高二学生数学建模素养的调查研究*

赵加营 陈 柱 王贵杰 (江苏省宿迁中学 223800)

1 问题提出

数学是研究数量关系和空间形式的一门学科，具有广泛的应用性．数学的应用，就是在实际问题与数学之间架设一道桥梁，将实际问题转化为数学问题，然后对这个数学问题进行分析与求解，最后将所求得的解答回归实际问题，进行验证和完善．这个过程，就是数学建模．学生通过数学建模活动，亲历数学知识、思想等发现和创造的过程，其心智得到启迪，能够更好地应用数学、理解数学和热爱数学．数学建模对素质教育的实施、创新意识和科学精神的培养有着不可替代的作用．

鉴于数学建模具有重要的学科价值和育人价值，美英等国家已于20世纪70年代将数学建模引入中学课堂．我国于2003年颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》将数学建模作为新增的三项课程内容(数学探究、数学建模、数学文化)之一，渗透在整个高中课程中，并且要求高中阶段至少为学生安排一次建模活动．《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称“新课标”)将数学建模提升到了数学学科核心素养的高度，对数学建模的教学提出了新的要求．“新课标”明确指出：“通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学建模解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神．”[1]

本文依据“新课标”，从数学内容、素养水平两个维度设计数学建模素养测评试题，对江苏省宿迁中学高二年级9个班级455名学生施测，运用SPSS 22.0进行数据分析，得出学生数学素养的现状水平及相关结论，并给出教学建议．

2 测量设计

2.1 测试内容

根据“新课标”数学课程结构设置，高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，为此确定测试内容为数与代数、图形与几何、概率与统计．

2.2 素养水平

依据“新课标”对核心素养水平划分等级的描述，将数学建模的素养水平划分为递进的三个水平，“每一个水平是通过数学学科核心素养的具体表现和体现数学学科核心素养的四个方面进行表述的”[1]，体现数学学科核心素养的四个方面为情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思．每个水平的四个方面描述详见附录1．

2.3 选择问题

围绕测试内容：数与代数、图形与几何、概率与统计，精选以下三组测试问题．

2.3.1测试题1(数与代数)

(1)(《中学数学应用与建模》[2]第80页例8改编，水平一，记为Q11)长为180 cm的铜棒，截成十段材料，规格是12 cm,23 cm两种，每种规格都要有，找出材料利用率在95%以上的落料方案．

(2)(新课标解读[3]第103页“水平二的问题”改编，水平二，记为Q21)一个容积一定的无盖圆柱形罐，它的底面半径为r，高为h，问当h∶r为多少时，罐的表面积最小？

(3)(新课标解读第103页“水平三的问题”改编，水平三，记为Q31)我们经常能在超市中看到这样的情形：同种商品会有大小不同的型号，价格各不相同，比如某品牌的牙膏有40 g,120 g, 180 g等几种质量规格的产品，价格分别为3.70元、9.30元、13.20元．试对影响商品销售价格的因素进行分析，选择主要因素，忽略次要因素，研究主要因素与价格的关系，从而得到商品价格关于牙膏质量的函数关系．

2.3.2测试题2(图形与几何)

(1)(2010年江苏高考试题第17题第1问，水平一，记为Q12)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)，垂直放置的标杆BC的高度h= 4 m，点A,B在地平面上，EC与AB相交于点D，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．该小组已经测得一组α,β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20．请据此建立几何图形，并算出H的值．

(2)(水平二，记为Q22)墙上有一壁画，最高点离地面4 m，最低点离地面2 m，观察者从离地面高1.5 m处观赏该壁画，问：观察者离墙多远时，眼睛观察壁画上下沿形成的视角最大？你能利用几何知识作出观察者的位置吗？

(3)(水平三，记为Q32)在当今这个时代，电影是一种喜闻乐见的大众艺术，人们喜欢在闲暇时间走进影院，体验其中的喜怒哀乐．而同时，作为一种消费，人们总是希望自己能坐在电影院的最佳位置，使得视觉、听觉得到最好的享受．在设计影院时，已经充分考虑了观众看电影的舒适度，对于影院的地板倾角、前后排椅子之间的距离等都经过了精心的设计．尽管如此，不同位置看电影还是有很大差异，那么什么位置是看电影的最佳位置呢？试建立数学模型予以分析．

2.3.3测试题3(概率与统计)

(1)(《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3》[4]习题2.4第10题改编，水平一，记为Q13)某城市平均每10个家庭中2个家庭有小汽车．若从这个城市中任意选出5个家庭，试求2个以上(包括2个)的家庭有小汽车的概率．

(2)(水平二，记为Q23)某高级中学要调查学生谈恋爱的比例，设计了一副纸牌，其中75张印有问题①，25张印有问题②，两个问题为：①你谈过恋爱吗？②你学生证末位号码是偶数吗？调查100名学生，让被调查学生任意抽取1张牌(随即放回，并不让调查者知道被调查者抽到的问题，以保证被调查者给出真实的回答)，学生根据牌上所对应的问题用“是”或“否”加以回答．若有18人回答“是”，学生证末位号码是偶数的概率为0.5．请估计该校学生谈过恋爱的人数的比例．

(3)(《生活中的概率趣事》[5]第92页问题改编，水平三，记为Q33)某市出租车共有3 200辆，其中蓝色的有2 720辆，绿色的有480辆．在一起晚上发生的肇事逃逸案中，目击者确认肇事出租车是绿色的，实验证明目击者在晚上正确分辨绿色和蓝色(正确地将绿色归为绿色，蓝色归为蓝色)的概率是80%．如果你作为法官，会采纳目击者的证词吗？请从数学角度说明理由．

3 实施测量

3.1 选择被试

2020年11月，选择江苏省宿迁中学高二年级9个班级：创新部史政地类1个班(21班)、理化生类2个班(22、24班)；普通部理化生类3个班(1、2、5班)，史政地类3个班(16、18、19班)，共455人，进行数学建模素养的测量工作．

3.2 计分设置

区别于传统的计分方式，采用四级计分法对解答过程进行评分．每道题满分3分，每个问题涉及的子维度按最优答案符合度给予的分数是0,1,2,3分，其中没有书写或没有思路的赋0分；有初步思路但不能顺利进行的赋1分；思路大部分正确、步骤大部分正确的赋2分；思路全部正确、步骤正确的赋3分．每份试卷由两人分别评判，若给分不同需商讨后重新给分．

4 统计分析

4.1 信度分析

用SPSS 22.0对测试题进行信度检验(表1)，克伦巴赫α系数=0.772，表明该试卷信度较高，即试卷可靠程度、内部一致性较好．

表1 试题信度检验

4.2 效度分析

4.2.1因素分析

KMO和Bartlett检验结果如表2，KMO=0.717>0.7，Bartlett检验的显著性概率值p=0.000<0.001，df=36，卡方值1 239.885，可以说明该测试题具有较好的结构效度，具有共同因素存在，可以进行因素分析．

4.2.2相关性分析

从统计数据可以得出，水平一、水平二的各3

表2 KMO与Bartlett检验

道测试题，相互之间均在0.01水平上呈现显著的相关性．水平三的3道测试题中，第1题与第3题在0.01水平上呈现显著的相关性，而第1题与第2题，第2题与第3题之间不具有显著的相关性．

4.3 试题难度

各题的得分、难度如表3．

表3 各题得分、难度

水平一测试题的得分率在81%-83%之间，水平二测试题的得分率在74%-80%之间，而水平三测试题的得分率只有2%-18%．由此看出，对于具有实际生活情境，需要构建恰当数学模型进行解决的问题，学生表现出很低的解决问题能力．

4.4 差异性分析

4.4.1理科(理化生)—文科(史政地)

(1)对总分的统计.在显著性水平为0.05时，概率p值为0.006<0.05，说明文科与理科在测试总分上有显著性差异．

(2)对9道题目的统计.在问题Q21,Q22,Q23,Q32上，文科与理科没有显著性差异，而在其他问题上具有显著性差异．

4.4.2创新部—普通部

(1)对总分的统计.在显著性水平为0.05时，概率p值为0.000<0.05，说明创新部与普通部在测试总分上有显著性差异．

(2)对9道题目的统计.在显著性水平为0.05时，创新部与普通部在问题Q32,Q33上没有显著性差异，而在其他问题上具有显著性差异．

4.4.3男生—女生

(1)对总分的统计.在显著性水平为0.05时，概率p值为0.725>0.05，说明男生与女生在测试总分上没有显著性差异．

(2)对9道题目的统计.在问题Q21,Q22,Q23,Q32上，男生与女生没有显著性差异，而在其他问题上具有显著性差异．

5 研究结论

(1)高二学生数学建模素养在水平一、水平二上达到或接近良好(得分率80%)，即解决熟悉的数学模型或熟悉情境中问题的能力较好．在水平三上表现很差(得分率小于20%)，说明高二学生在解决综合情境中问题，创造性地建立数学模型，进而解决问题的素养很低，急需在新课程改革的教学实践中得以强化．

(2)从总分上看，理科(选修理化生)与文科(选修史政地)学生的数学建模素养有显著性差异，只在四个问题(Q21,Q22,Q23,Q32)上没有显著性差异．

(3)创新部(经过选拔的班级)与普通部在测试总分上有显著性差异，只在两个问题(Q32,Q33)上没有显著性差异．

(4)男女生的数学建模素养水平不存在显著性差异，但男生的数学建模素养水平略高于女生．

(5)高中数学建模课程还没有正常开设，教师对数学建模教学的重视程度有待提高．

6 教学启示

6.1 加强数学建模教学

在传统数学教学中，往往注重数学知识的直接应用、内部应用，轻视数学知识的实际应用、外部应用．尽管在应用问题进入高考后，课堂教学加强了数学建模问题的教学，但这类问题基本上是熟悉情境和关联情境中的建模问题，属于“新课标”中数学建模素养的水平一和水平二，没有达到水平三的要求．正在启用的新教材中，“数学建模活动与数学探究活动”作为高中数学课程内容的四条主线之一，切实落实新课程新教材的理念、精神和内容，重视数学建模素养的培育，把数学建模教学常态化，已是刻不容缓的现实要求．

从本文的测量分析中，明显可以看出，无论是数学基础强弱、学生性别、选修科类，在数学建模水平三上都表现出极低的水平．主要原因是缺乏必要的数学建模教学课时和数学建模过程训练．因此，在原有的数学建模水平一和水平二的教学实施基础上，应特别重视水平三的教学设计和操作实践．教师需精心设计熟悉的、关联的、综合的情境问题，引导学生发现和提出问题，建立合适数学模型，准确求解模型，自觉检验模型，进而完善模型，最终分析和解决问题．积累数学建模的策略，掌握模型思想，提升解决问题能力，不断孕育数学建模素养．

6.2 培养数学建模意识

由于受到应试教育的影响，评价分数化和学习功利化一直蔓延于学科学习之中．对于数学的“冰冷而美丽”，学生只见其“冰冷”，而不觉其美丽．记忆概念公式，计算推理证明，漫步于题山题海，沉溺于解题刷题，导致学而无趣，昏昏欲睡，疲惫不堪．如果没有了学习数学的兴趣，那何谈数学应用意识？

“新课标”强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，同时提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展．现代社会更加充分地体现了数学应用的广泛性，正如“新课标”所言：“数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面．”为此，数学教学中，教师要从数学知识体系，数学思想方法，数学文化历史的发生、发展、构建过程中，让学生感悟到“无处不在的数学”，体会到数学对人的发展“发挥着不可替代的作用”，数学素养是每个人“应该具备的基本素养”．还要在实际情境中设计问题，让学生自主探究，加强交流，积极评价，以唤醒好奇心，激发兴趣点，鼓舞自信心，培养其数学应用意识、数学化意识和模型意识．

6.3 构建数学建模活动

严格执行新教材．认真实施新教材的设置内容，充分保障新教材中“数学建模活动”的教学课时和训练学时，确保数学建模的教学进入常态化，改变原来为应试而进行的零散、偶然、短暂的应用题教学现象．

精心设计建模问题．教师认真钻研新教材，吃透新课程改革精神和理念，把握数学本质．分层次、阶梯式设计熟悉情境、关联情境、综合情境中的问题，保证情境的合理性、真实性和价值性，使得设置问题具有可解性、探究性和创新性．

积极组织建模活动．组织学生开展数学建模的选题、开题、做题、结题活动，结合数学教学软件(如几何画板、Geogebra,Cabri 3D等)、互联网+等教育信息技术，开展数学实验、现场操作、实际体验、合作探究等研究活动．例如，学习“数列”后，进行存款利息、按揭贷款、理财产品等数列模型构建活动；学习“解三角形”后，进行旗杆、教学楼、电视台等高度测量活动，体验三角形模型的应用；学习“函数”后，进行一次、二次、反比例、幂、指、对、三角等函数模型构建活动；综合运用所学知识，对超市商品价格、路线最优设计、效益最大化、能耗最小化等问题进行建模活动．总之，把数学课堂之中的数学建模活动(侧重于水平一水平二的目标)和课堂之外的建模操作活动(侧重于水平三的目标)结合起来，让学生体会数学的有用、有趣、有美、有神，既提升兴趣、增强动力，又训练思维、培育素养．

6.4 开发建模校本课程

深入研究新教材中有关数学建模的例题、习题，除涉及相关知识点外，充分挖掘其蕴含的数学思想、数学文化、模型结构，精心设计教学内容，课堂教学后做好反思评价，积累课本中的数学建模资源．在研究教材中数学建模素材的基础上，做好这些问题的拓展工作，充分发挥教材例题习题的辐射功能和母题功能．认真研究“新课标”及“新课标解读”中数学建模案例，将这些案例融入数学建模的教学中，特别是体现水平三的建模问题，根据模型系列，归纳梳理，形成数学建模资源．从数学期刊、数学应用与建模专著、数学应用竞赛、大学建模竞赛中，或直接拿来，或改编改造，或简化移植，作为数学建模教学的资源．

将以上的建模教学资源，按照模型类别或教学时序，编辑成册，形成具有本校特色的数学建模校本课程，不断积累、修改、完善，为数学建模素养的达成提供课程保障．

附录：数学建模三个水平[1]103

水平数学建模水平一了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述,了解数学模型中的参数、结论的实际含义.知道数学建模的过程包括:提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型.能够在熟悉的实际情境中,模仿学过的数学建模过程解决问题.对于学过的数学模型,能够举例说明建模的意义,体会其蕴含的数学思想;感悟数学表达对数学建模的重要性.在交流的过程中,能够借助或引用已有数学建模的结果说明问题.水平二能够在熟悉的情境中,发现问题并转化为数学问题,知道数学问题的价值与作用.能够选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题,理解模型中参数的意义,知道如何确定参数,建立模型,求解模型;能够根据问题的实际意义检验结果,完善模型,解决问题.能够在关联的情境中,经历数学建模的过程,理解数学建模的意义;能够运用数学语言,表达数学建模过程中的问题以及解决问题的过程和结果,形成研究报告,展示研究结果.在交流的过程中,能够用模型的思想说明问题.水平三能够在综合的情境中,运用数学思维进行分析,发现情境中的数学关系,提出数学问题.能够运用数学建模的一般方法和相关知识,创造性地建立数学模型,解决问题.能够理解数学建模的意义和作用;能够运用数学语言,清晰、准确地表达数学建模的过程和结果.在交流的过程中,能够通过数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象.