基于能量平衡的基础隔震结构地震响应预测及优化设计法研究

2021-09-19张云浩严国虔郑光益鲍银鹏

振动与冲击 2021年17期

张云浩，李波，严国虔，郑光益，鲍银鹏

(长安大学建筑工程学院，西安 710061)

基于能量平衡的地震响应预测与设计是一种着眼于地震能量输入与耗散的设计理论方法[1]。该法将建筑结构在地震下的响应过程利用能量平衡方程描述，能够更加全面地反映结构地震响应的过程与本质[2]。

在结构设计中，研究和设计人员关心如何从最小限度的已知量中获得更多与建筑结构变形、损伤相关的信息，并希望通过简略的预先设计以避免多次地震响应时程分析。基于能量平衡的响应预测法通过建立能量平衡方程，能够得到包括最大位移、剪力等在内的参考性预测结果,并对结构在地震中的安全性做出评价。该预测过程也可成为简化设计的重要前期步骤[3]。

隔震技术作为结构被动控制的有效方法，目前已被众多建筑结构采用。在上部结构与下部基础结构之间设置由叠层橡胶支座和滞回型阻尼器(如铅阻尼器、环状钢棒阻尼器)组成的隔震层是结构的一种有效隔震方式。根据能量原理[4]，由于隔震层的侧向刚度显著小于上部结构，地震动能量一旦输入结构，就立即以弹性振动能的形式储存在隔震层具有竖向高强承载能力和侧向大变形能力的隔震支座中，并在低周往复振动中由阻尼器累积塑性耗能吸收，由此隔震层的最大变形得以控制，安全变形范围内的往复振动状态得到维护。

等价往复滞回次数定义为阻尼器吸收的累积塑性能与结构单向最大位移对应的单次滞回环曲线能量之比，是基础隔震结构基于能量的地震响应预测与设计中的重要参数，其大小直接影响地震响应预测精度[5]。由于等价往复滞回次数根据地震动的不同特征具有很大的离散性，目前在响应预测中普遍设定为偏于安全的下限值2.0[6-7]。但高橋誠等[8]的研究指出，在阻尼置放量较大时等价往复滞回次数将可能出现降低现象，并出现低于2.0的情况。本文基于高橋誠等建议的下限值经验公式所导出的考虑等价往复滞回次数降低的响应预测式则能够更好地包络阻尼置放量较大时结构的地震响应。

北村春幸等[9]建议的最优剪力设计法，通过计算总剪力系数预测式的极小值，能够确定令隔震层剪力为最小时所需的阻尼置放量，这可以带来最小的加速度响应，但未充分考虑隔震层位移的设计性能需求。裴星洙等[10]对框架-摇摆墙的研究中，利用层间位移角、加速度和楼层位移与相应无控结构响应之比构建优化设计目标函数，利用时程分析确定不同加权系数下的阻尼器优化布置方式。文献[11]对附加调谐黏性质量阻尼器结构的研究则提出利用主结构剪力降低率和位移降低率构建优化设计目标函数，同样利用时程分析得到了阻尼器优化置放量。本文提出的利用隔震层位移降低率和总剪力降低率的线性组合构建的优化设计目标函数，则能够根据位移和剪力的不同设计侧重需求经计算确定滞回型阻尼器的阻尼置放量。

本文建立了隔震层设置滞回型阻尼器的基础隔震结构地震能量平衡方程，提出考虑等价往复滞回次数降低的响应预测法。基于优化设计目标函数提出考虑剪力和位移不同侧重需求的优化设计方法，并给出了详细设计步骤和设计流程。最后通过对6层钢框架基础隔震结构进行优化设计和时程分析验算，对该设计方法的可行性进行了验证。

1 最大响应发生时刻的能量平衡方程

根据秋山宏的理论，隔震层设置滞回型阻尼器的基础隔震结构可认为是以橡胶支座作为柔性支承单元和以阻尼器作为刚性耗能单元的刚柔混合结构，其能量时程响应模式如图1所示。横轴表示地震动时刻，tm表示结构最大响应发生时刻，t0表示地震动结束时刻。E表示地震输入能量，E(t0)可根据能量谱获得。fWe、fWp分别表示柔性单元的弹性振动能、黏性阻尼耗能。sWe、sWp分别表示刚性单元的弹性振动能、累积塑性能。弹性振动能在tm时刻为最大值，而在t0时刻完全消散。因此，利用tm时刻的能量平衡方程可以预测结构最大位移和剪力系数；利用t0时刻的能量平衡方程则可以预测刚性单元的累积延性系数。

图1 刚柔混合结构地震能量时程响应模式图Fig.1 The time history of seismic energy response of flexible-stiff mixed structure

由图1可知，对于在预期强震下仅考虑刚性单元作为结构耗能元件，柔性单元保持弹性状态的刚柔混合结构，其tm时刻的能量平衡方程如下

fWe(tm)+sWe(tm)+sWp(tm)+fWh(tm)=E(tm)

(1)

若忽略刚性单元的弹性振动能，并定义ED=E-fWh为累积滞回耗能，表示对结构造成损伤的能量，则能量平衡方程改为

fWe(tm)+sWp(tm)=ED(tm)

(2)

ED由秋山宏提出的累积滞回耗能谱经验公式计算

(3)

式中，h为黏性阻尼比。对于有必要提及结构抗震性能的地震输入能量，黏性阻尼耗能或累积塑性能占比很大，地震输入能量通常存在关系E(tm)≤E(t0)，因此在tm时刻能量平衡方程中利用E(t0)替代E(tm)将使响应预测偏于安全，由此能量平衡方程改为

fWe(tm)+sWp(tm)=ED(t0)

(4)

此时ED(t0)可由能量谱和式(3)获得。式(4)即表示隔震层设置滞回型阻尼器的基础隔震结构最大响应发生时刻的地震能量平衡方程。

2 地震响应预测研究

2.1 隔震层最大位移及剪力系数预测

本文讨论剪切型模型[12]。隔震层由作为柔性单元的叠层橡胶支座和作为刚性单元的滞回型阻尼器组成。各单元的恢复力特性如图2所示。叠层橡胶支座侧向刚度为kf，最大剪力为fQmax；滞回型阻尼器的恢复力特性为理想弹塑性，侧向刚度为ks，屈服剪力为sQy。隔震层最大总剪力为Qmax，最大位移为δmax。仅设隔震支座时体系的基本周期为Tf。下标f表示作为柔性单元的叠层橡胶支座；下标s表示作为刚性单元的滞回型阻尼器。将上部结构看作刚体，总质量设为M。为使预测式形式简便同时令预测结果偏于安全，预测中假设地震输入能量全部由隔震层耗散，忽略上部结构耗能。

tm时刻的能量平衡方程由式(4)给出。分别定义叠层橡胶支座剪力系数αf、滞回型阻尼器屈服剪力系数αs(即阻尼置放量，以下称阻尼量)、隔震层总剪力系数α1如下

(5)

剪力系数之间具有如下关系

α1=αf+αs

(6)

引入基准响应量，定义无阻尼假设下仅设叠层橡胶支座的基准剪力系数α0和基准位移δ0如下

(7)

(8)

式中，VD为累积滞回耗能速度换算值，有

(9)

tm时刻叠层橡胶支座的弹性振动能表示为

(10)

利用等价往复滞回次数n，滞回型阻尼器在tm时刻的累积塑性能sWp(tm)表示为

(11)

将式(9)、式(10)和式(11)代入式(4)，得到如下方程

(12)

式(12)可解得αf与α0之比

(13)

又由αf和δmax间有如下关系

(14)

故最大位移δmax与基准位移δ0之比

(15)

通过式(15)即可预测隔震层最大位移δmax。由式(6)和式(13)得到总剪力系数α1与基准剪力系数α0之比

(16)

通过式(16)即可预测隔震层总剪力系数α1。

2.2 考虑等价往复滞回次数降低的地震响应预测法

为了尽量包络可能得到的实际响应值，目前基于能量平衡的基础隔震结构地震响应预测及相关研究均把n=2.0作为下限值取用，此时由式(15)、(16)得到

(17)

(18)

文献[8]的研究则指出，当刚柔混合结构中刚性单元的阻尼量较大时，结构中柔性单元承担的产生恢复结构原始状态的指向性、抑制刚性单元塑性变形向单方向积累的稳定性作用被削弱，刚性单元反复滞回循环的能量吸收能力出现下降，等价往复滞回次数n会相应出现降低现象，n=2.0所得到的预测式(17)、(18)可能将不能包络实际响应，并建议了下限值经验公式

(19)

式中，rq为刚柔单元剪力比。文献[13]的研究指出式(19)适用于隔震结构，但未给出明确的基于式(19)的预测式，在地震响应预测中难以直接参考使用。基于此，本文提出在预测式(15)、(16)基础上利用下限值经验公式(19)导出考虑等价往复滞回次数降低的响应预测式。

由于实际地震响应中的刚柔单元剪力比rq不可能提前预知，因此根据式(19)无法直接确定预测所用的等价往复滞回次数n，也就不能直接代入式(15)和式(16)得到响应预测值。根据剪力比rq定义，如果假设正负荷载作用范围隔震层位移相等，则有：

(20)

(21)

由式(20)、式(13)可作推导

(22)

故由式(21)知在αs>αf时有

(23)

式(23)可解得n关于αs/α0的函数关系式

(24)

式(24)将式(19)中n与rq的关系转化为n与αs/α0的关系，因此当阻尼量αs、基本周期Tf以及累积滞回耗能谱VD确定时即可确定响应预测所需的n。将式(24)代入式(16)得到n=1.0+rq关系下的隔震层总剪力系数α1与基准剪力系数α0之比

(25)

利用式(25)即可预测隔震层最大剪力系数α1。n=1.0+rq关系下的隔震层最大位移δmax与基准位移δ0之比可由下式导出，并用于预测隔震层最大位移δmax

(26)

3 基于时程分析的预测式评价

3.1 算例模型

建立5层钢框架剪切型模型[14],如图3所示。上部结构层高为3 m，各层质量均匀分布。侧向刚度为梯形分布，最上层刚度为底层刚度的1/2。上部结构具体参数如表1所示。叠层橡胶支座阻尼比取h=2%，侧向刚度分别取 21 500 kN/m和12 000 kN/m，相应的隔震结构基本周期为3.0 s和4.0 s。滞回型阻尼器屈服位移固定为2.4 cm，屈服剪力系数(阻尼量)作为主要分析变量分别取0.01,0.015,0.02,0.025,0.03,0.035,0.04,0.045,0.05,0.06,0.07,0.08,0.09,0.1,0.11,0.12。时程分析中设定模态常数阻尼比为2%以同时考虑上部结构及隔震支座黏性阻尼耗能，不再单独设定隔震支座阻尼系数。

图3 算例模型Fig.3 Analysis model

表1 上部结构参数Tab.1 Parameters of superstructure

3.2 地震波的选取

图4 能量谱Fig.4 Energy spectrum

3.3 等价往复滞回次数的评价

根据定义，将非线性时程分析得到的分析计算结果代入下式可算得各算例的等价往复滞回次数[17-18]

(27)

由此得到的n与rq的关系如图5所示，其中实线表示式(19)所建议的下限值经验公式。可以看出计算结果中n大部分大于2.0，且分布的离散性较大，其中ART EL CENTRO波下的最大值能够接近8.0。当rq<1.0时，则部分出现了低于2.0的现象，而式(19)同样能够基本包络这些分析计算值，故将其作为下限值是合理的。n与αs/α0的关系如图6所示，可见随着αs/α0的增大，n分布的离散性降低，且整体具有下降的趋势，并在αs/α0=0.243左右开始出现低于n=2.0的现象，本文基于下限值经验公式(19)推导的n与αs/α0的关系式(24)则能够基本包络这些低于n=2.0的时程分析结果。

图5 n与rq的关系Fig.5 Relation of n and rq

图6 n与αs/α0的关系Fig.6 Relation of n and αs/α0

3.4 位移及剪力系数响应预测式的评价

为了消除地震输入能量差异的影响，分析评价中的基准剪力α0和基准位移δ0均取时程分析计算值。图7为总剪力系数时程分析结果与预测式(25)的对比图，可以看出，当αs/α0≤0.243时，n=2.0的预测式(17)尚能包络时程分析结果，但在αs/α0>0.243时ART TAFT、ART EL CENTRO和HACHINOHE波均出现了大于预测曲线的现象，而式(25)则由于考虑了等价往复滞回次数n的降低现象，在αs/α0较大时仍能基本包络时程分析结果。图8为最大位移时程分析结果与预测式(26)的对比图。与总剪力系数类似，在αs/α0>0.243时ART TAFT、ART EL CENTRO和HACHINOHE波均出现了大于预测式曲线的现象，本文导出的式(26)相较于固定取n=2.0的预测式(18)，在αs/α0较大时仍能够预测到隔震层位移响应的上限值。

图7 剪力系数响应Fig.7 Response of shear coefficient

图8 最大位移响应Fig.8 Response of maximum displacement

4 优化设计研究

4.1 最优剪力设计

由式(16)可知总剪力系数预测式存在极小值α1min，即最优总剪力系数，并可通过函数求极值的方法求出。由式(15)得到阻尼量αs与最大位移δmax的关系式

(28)

由式(28)得到总剪力系数α1和最大位移δmax关系式

(29)

式(29)对δmax/δ0微分并求极值得到α1min所对应的最大位移δmax(α1min)

(30)

式(30)代入式(29)，得到总剪力系数极小值α1min

(31)

又由于

(32)

因此α1min所需阻尼量αs(α1min)为

(33)

定义Rd=δmax/δ0为位移降低率，Ra=α1/α0为总剪力降低率。设n=2.0，则由式(31)可以得到Ra(α1min)=α1min/α0=0.48，即设置滞回型阻尼器所能得到的总剪力最大降低率约为1/2。由式(33)得αs(α1min)/α0=0.226，小于使αs=αf的临界值αs/α0=0.243，因此考虑等价往复滞回次数降低的预测式(25)不会影响隔震层总剪力最大降低率。由式(30)可得Rd(α1min)=δmax(α1min)/δ0=0.26，即α1min所对应的位移降低率约为1/4。

α1min与δmax(α1min)间的关系可经推导利用δmax(α1min)和Tf表示

(34)

类似地，α1min与δmax(α1min)的关系也可用VD表示

(35)

利用上述关系，如果确定累积滞回耗能谱VD和基础隔震结构基本周期Tf，则通过调整滞回型阻尼器的阻尼置放量所能得到的最大剪力降低效果可以大致确定，并可通过式(30)、(31)确定此时隔震层的最大位移和最大剪力预测值。设n=2.0时，以Tf和VD为参数的α1min与δmax(α1min)关系如图9所示，从图中可知，如果设计累积滞回耗能谱vD=150 cm/s，基本周期Tf=4.0 s，则将最优总剪力系数所需阻尼量作为设计阻尼量时的地震下隔震层最大位移响应可以期望控制在25 cm以内，并把总剪力系数控制在0.12附近。

图9 隔震层最优总剪力系数与对应最大位移关系Fig.9 Relation between optimal total shear coefficient and corresponding maximum displacement

4.2 考虑剪力和位移设计侧重的优化设计法研究

上节得到的最优总剪力系数能够确定令隔震层剪力为最小值所需的阻尼量，这可以期望带来最小的加速度响应，但未充分考虑隔震层位移的设计需求。本节仿照求解预测式极值得到最优总剪力系数的思路，提出能够同时考虑剪力和位移的响应优化设计法。

为满足剪力及位移的不同优化设计侧重需求，利用位移降低率Rd和总剪力降低率Ra的线性组合构建优化设计目标函数Δ

Δ=minR=min(a·Rd+b·Ra)

(36)

式中:R为线性组合函数；a+b=1。根据式(15)、(16)，函数R可作推导

(37)

式(37)存在极小值的必要条件是b≠0，此时对式(37)微分求极值点得到函数R取极值Δ所需的相应优化阻尼量αs(Δ)为

(38)

为使设计具有充分安全冗余，设n=2.0，代入式(38)得

(39)

当确定加权系数b后即可利用式(39)得到αs(Δ)/α0。实际设计中a、b可根据剪力和位移的不同侧重需求取值。假定加权系数b=0、0.25、0.5、0.75、1.0，这5种组合分别代表的优化组合目标如表2所示。

表2 目标函数加权系数Tab.2 Weighting coefficients of objective functions

n=2.0时表2中5种组合下的函数R(式(37))表示的曲线如图10所示，可以看出当b=1时R=α1/α0，此时的优化阻尼量αs(Δ)即为最优总剪力系数所需阻尼量αs(α1min)。随加权系数b的减小曲线趋于平缓，并逐渐靠近δmax/δ0，R函数极值点大小逐渐增加，即αs(Δ)/α0逐渐增大。当b=0时，组合函数R=δmax/δ0，曲线已不存在极值，这表明将以最大位移程度作为唯一设计考虑标准，此时应根据设计容许位移的大小，利用式(28)确定所需阻尼量。

图10 不同加权系数下的函数RFig.10 Function R under different weighting coefficients

由于考虑等价往复滞回次数降低的响应预测法能够在广范围预测地震响应的上限值，因此可用于基础隔震结构设计响应评价与验算。给出隔震层设置滞回型阻尼器的基础隔震结构阻尼量优化设计流程如图11所示。若上部结构设计参数已确定，则阻尼量优化设计步骤为：

图11 优化设计流程图Fig.11 Flow chart of optimal design

步骤1 确定基本设计参数。确定隔震结构设计基本周期Tf和能量谱VE，利用式(3)计算累积滞回耗能谱VD。

步骤2 计算基准响应量。由式(7)计算基准剪力系数α0；由式(8)计算得到基准位移δ0。

步骤3 确定加权系数并计算优化阻尼量与基准剪力系数之比αs(Δ)/α0。根据优化组合目标确定加权系数a、b，利用式(39)计算αs(Δ)/α0。

步骤4 计算地震响应预测值。利用考虑等价往复滞回次数降低的响应预测法进行地震响应验算。根据αs(Δ)/α0是否大于0.243判断所用预测式，若αs(Δ)/α0≤0.243则由式(17)计算总剪力降低率α1/α0，由式(18)计算位移降低率δmax/δ0；若αs(Δ)/α0>0.243则由式(25)计算α1/α0，由式(26)计算δmax/δ0。之后由α1=α0·α1/α0计算总剪力系数预测值α1，由δmax=δ0·δmax/δ0计算位移预测值δmax。

步骤5 判断是否满足设计需求。若剪力及位移均能满足需求则由αs(Δ)=α0·αs(Δ)/α0计算优化阻尼量αs(Δ)。由此初步确定设计所需滞回型阻尼器阻尼置放量为αs(Δ)，之后转入滞回型阻尼器详细设计阶段。若位移不满足设计需求则返回步骤3并减小加权系数b；若总剪力系数不满足设计需求则返回步骤3并增大加权系数b。

4.3 设计实例

对处于二类场地的6层钢框架基础隔震结构进行罕遇地震波下的阻尼量优化设计以验证设计方法有效性。上部结构层高为3 m，质量及侧向刚度参数如表3所示。设计所用叠层橡胶支座黏性阻尼比取h=2%。以表2中组合3的优化组合目标为例，给出具体设计步骤如下：

步骤1 隔震结构基本周期设计为Tf=4.0 s，二类场地罕遇地震波能量谱为VE=150 cm/s，由式(3)计算累积滞回耗能谱VD=122 cm/s。

步骤2 由式(7)计算得到基准剪力系数α0=0.196；由式(8)计算得到基准位移δ0=0.777 m。

步骤3 由于优化组合目标设定为同时考虑剪力和位移，故相应加权系数设定为a=0.5，b=0.5。由式(39)计算得到优化阻尼量与基准剪力系数之比αs(Δ)/α0=0.337。

步骤4 由于αs(Δ)/α0=0.337>0.243，故由式(25)计算隔震层总剪力降低率得α1/α0=0.552，由此得到隔震层总剪力系数预测值α1=α0·α1/α0=0.108；由式(26)计算隔震层位移降低率得δmax/δ0=0.216，由此得到最大位移预测值δmax=δ0·δmax/δ0=0.168 m。

步骤5 若响应预测值满足设计需求则初步确定滞回型阻尼器阻尼量为αs(Δ)=α0·αs(Δ)/α0=0.066并转入详细设计阶段；若响应预测值不满足设计需求或需调整优化组合目标则返回步骤2调整加权系数。

对该6层钢框架基础隔震结构基于表2中组合2至组合5的4种组合目标分别进行阻尼量优化设计，基本周期分别设计为Tf=3.0 s和Tf=4.0 s，各组合经图11设计流程进行的阻尼量优化设计结果如表4。

表3 上部结构设计参数Tab.3 Design parameters of superstructure

表4 不同设计组合下的优化阻尼量αs(Δ)Tab.4 Optimal arrangements of dampers under different combinations

图12、图13分别表示利用ART KOBE、ART EL CENTRO、ART TAFT和HACHINOHE波对附加表4所示阻尼量的基础隔震结构进行非线性时程分析得到的总剪力降低率和位移降低率，并同时画出地震响应预测式曲线。可见4种组合的位移和剪力响应相比基准响应量均能大幅降低，其中组合5对应最优总剪力系数响应，总剪力系数降低效果约为1/2；组合4、组合3、组合2则顺次由于优化阻尼量的增大导致剪力系数相应增加、位移减小，能够满足表2中所列各组合目标的设计侧重需求。时程分析结果和预测式曲线对比可以看出，考虑等价往复滞回次数降低的响应预测式能够较好地预测设置优化阻尼量时隔震层响应的上限值，可用于优化设计的响应评价与安全性检验。