经历过程感悟思想

宋海清

在小学阶段，教师有意识地向学生渗透基本数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、定律的理解，提高学生分析与解决问题的能力。人教版五年级上册《数学广角》把“植树问题”作为学习支点，渗透数学思想方法。教学中，教师要引导学生发现规律，抽象出数學模型（点段关系），培养学生从实际问题中探索解决问题的有效方法的能力。

一、经历探索过程，感悟化归思想

在解决“两端都栽”的问题时，教材通过图文结合的形式呈现例题：“同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽），一共要栽多少棵树？”例题旁，笔者通过教材中小精灵和小学生的提示“100m太长了，可以先用简单的数试试”“我先看看20m可以栽几棵”引出解决问题的常用方法——从简单的情况入手解决复杂的问题。这种处理已经渗透了简单的化归思想——化繁为简。在教学时，很多教师出示例题后先让学生猜测结果，然后直接告诉学生：“我们先看看20m可以栽几棵”。这样的教学活动，表面看起来让学生经历了“猜测—探索”的过程，也渗透了化繁为简的思想方法，但这种方法是教师告诉学生的，学生并没有经历解决问题的过程，体会不到将大数改成小数探索规律的作用和必要性。

教师应该尽量把问题抛给学生，让学生在探索的过程中自主寻找合适的方法。笔者曾经听过朱德江老师执教的《植树问题》，颇受启发。朱老师将原例题的100m改成了500m，然后把问题抛给学生，让学生自主解决“一共要栽多少棵树”。针对学生不同的解答方法和结果，朱老师组织学生讨论“你比较认同哪种方法”。当学生一致认为“500÷5+1=101（棵）”这种方法最好后，教师抛出问题“为什么要加1，你有办法来说明吗”，学生想出了很多办法。学生甲（边说边画小树简笔画）说：“我画出了3棵树，发现2棵树中间有一个间隔，栽3棵树，有2个间隔，如果更多，原理也是一样的。”学生乙说：“第一次形成一个间隔需要2棵树，第二次再加1棵树就又形成一个间隔，这样棵数就比间隔数始终要多1。”学生丙说：“植树就像切木头，切一刀就是两段，切两刀就是三段，段数总是比刀数要多1。”

在解释的过程中，学生不由自主地将“500m”转化成了较小的数，感悟到用较小数发现规律，再运用规律解决问题的方法。由此给笔者启示：教材提供的将100m转化成20m、25m只是为学生解决此类问题提供一种思路——用“化繁为简”的方法来解决问题，具体转化成多少不重要，重要的是让学生经历探索解决问题方法的过程，自主选择合适的思想方法来解决问题、发现规律。

二、规范探究过程，体验归纳思想

在归纳植树问题（两端都栽）的规律时，教材先通过20m和25m两个数据，借助画线段图，让学生直观感受棵数与间隔数的关系，发现规律;然后由直观到抽象，让学生应用发现的规律猜想30m和35m的植树棵数;在此基础上引导学生概括出一般规律。这样的设计完整呈现了归纳的一般方法，即经历从特殊到一般的过程。

在常规教学中，教师有两种常用的教学设计：第一种，让学生自主选择不同的数据进行分析研究（一般每名学生选择一个数据），然后组织学生汇报交流。教师将不同学生的不同数据整理成表格（如下表），再引导学生集中观察，发现规律。

第二种，按照教材的设计顺序，引导学生通过画线段图得出20m、25m小路的栽树棵数，再计算出30m、35m小路的栽树棵数，最后引导学生观察棵数、间隔数，发现规律。

这两种教学方法都注重收集多种不同的数据进行归纳，体现了推理归纳的一般方法。虽然两种方法都能得出一条路的两端都栽时“棵数=间隔数+1”的规律，对于学生个体来说，第一种方法学生只通过一个数据就得出了结论，没有经历归纳推理的全过程;第二种方法虽然有多个数据支撑，但都是按教师的要求发现的，学生的自主体验不够。

教学时，最好让学生经历一个完整的归纳过程。当学生研究了一个或两个数据后，教师引导学生思考：“仅用这几个数据得出这样的结论，你们觉得可靠吗？有没有更多的数据来证明？”教师启发学生选择多个不同的数据进行探究，既能让学生经历归纳的一般过程和步骤，又渗透了归纳思想——一个特例不足以说明问题，多个不同的例子才能揭示规律，从而让学生在发现规律的同时掌握归纳的基本思想方法。

三、关注思维差异，明晰模型思想

“植树问题”中最重要的数学思想就是模型思想。针对植树问题的三种情况，即“两端都栽”“只栽一端”与“两端都不栽”，教材都是通过画线段图，让学生把“点”（树）与“线”（间隔）一一对应起来，发现栽树的棵数和间隔数之间的关系，从而经历模型建构的过程，建立植树模型。

在实际学习中，学生思维的差异性决定了他们解决问题的个性化。有的学生在头脑中已经形成植树表象，他们直接用数进行推理，如栽2棵树，形成1个间隔，栽3棵树，形成2个间隔等;有的学生需要借助实物（小棒、圆片等）模拟植树;还有的学生通过画线段图发现规律;等等。教学时，教师要用好教材，但不能要求学生一律按教材的方式画线段图建模，而应充分尊重学生的思维差异，让他们自主选择写一写、摆一摆、画一画等方式来理解、表达“段点”关系;同时，要给学生展示交流的机会，一方面给学生分享不同方法的机会，让他们通过观察比较，感受到无论采用哪种方式，发现的规律都是一样的;另一方面突出线段图的优越性，让他们体会到线段图能直观、清晰、简洁地表现出棵数与间隔数的关系。这样能较好地处理个性与共性的关系，让学生通过观察、分析、判断、抽象、概括等数学活动，建立植树模型。

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。在现实生活中类似的问题还有很多，比如在公路两旁安装路灯、锯木头、架设电线杆、设计桥墩等，这些问题情境中都隐含着总数和间隔数之间的关系。教师在教学时可以设计丰富的现实问题情境，让学生在实践中进一步体会模型思想解决问题的优越性，积累用数学知识解决实际问题的经验。

（作者单位：黄冈市黄州区赤壁街道中心学校）

责任编辑  张敏