2020年澳大利亚HSC数学考试压轴题解法赏析*

张 倩 (山西师范大学教师教育学院 041004)

沈 威 (广东省惠州学院数学与统计学院 516007)

1 引言

High School Certificate Examination(以下简称HSC考试)是澳大利亚新南威尔士州的高中毕业联考，是由新州教学委员会组织的对高中毕业生进行的一项水平考试．HSC数学考试历史悠久，在澳大利亚高考中占有重要地位，其出题方式、考查内容深刻体现了澳大利亚高中数学课程标准要求，具有科学性和公平性．目前，HSC考试已得到世界上主要国家和地区教育界的承认，学生在HSC考试中的成绩可以申请这些认可该成绩的国家的大学．HSC数学试题注重一般数学知识与现实实际情境的联系，它的题量大，考查内容广泛，解题时间较长，最后的压轴题与大多数数学试卷一样也具有分值高、难度大的特点，有一定的区分性和综合性.接下来我们对2020年HSC数学考试压轴题中的(a)小题进行赏析．

2 试题分析

HSC数学试卷共包含10道选择题和6道解答题，考试时长165分钟，满分100分．1～10题为选择题，每道分值为1分，选择题部分的分值仅占全卷10%．11～16题为解答题，每道大题包含 3～6个小题，每道小题从易到难由1～4个小问组成，每道大题分值13到18分不等，共计90分．本文选取的是2020年第16题，该大题分值为14分，分为(a)(b)(c)三个小题，其中(a)题的三个小问共占5分．

(a)Michelle借了450 000美元，在25年的时间里每月定期偿还P美元，其中年利率为6%，每月可扣减，利息在每次还款前计算和收取．设An为n次还款后剩余的欠款．

(i)证明两次还款后剩余欠款的表达式为

A2=450000×(1.005)2-P×1.005-P；

(ii)证明n次还款后剩余欠款的表达式为

(iii)计算每月定期偿还的金额P.

2.1 考点分析

等比数列是高中必修数学的重点内容之一，为学生进一步学习高等数学中的极限、级数等内容作铺垫，在我国的高考中也是重点考查知识之一．在澳洲高考中，学生要能够理解其中不同的还款方式的不同计算方法，并能够根据题中还款方式的特点建立迭代和等比数列求和的数学模型对问题进行求解．

一般银行的还款方式主要有两种[1]：一种是等额本息还款，是指把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中．作为还款人，每个月还给银行固定金额，但每月还款额中本金比重逐月递增、利息比重逐月递减；另一种是等额本金还款，是指把按揭贷款的本金总额平均分摊到每个月内，同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息．这种还款方式相对等额本息还款而言，总的利息支出较低，但是前期支付的本金和利息较多，还款负担逐月递减．

试题显然考查的是等额本息还款法的计算．要求学生在具体情境中，利用等额本息还款数学模型，通过逻辑推理递推论证欠款表达式．试题综合考查了数列的通项公式与求和、复利的相关计算等数学知识，还考查了分类与整合、特殊与一般、极限思想等数学思想方法的掌握情况．

试题紧密结合生活实际中的贷款问题，了解购房贷款、分期还款、复利计算的知识对于学习“实用数学课程”[3]的学生来说具有较大的实际意义．前两个小题都是证明题，可以较好地考查学生对于基本概念定理的理解，有利于培养学生的逻辑推理和数学建模等数学核心素养，塑造严谨的强调因果可循的思维方式，递进式的出题方式也考虑到了学生个体之间的差异性．

2.2 解题难点

首先，澳大利亚HSC数学考试用时较长，考查范围广泛，学生要思维敏捷、高效解题，才能给压轴题留出足够的思考书写时间．题目中的数量关系又较为复杂，因此考生要有良好的心理素质和一定的阅读理解能力以及信息整理能力．考生如果在前面的题目中耗费太多时间，那么在面对最后一道解答题时难免紧张慌乱，此时仔细审题，确定试题中复利还款的计算方式，建立合适的数学模型进行解题等对学生来说也成了一大难点．

其次，要区分题中的数量关系应该是等额本息还款还是等额本金还款．学生需要深入了解生活中的数学，找到问题的切入点，运用数学建模思想在具体情境中抽象出数学关系，构建等额本息还款的数学模型，恰当选择使用数学归纳法来提高计算效率，并运用数学的观点去分析解决数学问题．由第一次还款和第二次还款后的剩余欠款等式递推求证n次还款后剩余欠款的表达式时，需要学生运用数学归纳法对所得等式进行整合，这也是试题难点之一．

最后，在计算每月还款金额时，选择合适的换算基点进行计算也有一定难度，且要保证换算的关系式准确，在归纳简化的过程中不出错．虽然HSC数学考试允许学生携带符合NESA标准(澳大利亚新南威尔士州教育专业标准)的计算器，但要想准确计算出每月还款金额也并非易事，还需学生思路清晰，书写规范．

3 解法分析

试题中约定每月以相等额度平均偿还贷款本息，贷款的本金总额450 000美元与利息总额相加，平均分摊到还款期限25年中的每个月，每个月的还款额是固定的P美元，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减．在复利计息的情况下,设n次还款后的欠款为An，可建立数学模型对其进行求解．

第二次还款后的剩余欠款为A2=A1×1.005-P=450 000×1.0052-P×1.005-P，得证．

(ii)数学模型：An=An-1×1.005-P，n= 1,2,…,300．

由(i)中表达式递推可得An=450 000×(1.005)n-P×(1.005)n-1-…-P．即An= 450 000×(1.005)n-P(1.005n-1+…+1)．

方法3(终值法) “终值”是指n期后的本利和，计算的基点是存期的终点．

第一次还款P,折算成终值为P×(1.005)299；第二次还款P,折算成终值为P×(1.005)298；……第n次还款P，折算成终值为P×(1.005)300-n；……第300次还款P,就是这一次的终值．每次还款P折算成的终值的和,应该是现值450 000折算成的终值450 000×(1.005)300．故P(1.005299+1.005298+…+1)=450 000×(1.005)300．

本题比较容易想到用方法1，因为在前两个小题中已经求出了每次还款后剩余欠款An的表达式，所以只需要找到贷款还清时的数量关系式，代入还款总期数即可求解，不需要再用数学归纳法简化数量关系式，也可减少解题步骤，降低错误率．三种解法的本质是一样的，只是换算的基点不同，一般来说都选择终值作为基点进行换算，但是方法1相比终值法来说更容易理解．

4 思考与启示

2020年澳大利亚HSC高考数学试题中，等比数列的知识通过“借贷与复利”作为综合性较强的解答题压轴题间接进行考查，分值占全卷5%；我国的数学高考试题中，数列的相关知识则常作为解答题的“起点题”进行考查，分值占全卷8%．作为高分值的解答题，HSC试题中“借贷与复利”知识点的考查方式值得我们思考学习．

4.1 适应社会需求，培养数学意识

澳大利亚高中数学包含4种课程，分别针对不同学生群体的学习和就业需求，旨在为不同层次的学生提供其所必需的数学与统计学知识及技能．其中“实用数学课程”[3]的核心就在于帮助学生有效、高效地运用数学知识解决实际情境中的问题．(a)题在考查学生的知识掌握情况时，联系生活实际创建合理的问题情境，结合其他学科的知识特色综合命题，既保留了数学学科自身的特色，又与其他的学科知识紧密联系，体现了数学学科的核心素养要求．在我们的数学课堂教学中，也应适当增加知识与具体情境的联系，让学生在解题练习中对数学与实际的联系有更加直观的认识和理解，也就更容易将数学思维能力迁移到现实生活中的问题解决过程中去．让选择直接就业和参加职业教育培训的学生学习更加基础实用的数学知识，了解社会生活中的数学知识，积累数学经验，发展技能和理解能力．学生习惯运用数学能力和数学思想解决生活问题，从而让数学知识更好地为生活实际服务．

4.2 注重数学表达，锻炼逻辑思维

澳大利亚高中数学课程标准中指明了数学和统计学两者的本质与价值，它强调对学生各方面能力的培养，主要包括：(1)运用数学和统计学知识与方法解决实际问题的能力；(2)在数学和统计学情境中进行推理与解释的能力；(3)运用数学或者统计学语言进行交流的能力；(4)有效地选择和使用技术的能力；(5)运用数学和统计学知识进行数学证明的能力．试题中的(i)(ii)小题直接给出了表达式，要求学生推理论证，正是考查学生的数学表达能力．学生不仅要理解等额本息还款法的计算方式，能用它解决数学试题，还要能够在数学情境中抽象出数量关系式，在不影响试题本质特征的前提下，利用数学归纳法将模型变形简化为需要论证的剩余欠款表达式，并用数学语言将复杂的数学信息和自己的思考计算过程简明精炼地解释清楚．在解题过程中，可以有效锻炼学生的逻辑推理素养．基于此，我们也应当考虑在教学中更加重视学生的数学表达能力训练，提高学生用数学语言进行交流的能力．

4.3 探究竞赛试题，提升建模素养

我国高考曾在试题中融入有关彩票与抽奖的概率统计模型、有关物资调运工期效益的优化模型、有关折叠视图的空间几何模型等对学生的数学建模素养进行考查．现值、终值计算复利的题目也与数学建模中的社会经济模型息息相关，可以综合考查学生的数学学科素养，然而相关的试题却仅在北京市首届“方正杯”中学生数学知识应用竞赛等中学生数学竞赛试题中出现．类似的知识点虽然已在我国高中数学必修五第二章“数列”的探究与发现“购房中的数学”中作为拓展类知识出现，但高考中却不曾以这种方式对知识点进行考查．并且这种题型不是应试重点，数量关系复杂抽象，解答又有一定难度，导致很多学生都不会认真去了解这类题目．教师应当注意在教学中拓展呈现此类试题，比如在数列课程教学后，展示购房贷款问题，并鼓励学生对其进行深入探究交流，让学生进一步考虑到其中的非数学因素对建模的影响，演绎检验所建模型的可行性，评价模型的优点与不足，提出改进建议，由此达到提升学生的建模素养和创新意识的目的．这类试题虽然对于学生数学能力的要求较高，但可以有效培养学生的数学核心素养，让学生能高效解决未来生活中遇到的这类问题，避免在生活中“踩坑”，具有重要的现实意义．