结果性的深度，而是过程性的深度。

三、文化性拓展：深化数学体认

拓展性教学不仅要致力于激发学生的数学学习兴趣，更应致力于延伸学生的数学视界。在小学数学教材中，拓展性内容往往是以“你知道吗？”的栏目呈现的。对此，许多教师教学常常只是蜻蜓点水，点到为止，虽然也能让学生掌握一定的数学文化知识，但并不能让学生真正感受和体验到数学文化。数学文化与数学教学内容往往是两张皮，对于数学文化性拓展内容，学生只是简单地看一看、听一听，是难以体认到知识的文化性和精神性的。作为教师，在进行数学教学的过程中，不仅要进行文化性的链接和简单再现，更要注重文化性的融入。

融入数学文化，能让学生与数学深度遇见。在数学教学中，教师要引导学生经历数学知识诞生的过程，使学生感受到知识诞生的文化背景，体悟到知识诞生的文化意义。正如匈牙利著名数学教育家波利亚所说：“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识做出更好的判断。”比如教学“用字母表示数”（苏教版教材五年级上册）时，许多教师喜欢在课末引入法国数学家韦达用字母表示数的历史，以期拓宽学生的数学视界。但这种拓展只是一种文化知识的简单普及，并不能让学生深刻感受、体验到文化的意义和价值。笔者在教学中，循着人类代数符号化的历程——“文辞阶段”“缩写阶段”和“符号阶段”，引导学生重踏人类探索“用符号表示数”的历程，重温人类思维的进价过程。

[操作]用小棒摆1个三角形、2个三角形、3个三角形……

[思考]小棒根数与三角形个数之间有怎样的关系？你能用一个式子来表示三角形的个数与小棒根数之间的关系吗？这里的a可以表示哪些数？

[总结]这里的“a”以及“a×3”表示什么意义？

显然，用字母表示数，并不是简单地用字母“代替”数的过程，而是要学生形成一种符号意识，形成一种符号化的能力，并且能进行积极的符号化实践。波利亚说：“学习数学只有当看到数学的产生、按照数学发展的历史顺序或亲自从事数学发现时，才是最好地理解了数学。”通过文化性拓展，学生不仅理解了用字母表示数的规则，更深刻理解了“用符号表示数”的意义和价值。

通过这样的学习，学生会惊叹于古代劳动人民的智慧和创造力，感受到数学的历史和力量。这样的一种拓展式教学，突出了学生的主体性地位，彰显了学生数学学习的主动性、参与性，不仅激发了学生的研究热情，提升了学生的数学认知，更深化了学生对数学文化、精神的体认，进而让学生的数学核心素养获得生长。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 潘小福.小学數学教材的专业化解读[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2017.

[2] 陈加仓.小学数学拓展课：教什么，怎么教[M].北京：中国人民大学出版社，2017.

[3] 周立泰.试谈数学思维品质的培养[J].运城高等专科学校学报，1999（3）.

[4] 谷尚品.小学数学拓展课案例精选3[M].杭州：浙江教育出版社，2019.

[5] 洪细苗.小学数学拓展课案例精选4[M].杭州：浙江教育出版社，2019.

（责编 罗 艳）