“函数的周期性”教学：基于相似性，重构数学史

徐洁岚 韩粟

摘要：学生的学习具有“历史相似性”。函数周期性概念难学恰恰是因为其经历了从描述性定义、不完善的形式化定义到较完善的形式化定义的演进过程，使得最终的抽象水平较高。因此，在教学中重构数学史，降低教学起点，从西方早期教科书中梳理出体现这一演进过程的周期函数定义，据此设计问题链，让学生在问题的解决中，充分经历函数周期性概念的发生、发展过程，从而全面、准确地理解概念，同时培育数学抽象素养。

关键词：HPM;函数的周期性;历史相似性;重构式;问题链

“东升西落照苍穹，影短影长角不同;昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣。”这一诗句描绘了自然界的周期现象，而函数的周期性则是定量刻画周期现象的数学语言。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》要求：“结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义;用几何直观和代数运算的方法，研究三角函数的周期性。”人教A版与沪教版高中数学教材不约而同地由正弦曲线所具有的周而复始的变化规律，结合正弦函数的诱导公式，引入函数的周期性，很好地体现了数学中从特殊到一般的逻辑顺序。但是，有研究表明，这样的设计容易让学生陷入“只有三角函数才是周期函数”的认识误区。因此，北师大版高中数学教材另辟蹊径，从水车运动情境、矩形波及锯齿波函数图像中，抽象出周期函数的概念，再从一般到特殊，分析三角函数的周期性。

事实上，无论教材采取何种逻辑顺序，都无法改变周期函数是高中数学难点概念的客观事实以及学生对周期函数存在诸多片面或错误理解的学情现状。对此，一些教师在教学中，尝试借鉴周期函数概念的发展历史，帮助学生理解这一概念。但是，这些课例中，数学史的运用基本上为附加式和复制式，如呈现思维导图、播放微视频等，未能充分体现函数周期性概念抽象水平（形式化、精致化程度）逐渐提高的发展过程（历史顺序）。实际上，学生的学习具有“历史相似性”，而函数周期性概念难学恰恰是因为其经历了抽象水平逐渐提高的发展过程，使得最终的抽象水平较高。因此，教师可以重构数学史，降低教学起点，让学生充分经历函数周期性概念的发生、发展过程，从而全面、准确地理解概念，同时培育数学抽象素养。

一、历史材料的梳理

数学史上，周期函数的概念经历了从描述性定义、不完善的形式化定义到较完善的形式化定义的演进过程。笔者结合教学实践中曾遇到的学生理解的难点，从西方早期教科书中梳理出了体现这一演进过程的周期函数定义，具体见表1。

二、教学设计与实施

本节课前，学生已经学习了函数的奇偶性、单调性及最值，获得了一些研究函数性质的经验，比如从特殊到一般、从直观（形）到抽象（数）。因为学生未学习三角函数，所以不能以三角函数为例引出周期函数的概念。考虑到所在学校的民族特色，可以从民族服饰图案中抽象出锯齿波函数图像，作为引出周期函数概念的例子。在此基础上，可以依据上述五则史料所体现的演进过程设计问题链，让学生在问题的解决中，充分经历函数周期性概念的发生、发展过程。

具体教学过程如下：

（一）现象感受

师 （出示图1—下页图3）这些情境给你什么样的直观感受？

生 图案有规律。

师 你能继续画出它的图案吗？为什么？

生 可以。因为这种规律还在重复进行。

生 月相也是在重复变化的。

师 你能预测最近一次满月的日期吗？参考数据：2020年12月19日为农历冬月初五。

生 农历十五那天是满月，也就是12月29日。

生 摩天轮在作匀速圆周运动。

师 已知摩天輪旋转一周约用28分钟。对摩天轮上任意一点P，28分钟后，点P在哪里？

生 回到原先的位置。

师 你能预测坐上轿厢7分钟后的位置吗？

生 7分钟后，轿厢前进了四分之一圆周，因此旋转了90°。

师 非常好！我们发现，上面这些现象是有规律地发生的。我们可以利用这种周而复始的规律，预测未来的某个时间会发生什么。（稍停）生活中有没有其他周而复始变化的现象？

生 交通信号灯的不同颜色灯出现的顺序。

生 二十四节气。

（该生背诵《节气歌》。）

生 太阳直射点在南北回归线之间移动。

师 今天恰好是冬至日，太阳直射——

生 南回归线。

[设计意图：从学生熟悉的社会和自然现象出发，引导学生用数学的眼光观察世界：直观感受周期现象，利用周期规律由已知预测未知，为引出函数的周期性做铺垫。]

（二）概念抽象

1.以形感悟，得到描述性定义。

（教师出示问题1。）

问题1从民族服饰的常见图案中抽象出函数图像，如图4所示。记该函数为y=g（x），则y=g（x）的图像具有怎样的特征？y=g（x）有哪些性质？

生 这个函数的图像具有对称性。

生 当自变量x为奇数时，函数有最大值1;当x为偶数时，函数有最小值0。

生 函数具有单调性。

师 函数y=g（x）的增区间是？

生 [-8，-7]，[-6，-5]，[-4，-3]，[-2，-1]，[0，1]，[2，3]，[4，5]，[6，7]，以此类推。

师 它们有怎样的规律？

生 每隔2重复出现一次。

师 单调减区间又有怎样的规律？

生 也是每隔2重复出现一次。

师 很好！也就是说，每隔长度为2的区间，函数图像就会发生重复。一百多年前，一位名为杜尔斐的美国数学家提出：当自变量增加时重复自身的函数称为周期函数，导致函数值发生重复的自变量的改变量就是函数的周期。15年后，另外一位美国数学家莫里兹提出了和大家类似的看法，他将每隔一个确定区间重复自身的曲线称为周期曲线，将这种曲线所表示的函数称为周期函数，将发生重复的区间长度称为周期。根据两位数学家的定义，函数y=g（x）的周期是——

生 它的周期是2。

（教师出示问题2。）

生 不满足，因为这个函数的图像没有对称性，也没有单调性。

师 请各位同学尝试调整这个函数的图像，使其也具有重复发生的特征。

（两位学生先后上台在希沃白板上移动函数图像，得到的结果分别如图6、图7所示。其余学生在草稿纸上绘制，教师巡视。）

师 大家都画出了自己认为的在“重复发生”的函数图像，它们各有不同。我们也注意到，函数y=g（x）的图像可以看作由一条一条相等的线段组成，这些线段本身就体现了某种重复发生的特征。因此，仅仅用“每隔一个确定区间重复自身的曲线”这样的描述性语言来定义周期函数还不够严谨，我们应该用数学的符号语言来定义函数的周期变化特征。

[设计意图：基于对周期现象的直观感受，让学生观察周期函数的图像特征，获得描述性定义;进而，通过希沃白板上的动态调整，让学生体会到“重复自身”等描述性语言的模棱两可，不符合数学的严谨性，因此需要用更精准的符号语言来定义函数的周期性。]

2.以数刻画，不断完善形式化定义。

（教师出示问题3。）

问题3 如何用符号语言描述函数y=g（x）的特征？

生 因为每当x增加2时，对应的y都相等，所以可以表示为g（x+2）=g（x）。

师 通过这个等式，我们可以得到函数y=g（x）的一个周期是2。（出示图7）设这个函数为y=h（x），那么y=h（x）的周期可以是多少？

生 每当x增加4时，对应的y都相等，有h（x+4）=h（x），所以函数y=h（x）的周期是4。

（教师出示问题4，然后在希沃白板上移动并“成倍拉伸”函数图像中两条平行于y轴、距离为一个周期的辅助线，画面定格于图8。）

问题4 函数y=g（x）的周期只能是2吗？

生 不一定。因为不仅有g（x+2）=g（x），还有g（x+4）=g（x），g（x+6）=g（x），…，所以周期可以是4，6，8，…。

师 如果用T代表周期，函数y=g（x）应该满足g（x+T）=g（x）的形式。这个T一定是正数吗？

生 T还可以是-2，-4，-6，…。所有2的整数倍都可以是这个函数的周期。

师 很好！回顾数学史，从莫里兹定义又往前推进了22年，1937年，罗森巴赫等人重新定义周期函数：设f（x）是变量x的函数，若存在一个数T，使得f（x+T）=f（x）对于x的所有值都成立，则称f（x）为以T为周期的周期函数。一个周期函数的周期的任意（整数）倍也是周期。

[设计意图：借助锯齿波函数图像，引导学生抽象出形式化定义的关键——f（x+T）=f（x）;然后，“成倍拉伸”图像中的辅助线，让学生发现周期的任意整数倍还是周期，从而给出初步的形式化定义。]

（教师出示问题5。）

问题5 “2的整数倍”都可以是函数y=g（x）的周期吗？

生 0不可以。当T=0时，g（x+T）=g（x）即为g（x）=g（x），是恒等式。

师 那么，我们如何完善上述周期函数的定义呢？

生 存在一个非零常数T，使得f（x+T）=f（x）。

师 好的。那么，对于自变量x而言，是对任意x，都有f（x+T）=f（x），还是只要存在一个x，使得f（x+T）=f（x）就可以？

生 对任意x，f（x+T）=f（x）都要成立。

师 很好！无独有偶，1955年，美国数学家怀利完善了周期函数的定义——若函数f（x）具有如下性质：存在一个非零数T，使得对于x的所有值，均有f（x+T）=f（x），则称f（x）为周期函数。若T是满足上述等式的最小的值，则称T为f（x）的周期。

（教师出示问题6。）

问题6 函数y=g（x），x∈[-8，8]符合周期函数的定义吗？

生 不符合。因为函数y=g（x）满足g（x+2）=g（x），但当x=8时，x+2=10不属于定义域。

师 那么，应该如何修正定义域，使得函数y=g（x）是一个周期函数？

生 定义域可以为[-8，+∞）。

师 若函数y=g（x）的一个周期为-2呢？

生 定义域可以为（-∞，8]。

生 定义域也可以为全体实数集。

师 很好！说明周期函数的定义域至少是单侧无界的。那么，周期函数的定义还需要补充什么？

生 还需要补充：x属于定义域，且x+T也属于定义域。

师 回到数学史上，又前进了3年，数学家夏普给出了更严谨的定义：设函数f（x）的定义域为D，T为非零实数，当x在D中时，x±T也在D中，若对于D中x的每一个值，均有f（x）=f（x+T），则称f（x）为周期函数，T为f（x）的一个周期。根据之前的讨论，这个定义还可以再完善吗？

生 只要满足“当x在D中，x+k也在D中”，就可以了。

师 很好！这样，我们就得到了现在教科书中周期函数的定义：一般地，对于函数y=f（x），如果存在一个常数T（T≠0），使得当x取定义域D内的任意值时，都有f（x+T）=f（x）成立，那么，函数f（x）叫作周期函数，常数T叫作函数f（x）的周期。如果在所有的周期中存在一个最小正数，这个最小正数就叫作函数f（x）的最小正周期。

[设计意图：继续追问，引导学生发现周期不可以为0，定义域要至少单侧无界，从而进一步完善形式化定義，直至现行教材中的定义。]

（三）新知运用

（教师依次出示例1、例2，学生依次快速作答。）

例1 函数y=7+（-1）n，n∈N是否为周期函数？如果是，请指出它的最小正周期。

例2 已知函数f（x）=x2满足f（-3+6）=f（-3），那么该函数是以6为周期的函数吗？

（教师出示例3，学生思考片刻。）

生 该函数是周期函数，且不存在最小正周期。

（教师引导学生板书证明过程。）

师 由此，我们可以再次回顾周期函数的定义：如果在所有的周期中存在一个最小正数，这个最小正数就叫作函数f（x）的最小正周期。换言之，周期函数可能没有最小正周期。请同学们思考一下，还有这样的函数吗？

生 常值函数，它是周期函数，但是它没有最小正周期。

（教师出示例4，学生作答。）

例4 潮汐发电是在涨潮时将海水储存在水库内，以势能的形式保存，然后，在落潮时放出海水，利用高低潮位之间的落差，推动水轮机旋转，带动发电机发电。海洋潮汐具有周期现象，请你根据某地24小时内监测的潮汐情况（如图9所示），预测未来24小时内水电站何时开关水闸来进行潮汐发电？

师 潮汐发电不使用燃料、不污染环境，对改善生产、生活条件有着积极的作用。数学是自然科学的重要基础，希望各位同学未来能运用数学知识为社会创造更多的价值。

[设计意图：例1、例2主要考查学生对周期函数概念的简单运用;例3引入非常特殊的狄利克雷函数，帮助学生认识到周期函数不一定有最小正周期，进一步理解周期函数概念;例4以潮汐发电为情境，考查学生能否运用周期性由已知预测未知，帮助学生进一步体会周期函数的实际意义和应用价值。]

（四）课堂小结

（教师展示周期性在其他学科中的应用：心电图、钟摆运动及元素周期表。然后借助时间轴，整体回顾课堂中穿插的数学史。）

师 今天，我们在课堂短短的40分钟里重新经历了数学史上周期函数概念发生、发展的120多年。从中可以感受到，数学概念的形成不是一蹴而就的，而是一个从不完善到完善的动态过程。所以，我们应该用动态的眼光、严谨的态度来学习数学，将来还可以用更深的数学知识来继续完善现在的周期性定义。

[设计意图：展示周期性在医学、物理学及化学中的广泛应用，与课堂引入的生活情境首尾呼应，帮助学生充分体会周期性的现实意义和科学价值。最后，按时间轴纵览周期函数的定义如何在历代数学家的修正中迭代更新，帮助学生树立动态的数学观，提升学习信心。]

三、学生反馈

课后，笔者以学习单的形式收集了学生的反馈。

首先，近80%的学生能从6个函数图像中正确选出所有的周期函数图像，仅少部分学生错选干扰项，说明绝大多数学生能够基于符号语言的形式化定义而非“重复”“有规律”的描述性定义来判断函数是否具有周期性。

其次，几乎所有的学生都认识到周期函数的定义域一定是无界集，但也有26%的学生认为定义域就是实数集R;约95%的学生认识到周期函数的周期有无数个，且最小正周期不一定存在，但仅有一半的学生明确提出周期不能为零。这说明，多数学生能够比较全面、准确地理解周期函数的概念，少数学生可能受课堂呈现的具体函数的影响或无意间“滑过”了一些教学重点，导致出现认知偏差。

四、教学反思

回顾本节课，可以发现其最大的特色是：整体重构数学史，将教材中一步到位的数学抽象过程分解为多个小步子，引导学生通过逐个解决问题逐步修正、完善数学史上的描述性定义、形式化定义，直至归纳得出现行教材中的定义。具体各个问题的功能和指向如图10所示。

当然，本节课的设计也非尽善尽美。比如，由于问题设计过于集中在锯齿波函数这一种周期函数上，其图像连续且定义域为R，导致部分学生以偏概全，认为所有周期函数的图像均如此。如果能呈现更丰富的周期函数及图像，或许将更有益于学生概念理解水平的提高。

参考文献：

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[5] 徐章韬，虞秀云.信息技术使数学史融入课堂教学的研究[J].中国电化教育，2012（1）.

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[10] Wylie， C.R.Plane Trigonometry[M].New York：McGrawHill Book Company，1955.

[11] Sharp， H.Elements of Plane Trigonometry[M].Englewood Cliffs：PrenticeHall，1958.

*本文系本刊連载的汪晓勤教授团队开发的第44个中学HPM课例。