厘清教学思路建构核心概念

徐想平

体积与容积是小学数学中比较抽象的核心概念，也是小学阶段研究物体体积度量的重要起点。通过前测调研，笔者发现造成学生认识体积的障碍有两个：“空间”和“占空间”比体积本身更难感受和理解;“表面积”和“质量”是干扰体积概念表象建立和内涵理解的重要因素。此外，体积和容积这两个概念有很多相似之处，容易混淆。如何设计有效的学习路径，帮助学生突破难点和障碍，在概念的建构中培养空间观念、发展高阶思维呢？

—、围绕“比较”，在问题解决中建构概念本质

在“图形与几何”领域中，无论是周长、面积还是体积的计算，都属于求“积”问题。对求“积”问题的本质认识一般都源于“比较”。因此，体积和容积概念的学习活动应围绕“比较”展开。

笔者认为，帮助学生建构体积概念一般分为三个层次：感知物体占有一定的空间;感知物体所占空间有大有小;感知所占空间的大小是可以分辨和确定的。课上，笔者首先引导学生把桌斗清空，伸出双手去摸一摸桌斗，感受一下桌斗的空间;然后让学生把一摞书放进去，再摸一摸桌斗的空间，初步感知空间大小的变化。这样的想象、知觉活动让学生清晰地感受到“空间”以及“物体是占空间的”。

比较物体所占空间的大小一般分为两个层次：一是直接通过目测观察就可以分辨出来的物体体积的比较，如比较空调、水杯、乒乓球这三个物体所占空间的大小。教学中，笔者通过“看、找、想、说”的活动，引导学生经历目测观察和用数学语言描述的过程，使学生初步感知物体不仅占空间，而且它们所占的空间还有大小之分。在此基础上，笔者演示吹气球的过程，让学生通过仔细观察感悟：不仅固体占空间，气体也占空间，且气球内气体所占的空间会随着吹入气体的多少而发生变化。这两个教学活动有利于学生理解体积概念的丰富内涵。二是通过目测观察无法分辨出来的物体体积的比较，如比较土豆和红薯所占空间的大小。实验开始前，笔者首先启发学生思考、设计不同的实验方案。学生提出榨成泥后比较、水测（溢测）法比较、比表面积或比质量等想法。然后，笔者引导学生对实验方案是否可行进行讨论交流，对表面积、质量这两个干扰因素进行层层剥茧，排除了这两种方法。最后，笔者提供实验材料，让学生通过水测法验证土豆和红薯的体积到底哪个更大，由此感悟物体所占空间有大有小，并且体积的大小是可以确定的。

对容积概念的认识同样围绕“比较”来设计学习活动。首先，笔者设疑：目测无法分辨出谁的内部空间大的杯子和瓶子，谁装的水多呢？以此激发学生设计实验方案解决问题。有学生提出可以把杯子和瓶子都装满水，再分别倒入另外一个杯子，同时做好标记，哪一个水面高哪一个装的水就多;还有学生提出可以把杯子装满水，然后倒入瓶子里，如果满了并溢出来了，就说明杯子装的水多，如果没满，就说明杯子装的水少。在实验演示、求证、比较、描述的过程中，学生得出“瓶子装的水多，杯子装的水少”，说明瓶子的容积比杯子大，直观感知到容器装满水时水的体积等于容器的容积，从而深入理解了容积概念——容器所能容纳物体的体积就是容器的容积。

二、围绕“偏差”，在障碍冲突中领悟概念内涵

小学阶段有些数学概念的表述是比较抽象和难以理解的。比如，教材用体积来定义、表述容积：“容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。”对于“所能容纳”，学生很容易产生认识上的偏差。为此，笔者在用“杯子倒水”帮助学生初步认识容积的基础上，采用“杯子装米”的方式，循序渐进地帮助学生在质疑交流中矫正认识上的偏差。

教学中，笔者首先用准备好的杯子装了部分米（未装满），让学生判断杯子的容积。学生观察后认为杯子还可以容纳米。接着，笔者往杯子里慢慢倒入米，直至正好装满，再让学生判断杯子的容积。学生通过直观观察发现杯子已经装满，再也不能容纳米了，得出此时杯子的容积应该是米的体积。笔者乘机引导学生观察米之间有缝隙，说明还可以容纳东西，并演示将少量水缓缓倒入装满米的杯子且水没有溢出的过程。学生通过这个实验发现：杯子的容积比米的体积大。

这样教学让学生在真切的感受中比较，在比较的过程中产生认识冲突，在辨析冲突中达成一致理解，从而准确理解“所能容纳”是指杯子中的米正好装满，没有缝隙，也没有超出，而且能很直观地遷移理解：杯子里即使没有装东西，杯子也是有容积的;杯子里米的量在变化，但杯子的容积没有发生改变;相同杯子的容积是相等的。这样的问题串能够帮助学生更透彻地理解容积概念的本质。

三、围绕“关联”，在猜测想象中透彻概念理解

在理解体积和容积概念的基础上，还要帮助学生认识两者的联系与区别，重在明晰两种情况：一是同体积的物体容积未必相同，二是同一个物体（容器）的体积大于容积。

课上，笔者首先呈现两个外观大小相同的纸箱并提问：这两个纸箱谁的体积大？学生仔细观察后发现两个纸箱完全一样，得出体积相同的答案。然后，笔者引导学生猜想它们的容积是否也相同。有的学生认为两个纸盒的体积一样大，容积应该也一样;有的学生认为如果两个纸箱里面的构造一样，它们的容积就相同，反之容积就不同。最后，笔者适时打开两个纸箱呈现内部的不同构造。学生观察到纸箱壁的厚度不一样，明确了容器容积的大小不能只看外表，体积相同的两个物体（容器）的容积不一定相同。接下来，笔者还是以纸箱为例，逐步呈现三个问题，引导学生在想象中思考：如果纸箱的外壁不断加厚，体积和容积有什么变化;如果纸箱的内壁不断加厚，体积和容积有什么变化;如果纸箱的内壁不断变薄，体积和容积又有什么变化。在这样充满挑战性的渐进式问题中，学生边想象边体会体积和容积随着壁厚的变化而变化。特别是对第三个问题，学生逐渐想象到“零厚度”，渗透了极限思想。这个过程在培养学生空间想象力的同时，发展了学生的高阶思维，进而使他们对概念的理解走向深入。

体积与容积概念的建立不是概念符号的记忆过程，也不仅仅是积累直观形象的过程，而是概念意义的形成过程。这个过程需要基于学生生活经验和有效的数学活动来突出概念本质，促进学生真正理解概念。

（作者单位：应城市杨岭镇中心小学）

责任编辑  刘佳