略论数学体验的一些“要素”

【主持人语】根据党的十九大提出基础教育课程的“立德树人”根本任务以来的多份有关深化基础教育教学改革的文件精神，我们针对初中数学的内容特征和学习需要，依托江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题，展开了初中数学体验教学的研究。本期《独家策划》栏目的5篇文章，首先呈现谭顶良教授对数学体验作为一种学习方式的理论性认识，然后从促进学生数学体验的角度，系统介绍初中数学体验教学及其评价的相关思考与实践。

——张爱平

摘要：数学体验是指在外部操作和表层认知的基础上，深刻感受数学对象、发现数学问题、理解数学知识、领悟数学思想方法、积累数学活动经验以及提升数学核心素养的一种深层次的认知与情感活动。作为一种学习方式，它顺应新时代课程改革的要求，可使学生的数学认知能力得到提升，有利于学生正向的情感态度与价值观的形成，有助于实现由数学知识向数学学科素养的转化。它包含体觉、体察、体悟、体证四个紧密相连的阶段，具有身心合一、内外并举、知情并重、过程与结果统一等特征。

关键词：数学体验;体觉;体察;体悟;体证

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）要求：“学生应当有足够的时间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”“使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。”“在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”这些都强调了数学体验在数学学习中的重要地位。而且，课标还明确指出：体验即“参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验”。

2019年，教育部《关于加强和改进中小学实验教学的意见》又进一步强调，强化学生的实践操作、情境体验、探索求知、亲身感悟和创新创造，着力提升学生的观察能力、动手实践能力、创造性思维能力和团队合作能力，培育学生的兴趣爱好、创新精神、科学素养和意志品质。这一精神落实在中小学数学教学中，也是要突出学生的数学体验。

本文阐述数学体验的一些相关“要素”：含义、价值、过程和特征。

一、数学体验的含义

数学体验是指在外部操作和表层认知的基础上，深刻感受数学对象、发现数学问题、理解数学知识、领悟数学思想方法、积累数学活动经验以及提升数学核心素养的一种深层次的认知与情感活动。数学体验既可以是一种相对完整的数学学习方式，包括启动经验初步感觉、全面观察深入反思、抽象概括建构意义、身临其境实地验证（主动应用）等环节，也可以以其中一个独立环节参与数学学习过程。数学体验要借助外部的操作、探索，更注重头脑中的内隐认知、意义建构和思想领悟。

数学体验教学旨在改变数学教学重结果记忆而轻过程感悟的现状，从生活情境、直观感知和学生已有的数学经验出发，变被动“看数学”为主动“做数学”，变被动“听数学”为主动“想数学”，变“机械接受”为“意义探究”，引导学生在动手、动眼、动脑、动嘴的过程中逐步获得深度体验，建构并发展自己的数学认知结构，提升数学核心素养，从而实现数学学科育人的目标。

根据心理活动包含的认知、情感、行为三种基本成分，数学体验也包含三种成分：

（1）认知体验：对数学对象的感知、思维、想象及元认知。

（2）情感体验：对数学活动的情感和价值体验，比如好奇心、求知欲、满足感、成就感、效能感、自信心、美感、科学态度、价值感等。

（3）操作体验：对数学对象的操作感受。

二、数学体验的价值

以前，我们的数学教学只关注学生数学学习的结果，很少关注学习的过程，这助长了学生死记硬背的学习。而数学体验将使数学学习的方式发生根本性的改变：凸显数学学习的过程，使学生深刻理解数学知识的来源、本质及价值，而不是仅仅将其作为一个抽象的符号加以记忆。

经历足够时间的观察、实验、猜测、计算、推理、验证等深层次的体验过程，可使学生的数学认知能力得到提升，表现为感知的准确性、想象的现实性、分析的透彻性、比较的深刻性、综合的广阔性、抽象的层次性、猜想的合理性、證明的严谨性、归纳的全面性、类比的适切性、演绎的逻辑性、迁移的灵活性等水平的提高。

数学体验有利于学生正向的情感态度与价值观的形成。如果仅仅把数学知识作为抽象的符号加以记忆，那么，学生很难对它产生兴趣和情感，也难以体会其价值所在，数学学习的成效就难以得到提高。而学生身临相应情境，沉浸在数学对象的体验、验证、应用过程中，兴趣、情感和价值观便油然而生，进而能形成科学精神和科学态度。

数学体验还有助于实现由数学知识向数学学科素养的转化。一个人即便满腹经纶，但如果不能将这些“经纶”转化为内在的素养，落实到具体的实践中，“文而不化”，那么仍然不能算是一个文化人。同样的，如果获得的数学知识不能转化为数学思想方法，形成数学素养，“知而不智”，那么学习也是徒劳的。如何突破这一瓶颈？数学体验则能肩负这一重任。

三、数学体验的过程

根据戴维·库伯（David Kolb）体验式学习圈理论，作为一种完整的数学学习方式，数学体验大致由体觉、体察、体悟、体证四个阶段构成。当然，在实际的学习过程中，数学体验也可以只发生在某一个阶段。

（一）体觉：启动经验，初步感觉

感觉是人脑对客观事物表面的、局部的、个别属性的反映，它是人认识世界的最初阶段。数学体验的体觉阶段，就是围绕将要学习的内容，启动、激发原有的知识经验，使两者相联结，进而形成初步的感觉和深入探究的欲望。根据已有知识经验的有无及激发程度，体觉可以表现出三种不同的程度：

（1）缺乏已有的知识经验，不能与新学知识产生联结，无法产生任何感觉。

（2）具有相应的知识经验，但未能实质性启动，新旧知识之间只能建立机械联结。

（3）能够启动相应的知识经验，与新学知识产生意义联结，从而形成相应的感觉。

因此，促进体觉产生的条件是具有相应的原有知识经验并得以激活启动。

（二）体察：全面观察，深入反思

观察是有目的、有计划、比较持久的知觉过程，以期获得对知识的整体认知。它是以视觉为主，融动觉、触觉、听觉等其他感觉为一体的综合感知活动，包含积极的思维活动和认知体验。学习离不开观察，只有运用观察，才能对学习对象获得鲜明、生动、具体的感性认识，积累丰富的感性经验，进而通过抽象概括，达到理性认识。数学体验的体察阶段表现为思维参与其中的亲自观察。根据观察的全面性和认知的深刻程度，体察可以表现为四个不同的层次：

（1）未加体察，即未能运用各种感觉器官对所学内容进行相应的观察，更没有认知的参与，所以对相关对象未形成感性的认识。

（2）局部、浅表的体察，即能够通过操作、摆弄相关材料产生动觉、触觉、视觉，但少有认知的参与，所以对所学内容形成了局部、浅表的感性认识。

（3）整体、深入的体察，即能够融合各种感觉器官得到的信息，從不同视角、不同侧面对所学对象形成较为全面的认知，并借助认知体验，由表及里逐步深化对所学内容的认知。

（4）本质反思的体察，即认知体验更加深入，观察与反思互为交融，对所学内容形成接近其内在本质的理解，是沟通感性认识与理性认识的桥梁。

（三）体悟：抽象概括，意义建构

体悟是数学体验过程最核心的阶段。在这一阶段，学生无须依赖对相应对象的外部操作、摆弄，便能进行抽象概括、比较分析、归纳综合等一系列思维活动，达成对所学材料内在本质特征的理解，并与相关知识产生分化，最后形成系统化的认知结构。这一阶段具体体现为三个层面：

（1）意义理解，即在前阶段体察的基础上积累一定的活动经验和感性认识，从而在原有知识与要学的新知识之间架构起认知桥梁，使新旧知识之间的相互作用得以发生，进而在脑中生成知识的本质意义。

（2）知识分化，即在新旧知识建立联系后，找到所学知识与上下左右其他相关知识之间的区别，作出精确的分化。

（3）知识系统化，即在弄清楚所学知识与其他相关知识的联系与区别后，将所学知识定位在知识网络的恰当位置，实现知识的系统化，形成新的认知结构。

（四）体证：身临其境，验证应用

数学体验的体证阶段，就是将所感受的数学对象、所领悟的数学思想方法、所积累的数学活动经验带入具体的数学情境加以验证，并且指向应用。具体表现为三种形态：

（1）同类练习，即运用所领悟的数学思想方法、所积累的数学活动经验解决同一类型的数学问题，以检验数学思想方法、数学活动经验的准确性及知识掌握的巩固度。通常表现为做练习题。

（2）变式迁移。变式是指变换事物的外部呈现形式但保持内在本质特征不变，迁移较多地指一种学习对另一种学习产生的促进作用。因此，变式迁移是指，面对与接触过的问题有所不同（但本质没变）的问题，仍运用所领悟的数学思想方法、所积累的数学活动经验解决，以验证数学思想方法、数学活动经验的普适性及知识掌握的灵活性。

（3）创新解题，即凭借所领悟的数学思想方法、所积累的数学活动经验，到生产实践以及自然、社会生活中发现相应的问题，并尝试解决。这里的问题，不是简单的“question”，而是“problem”。它的解决，没有现成的方法可以直接应用，需要将已掌握的各种知识（甚至是跨学科的知识）重组、整合，寻找创造性的方案。学生身临其境，在发现并尝试解决问题的过程中，能够深刻地体验数学的价值，并逐步形成相应的数学素养。将理论和实践建立有效的联系，正是体验学习的精髓。

四、数学体验的特征

无论是作为一个完整的学习过程，还是仅仅作为一个学习环节，数学体验均表现出以下几个特征：

（一）具身性与离身性的整合

传统教育观念认为，数学是一门相对抽象的学科，数学学习就是抽象思考、重复记忆以获取数学知识的过程。这样的学习是“离身”的，缺乏“具身”操作体验，身体的活动受漠视和限制，处于“缺席”状态，实际上会让学生难以理解数学知识，难以体会数学学习的乐趣和价值。

而数学体验将具身认知融入数学学习，强调身体活动在数学学习中的作用，突出具身操作（感觉）对离身思考（领悟）的支持和促进作用。当然，大脑外部的具身操作只是手段，而大脑内部的离身思考才是目标。这种离身思考，包括深层次的信息加工，也包括元认知，即对自己认知过程和认知结果的认知，还包括情感体验。也就是说，数学体验表现为具身操作与离身领悟的结合。外显的具身操作体验发挥了“启思”的作用，而内隐的离身领悟体验则达成“明理”的目标。也即，身心合一，启思明理。

（二）内化与外化的并举

数学体验的根本宗旨在于，通过经历数学知识的产生过程及其认知过程达成对所学数学知识的深层理解，建构知识的意义最终形成自己的知识。这种将外界知识与头脑中原有知识发生关联并纳入认知结构的过程，就是内化。著名心理学家皮亚杰认为，个体与外部知识都是通过“同化”和 “顺应”这两种机能发生关联的。同化是指将外部信息纳入自己原有的认知结构中，而顺应则是改变自身原有的认知结构以求得与外部信息的一致与平衡。同化和顺应实质上是同一心理过程的两个方面。数学体验中的体感、体察、体悟都是内化的过程。

外化是将头脑中已有的知识作用于外部世界的过程。在数学体验中，表现为利用已有知识对外部数学对象进行操作，以验证数学思想方法、数学活动经验的正确性和可行性，付诸行动，实践体验数学的价值所在，也就是体证。

内化是外化的准备，外化是内化的归宿。个体在亲身经历中提炼、概括出来的知识或在自主活动中对社会性知识的个性化理解，融入了个体在特定生活场景中的特定心理体验，渗透着一些无可言喻的（缄默的）、下意识或潜意识的个性心理感受，对本人而言是鲜活的（富有生机的）、温暖而亲切的。这类知识可以称为与杜威所批判的“旁观者知识”相对的“参与者知识”。内化与外化的并举，可以实现由旁观者知识向参与者知识的转化。

（三）理智与情感的并重

数学是一门理性的学科，需要理智的参与才能学好。理智即认知，认知心理学将认知过程看成按一定程序进行的由信息的获得、编码、贮存、提取和使用等组成的信息加工过程。数学体验的本质是以思维为核心的认知，但又不完全等同于认知，其中需要凸显认知的过程、元认知过程及情感体验的获得。

对数学知识的机械记忆或模仿应用也是一种认知，或许还能以高分应对某些考试，但是，由于缺乏完整、深入的理解过程，这样的认知只是“囫囵吞枣”，不能称为体验。相反，数学体验应该是“细嚼慢咽”，明了数学知识的来龙去脉，“品”出数学的“味道”。此外，元认知是对学习过程及学习结果的再认识，也即反思。数学学习只有不断反思，才能发现并解决问题，使活动经验得到提升，学习体验不断深化。

数学体验的另一个重要成分是情感体验。学生在猜想、试误、探索、反思等活动中，感受数学的美和学习数学的乐趣，感悟数学蕴含的丰富思想，逐步达到情感、态度、价值观的升华。数学学习中的情感体验包括：对数学学习的好奇心、求知欲;探究发现后的满足感、成就感、效能感、自信心;掌握原理后体会到的美感（如简约美、统一美、和谐美、对称美等）;解决问题后所产生的价值感等。

（四）过程与结果的统一

数学体验既可以是一个动词，也可以是一个名词。作为一个动词，数学体验就是学习的过程;作为一个名词，数学体验就是学习过程产生的结果。

作为学习过程的数学体验，是一个过程性的数学认知活动，要特别注重数学知识的发生、发展过程及个体对数学规律的理解过程。這种过程大致要经历体感、体察、体悟、体证四个阶段。

作为学习结果的数学体验，主要指学生通过外部操作和内在思考所获得的基本活动经验及相应的情感态度与价值观（获得成就感和自信心;形成严谨求实的科学态度;体会数学特点，了解数学价值;等等）。

数学体验的过程与结果构成了数学学习完整过程的一个连续体。数学学习必然要经历一系列的体验过程，而最终必然将产生相应的体验结果。因此，数学体验是学习过程与学习结果的统一。

参考文献：

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[5] 何声清.动态数学观视阈下体验学习的价值取向[J].现代教育科学，2013（2）.

*本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题“初中数学体验校本课程的开发研究”（编号：Ra/2018/07）的阶段性研究成果。