拨开云雾见天日

钟烙华

2021年广东省进行高考改革，数学试题是全国新高考试题Ⅰ卷，与往年高考试题相比，最大的变化是新高考试题增加多选题这种新题型. 今年高考的多选题是每题设置4个选项，有多个选项符合题目要求. 评分方式是全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 下面从多选题的选拔功能、答题策略、试题分析、考点归纳、巩固训练等五方面进行分析研究，揭开多选题的“神秘面纱”，为更好地应对高考新题型提供帮助和指导.

一、精确发挥选拔功能，增强考试的信度和效度

高考数学的单选题和多选题都是设置4个选项，单选题有且只有一个选项符合题意，但多选题则有多个选项符合题意. 做单选题只有正确、错误两种情形，评分也只有5分、0分两种结果，但做多选题还有部分正确这种情形，所以多选题的得分多了一种可能性，即0分、2分、5分. 虽然考生得5分的难度加大，但显然得0分的可能性也大大降低. 那么引入多选题后，对考生的得分到底有哪些影响？多选题为数学基礎和数学能力在不同层次的考生都提供了发挥空间，同时能够更加精确地发挥数学科考试的区分选拔功能. 多选题的设置给广大考生增加了得分机会，增进了数学学习的获得感，也更精准地测试和区分了不同层次考生的数学能力水平，增强了考试的信度和效度，对新高考是有益的尝试.

二、正确评估自己实力，理智控制“稳”或“狠”

由于多选题有多个选项符合题意，选择1个符合题目的选项比单选题更容易，但要把符合题意的选项全部选出来，难度加大，所以多选题比单选题更有挑战性. 对基础薄弱且平时做题马虎、判断不果断、计算拖沓的学生来说，一旦出现拿捏不准的选项，建议采用保守策略，选择一个最有把握的选项，确保2分到手，不能太过激进，以免得0分. 但对于一些数学基础比较扎实的学生来说，选择一个最有把握的选项还是选择多个选项会有点纠结，需要自己随机应变，理智把握“稳”或“狠”的关系. 从总体上来看，做多选题得2分容易，得5分难，多选题的多级得分模式有利于提高低水平学生的得分，也有利于区分出高水平的学生. 因此，在复习的过程中，我们要关注每个问题的分析思路，不断强化自己的“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）和“四能”（提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力），加强积累，应对新高考的多选题的挑战.

三、多角度分析试题，选取最佳的解题方法

做多选题有两种途径：途径一是通过逐一检验4个选项，选出符合题意的所有选项，我们把这种解法称为直接法;途径二是通过排除不符合题意的选项，选择剩下的选项，我们把这种解法称为间接法. 下面结合2021年新高考全国数学I卷4道多选题进行分析.

9. 有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到的新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c（i=1，2，…，n），c为非零常数，则（ ）

A. 两组样本数据的样本平均数相同

B. 两组样本数据的样本中位数相同

C. 两组样本数据的样本标准差相同

D. 两组样本数据的样本极差相同

直接法：

设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，中位数为x0，标准差为s1，极差为c1，

样本数据y1，y2，…，yn的平均数为 ，中位数为y0，标准差为s2，极差为c2，则

= ， = = = +c，

y0=x0+c，

s1= ，

s2=

= =s1，

c1=xmax-xmin，c2=ymax-ymin=（xmax+c）-（xmin+c）=c1，

故选择CD.

间接法：

根据平均数、中位数的概念，y1，y2，…，yn的平均数是x1，x2，…，xn的平均数加上c，y1，y2，…，yn的中位数是x1，x2，…，xn的中位数加上c，

因为c为非零常数，

所以AB选项错误，

故选择CD.

总结归纳：本题根据平均数、中位数、标准差、极差的定义，进行简单的计算，不管用直接法还是间接法，都可以比较快地得到答案，主要考查对样本数据的数字特征的理解和简单计算，考查高中数学科的必备知识，属于基础性题目.

10. 已知O为坐标原点，点P1（cos ，sin ），P2（cos ，-sin ），P3（cos（ + ），sin（ + ）），A（1，0），则（   ）

A.  =  B.  =

C.  · = ·   D.  · = ·

直接法一：

= =1， = =1，A正确.

= = ， =

= ，B错误.

· =1×cos（ + ）+0×sin（ + ）=cos（ + ），

· =cos cos +sin （-sin ）=cos（ + ），C正确.

· =1×cos +0×sin =cos ，

· =cos cos（ + ）+（-sin ）sin（ + ）=cos（ +2 ），D错误.

所以选择AC.

直接法二：

把点A，P1，P2，P3以及相关向量在直角坐标系中标出来，如图1所示，

由向量的模以及数量积容易得到A，C项正确，B，D错误，

所以选择AC.

间接法：

取 =30°，  =60°， 则 = ，  =1， B错误.

· = ， · =- ，D错误.

所以排除BD，

故选择AC.

总结归纳：本题根据向量的模、数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换公式进行简单的运算，或者数形结合，都可以直接判断A，C选项正确，B，D选项不一定成立. 当然如果能对 ， 取特殊值，可以很快排除B，D选项，本题用间接法处理更好. 主要考查对向量的模、向量数量积、三角函数定义的理解和三角恒等变换公式的运用，考查高中数学科的必备知识，属于基础性题目.

11. 已知点P在圆（x-5）2+（y-5）2=16上，点A（4，0），B（0，2），则（   ）

A. 点P到直线AB的距离小于10

B. 点P到直线AB的距离大于2

C. 当∠PBA最小时，PB=3

D. 当∠PBA最大时，PB=3

直接法：

如图2，（x-5）2+（y-5）2 = 16的圆心为C（5，5），

半径r=4，直线AB ∶  + +1，即x+2y-4=0，

C到直线AB的距离d= = ，

所以当点P在P1处时，点P到直线AB的距离取最小值，最小值为d-r= -4<1，

当点P在P2处时，点P到直线AB的距离取最大值，最大值为d+r= +4<10，

所以选项A正确，选项B错误.

当点P在P3处时，∠PBA最小，

当点P在P4处时，∠PBA最大，

P3 B=P4 B= = =3 ，

所以C，D项正确，

故选择ACD.

总结归纳：本题根据直线与圆的位置关系，数形结合，由圆心C到直线AB的距离，容易求出圆上的点到直线AB的距离的最大值和最小值，从而判断选项A正确，选项B错误. 同样是数形结合，可以判断当BP与圆相切时，∠PBA最小或最大. 由于选项B错误，根据切线长定理得P3B=P4B，不用计算线段P3B，P4B的长度，结合选项，就可以判断C，D选项一定正确. 本题应该用直接法处理，主要考查圆的几何性质、点到直线的距离、直线与圆的位置关系、以及距离和角度的最值等问题，考查高中数学科的关键能力，属于综合性题目.

12. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足  =  +  ，其中 ∈[0，1]， ∈[0，1]，则（   ）

A. 当 =1时，△AB1P的周长为定值

B. 当 =1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值

C. 当 = 时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP

D. 当 = 时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P

直接法：

当 =1时，由于 =  +  ，其中 ∈[0，1]， ∈[0，1]，

所以点P在线段CC1上运动，

沿侧棱BB1把正三棱柱ABC-A1B1C1展开，

△AB1P的周长l=AB1+AP+PB1，

当点P在線段CC1上运动时，

由于AB1的长度不变，AP+PB1的长度改变，

所以△AB1P的周长不是定值，选项A错误.

当 =1时，由于 =  +  ，其中 ∈[0，1]， ∈[0，1]，

所以点P在线段B1C1上运动，

由于BCC1B1是正方形，

所以△PBC的面积是定值，

因为A1到平面BCC1B1的距离是定值，

所以三棱锥P-A1BC的体积为定值，选项B正确.

当 = 时，由于 =  +  ，其中 ∈[0，1]， ∈[0，1]，

所以点P在线段DD1上运动，其中D，D1分别是BC，B1C1的中点，

当点P运动到D，D1时，均有A1P⊥BP，

所以选项C错误.

当 = 时，由于 =  +  =  +  ，其中 ∈[0，1]，

设O是AC的中点，以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立如图8的空间直角坐标系，则A（0，- ，0），A1（0，- ，1），B（ ，0，0），B1（ ，0，1），C（0， ，0）， =（ ， ，-1），  =（ ， ，1），  =  +  =  （- ， ，0）+ （0，0，1）=（- ， ， ）.

所以P（ ， ， ）， =（ ， ，- ），

设平面AB1P的法向量为 =（x，y，z），

则由 · =0， · =0，得 x+ y+z=0，- x+ y- z=0.

令z= 得x=- ，y= ，所以 =（- ， ， ），

若A1B⊥平面AB1P，则 与 共线，即 = = ，解得 =1∈[0，1]，

所以有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P，选项D正确.

故选择BD.

间接法：

由于选项D比较难判断，可以利用直接法判断选项A错误、选项B正确、选项C错误之后，根据多选题至少有两个或以上的选项正确的特点，不用再验证选项D是否正确，可以直接选择选项BD.

总结归纳：本题根据空间向量的数乘、加法等运算法则，确定动点的轨迹，通过棱柱的侧面展开图判断选项A不正确，通过两条平行线间的距离处处相等判断选项B正确，通过直观想象，找出线段边界的两个端点符合题意，判断选项C不正确，通过建立空间直角坐标系，利用待定系数法，根据直线与平面垂直的空间向量关系，确定点P的位置，判断选项D正确. 本题主要以空间向量进行包装，考查三角形周长定值、三棱锥体积定值、线线垂直、线面垂直等问题，考查高中数学科的关键能力和学科素养，属于综合性和应用性题目. 本题判断选项A、B、C是否符合题意，计算量不大，但判断选项D是否符合题意，计算量大，可以根据多选题至少有两个或以上的选项正确的特点，不用再验证选项D是否正确，可以直接选择选项BD.

四、总结考查知识点，提高学习和训练的针对性

多选题是新高考的新题型，只有在2020年、2021年新高考的Ⅰ、Ⅱ卷中出现，下面对四份试题的多选题的知识点进行回顾.

从表1可以得出，多选题主要来自三角函数、概率与统计、立体几何、解析几何、函数与不等式等数学主干知识，考查目标以必备知识、关键能力、学科素养为主，考查要求以基础性、综合性、应用性为主.

五、加强训练，提高做多选题得分能力

针对多选题主要来自三角函数、概率与统计、立体几何、解析几何、函数与不等式等数学知识版块，下面围绕这5个知识版块，提供每个知识版块2道多选题进行训练.

（一）三角函数版块

1. 已知函数f（x）=sin（？棕x+？渍）（？棕>0，|？渍|< ）的部分图像如图9所示，则（  ）

A. f（x）=cos（2x- ）

B. f（x）=sin（2x- ）

C. f（ +x）=f（ -x）

D. f（ +x）=-f（ -x）

解析：由图像可得 T= - = ，故T=π，所以？棕= =2，

又 f（ ）为最大值，故2× +？渍= +2kπ，k∈Z，故？渍= +2kπ，k∈Z.

因为|？渍|< ，故？渍= ，所以f（x）=sin（2x+ ）.

所以f（x）=sin（2x+ - ）=cos（2x- ），故A正確，B错误.

令2x+ =kπ，则x= - ，k∈Z，当k=1时，x= ，

故函数图像的对称中心为（ ，0），故C错误，D正确.

故选择AD.

2. 已知函数f（x）=（sinx+cosx）|sinx-cosx|，下列说法正确的是

A. f（x）是周期函数

B. f（x）在区间[- ， ]上是增函数

C. 若f（x1）+f（x2）=2，则x1+x2= （k∈Z）

D. 函数g（x）=f（x）+1在区间[0，2π]上有且仅有1个零点

解析：因为f（ ）=1，f（0）=1，

所以f（x）在区间[- ， ]上不可能是增函数，排除选项B.

因为f（ ）=-1，f（π）=-1，排除选项D.

故选择AC.

（二）概率与统计

1. 空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，对应关系如下表：

为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在校内测得10月1日-20日AQI指数数据并绘制成折线图如下：

下列叙述正确的是

A. 这20天中AQI指数值的中位数略大于150

B. 这20天中空气质量为优的天数占

C. 10月4日到10月11日，空气质量越来越好

D. 总体来说，10月中旬的空气质量比上旬的空气质量差

解析：只有5天AQI指数值大于150，中位数不可能大于150，选项A不符合题意. 由于有5天AQI指数值不大于50，选项B符合题意.

由于4日到11日AQI指数值越来越大，空气质量越来越差，选项C不符合题意.

由于中旬的AQI指数值比上旬的AQI指数值大，

所以中旬的空气质量比上旬的空气质量差，选项D符合题意.

故选择BD.

2. 广东江门有开平碉楼，赤坎古镇，下川岛，小鸟天堂四个著名景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览开平碉楼的概率为 ，游览赤坎古镇、下川岛和小鸟天堂的概率都是 ，且该游客是否游览这四个景点相互独立. 用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的是

A. 游客至少游览一个景点的概率

B. 游客至多游览一个景点的概率

C. P（X=3）=

D. P（X=4）=

解析：随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4;

则P（X=0）=（1- ）（1- ）（1- ）（1- ）= ，

所以P（X≥1）=1-P（X=0）= ，故A正确.

P（X=1）=（ ）（1- ）3+（1- ） · ·（1- ）2= ，

所以P（X≤1）=P（X=0）+P（X=1）= ，故B不正确.

P（X=3）= × ×（ ）2×（1- ）+（1- ）×（ ）3= ，故C正确.

P（X=4）= ×（ ）3= ，故D错误.

故选择AC.

（三）立体几何

1. 如图11，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E为线段A1D1上的中点，F为CC1上的动点，则下列结论正确的是

A. 三棱锥B1-ABF的体积为定值

B. 当F为CC1的中点时，经过B，E，F的平面截长方体得截面为五边形

C. EF在平面ADD1A1内的射影长的取值范围是[1， ]

D. 三棱锥A1-AEF的外接球的体积为8 π

解析：连接B1F，BF，AB1，在长方体中，AB⊥平面BCC1B1，

易知△B1FB的面积是定值，由等体积法V =V ，

所以三棱锥B1-ABF的体积为定值.

故A正确.

显然，B正确.

过F点作DD1的垂线交于点H，由长方体得EH⊥FH. 易得EF在平面ADD1A1内的射影长的取值范围是[1， ].

故C不正确.

因为A1D1，A1B1，A1A两两垂直，

所以三棱锥A1-AEF的外接球即为长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球，

其外接球的半径为  = ，体积为 π×（ ）3=8 π.

故D正确.

故选择ABD.

2. 如图12，正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C⊥平面 ，则 与正方体ABCD-A1B1C1D1的截面可能是（   ）

A.                      B.

C.                      D.

解析：设A1C与三角形AB1D1、BC1D的交点分别是E、F.

当平面 与A1C的交点在A1E之间时，仅与上底面、左侧面、正面相交，易证截面为等边三角形，且经过A、B1、D1三点时截面为最大的等边三角形.

当平面 与与A1C的交点在EF之间时，易证截面为对边平行的的六边形.

当平面 與与A1C的交点在FC之间时，由对称性可知截面是等边三角形.

故选择AD.

（四）解析几何

1. 定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线. 以下关于共轭双曲线的结论正确的是

A. 与 - =1（a>0，b>0）共轭的双曲线是 - =1（a>0，b>0）

B. 互为共轭的双曲线渐近线不相同

C. 互为共轭的双曲线的离心率为e1，e2，则e1e2≥2

D. 互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上

解析：由新定义可以得到与 - =1（a>0，b>0）共轭的双曲线方程是 - =1（a>0，b>0），它们渐近线都是y=± x，排除选项A、B，

故选择CD.

2. 已知曲线C∶（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m）（m≠1且m≠3），则下列结论正确的是

A. 若曲线C是椭圆，则1

B. 若m<1或m>3，则曲线C是双曲线

C. ？埚m∈（1，3），使得曲线C不是椭圆

D. 若m=5，则曲线C与直线y=kx+1恒有两个交点

解析：对于方程C∶（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m）（m≠1且m≠3），

可化为 + =1，

若3-m=m-1，即m=2时，曲线C是圆，

选项A不符合题意.

若（3-m）（m-1）<0，即m>3或m<1时，曲线C是双曲线，

选项B符合题意.

若（3-m）（m-1）<0，即1

选项C符合题意.

若m=5，则曲线C是双曲线 - =1，

联立 - =1y=kx+1得（2-2k2）x2-2kx+3=0

由△=28k2-8>02-2k2≠0，显然当k> 或k<- 时，曲线C与直线有两个交点，

选项D不符合题意.

故选择BC.

（五）函数与不等式

1. 设a>0，b>0，a+b=1，则

A. a2+b2的最小值为

B.  的是小值为2

C.  + 的范围为[9，+∞]

D. 若c>1，则（ -2）·c+ 的最小值为8

解析：对于A，由a2+b2≥ = ，当且仅当a=b= 时取等，可得a2+b2的最小值为 ，所以A正确.

对于B，由 = = + ，又由0< ≤ ，所以 + ≥ + = +4= ，所以B不正确.

对于C，由 + =（ + ）（a+b）=5+ + ≥5+2 =9，当且仅当a=2b时，即a= ，b= 时，等号成立，取得最小值9，所以C正确.

对于D，由 -2= -2= + ≥4，当且仅当b=2a时，即a= ，b= 时，等号成立，可得（ -2）·c+ ≥4（c-1）+ +4≥8，当且仅当c= 时取等，所以D正确.

故选择ACD.

2. 已知函数 f（x）=e|x|sinx，则下列结论正确的是（ ）

A. f（x）是周期为2π的奇函数

B. f（x）在（-10π，10π）内有21个极值点

C. f（x）在（- ， ）上为增函数

D. f（x）≥ax在[0， ]上恒成立的充要条件是a≤1

解析：因为f（x）的定义域为R，f（-x）=e|-x|sin（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数，

但是f（x+2π）=e|x+2π|sin（x+2π）=e|x+2π|sinx≠f（x），所以f（x）不是周期为2π的函数，

故A错误.

当x∈[0，10π）时，f（x）=exsinx，f ′（x）=ex（sinx+cosx）= exsin（x+ ），

令 f ′（x）=0得， x=- +kπ（k=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10），

当x∈[-10π，0）时，f（x）=e-xsinx，f ′（x）=e-x（cosx-sinx）= e-xcos（x+ ），

令 f ′（x）=0得，x= +kπ（k=-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7，-8， -9，-10），

因此，f（x）在（-10π，10π）内有20个极值点，故B错误.

当x∈（- ，0）时，f（x）=e-xsinx，f ′（x）=e-x（cosx-sinx）>0，f（x）单调递增，

当x∈（0， ）时，f（x）=exsinx，f ′（x）=ex（sinx+cosx）>0，f（x）单调递增，

且f（x）在（- ， ）连续，故f（x）在（- ， ）单调递增，故C正确.

当x∈[0， ]时，f（x）≥ax？圳a≤ ，

设g（x）= ，所以g′（x）= ，

令h（x）=xsinx+xcosx-sinx，x∈（0， ]，

h′（x）=sinx+x（cosx-sinx）>0，h（x）单调递增，

h（x）>h（0）=0，所以g′（x）>0，g（x）在（0， ]单调递增.

当x趋近于0时，g（x）= 趋近于1， 所以a≤1，故D正確.

故选择CD.

责任编辑 徐国坚