平凡见奇生面开，似曾相识燕归来
2021-09-15林生
林生
今年高考是新高考的第一年，试题风格朴实无华，背景简洁明了，没有冗繁的文字描述，摒弃了浮夸的命题风格，试题很好地落实了“立德树人、服务选才，引导教学”的核心功能. 今年的很多题目都独具匠心，既体现在知识交汇点处命题的创新原则，又格调清新意境幽，更为重要的是有些题目看起来似曾相识，但有别于“旧题”，很好实现了“反题海战术和机械刷题”等功能，更好地培养考生的数学核心素养.2021年新高考Ⅰ卷数学第21题就是这样的题目：该试题设计虽平凡、朴实，“面孔”是考生最熟悉的题型，考生入手容易且解法看似常规，但是却有些“生面”——解几大题双曲线重出江湖，这次考查的是双曲线，双曲线大题已经将近十年高考没有出现，这虽和八省联考模拟卷考查双曲线高度吻合，但当时八省联考模拟卷中以双曲线大题出现是“出乎意料”的，曾几何时，很多人备考时都振振有词强调双曲线不考大题，平时我们所用的教辅资料也成功回避了双曲线大题，没有想到八省联考模拟卷就杀了个“回马枪”，令考生黯然神伤.虽前车之鉴后再次出现双曲线大题考生有了充分准备，但这也是我们学生的一个“软肋”，这也再次提醒了我们：以后高考备考要以高考评价体系为标准，要掌握的知识必须掌握，不能再像以前备考那样“规避”双曲线，不能像以前备考都注重椭圆和抛物线，而忽略双曲线相关知识.同时我们对高考试题研究要深度分析：入乎其内——寻求解题的思路和突破口，找出最优解题思路和方法，接着找出其共性的知识和通性通法，对其通法深度挖掘和提炼反思;还要出乎其外——寻求其知识的“源”与“流，对此基本类型进行变式拓展推广、举一反三，开启思维，纵横联系、触类旁通，探窥其本质，让考生从题中悟“道”，达到“一览众山小”的境界，从而实现2022年高考解析几何的高效备考.下面笔者以2021年新高考Ⅰ卷数学第21题为载体，通过探求其解法、分析这种类型的实质，打开这类问题的“思维重门”，对此种圆锥曲线的类型进行推广拓展，让考生掌握这一类题型的基本方法和技巧，实现高效备考，探究出2022年高考圆锥曲线的高效备考的一些建议和策略.
一、平凡见奇生面开似曾相识燕归来——真题回放
（2021年新高考全国数学Ⅰ卷第21题）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（- ，0），F2（ ，0），点M满足MF1-MF2=2. 记M的轨迹为C.
（1）求C的方程;
（2）设点T在直线x= 上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且TA·TB=TP·TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
【点评】本题朴实无华但棉里藏针，陷阱凸显，简约而不简單，深刻而不深奥. 第（1）问考查双曲线的定义——点的轨迹，考查内容常规、平凡，考题这样设置有利于考生思维的展开，给考生一课“定心丸”，同时也有利于第（2）问的思路展开，有利考生信心的提升，但在这里设置了一个“门槛”——考查双曲线的“一支”，同时还凸显“陷阱”——要注意轨迹方程中的取值范围;第（2）问求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和，本质属于双曲线的定值问题，但却将本问设置成有序开放问题探索的内容——求斜率之和. 以“生面”的形式展示，加上该问综合性运算量大，很多考生都会“望而生畏”，但只要认真思考该类问题，还是可以转化为我们熟悉的“面孔”——定值问题，加上本问不同的思维路径会出现不同的运算量，这更能甄别考查考生的运算求解能力，同时还要求运用解析几何的基本思想方法分析问题和解决问题，考查考生在开放的情景中发现主要矛盾的能力，让考生在平平实实中考思维、稳扎稳打中见真功，这十分符合新高考的命题理念.
二、犹抱琵琶半遮面拨迷雾入乎其内——解法探幽
1. 众里寻它千百度，柳暗花明又一村——点开第一重认识：求点轨迹方程
【分析】该题中的第（1）问时，虽双曲线对考生有点“陌生”，但考查点的轨迹方程，这对考生来说是“老生常谈”的问题，回归双曲线定义，明确点M满足MF1-MF2=2，注意到范围，利用双曲线的定义可知轨迹C是以点F1、F2为左、右焦点双曲线的右支，求出a、b的值，即可得出轨迹C的方程，这样问题便可解决.
解析：因为MF1-MF2=2
【点评】有关轨迹方程问题的求法，是我们需要掌握的知识，特别是利用圆锥曲线的定义来求轨迹方程更是我们常用的“手段”，因此我们要熟练掌握求动点轨迹方程的常用方法：①直接法;②定义法（特别是椭圆、双曲线、抛物线等定义）;③几何法;④相关点法（代入法），⑤参数法;⑥交轨法. 其中④ ⑤ ⑥统称为间接法，体现了转化的思想.在探求轨迹方程的过程中，需要注意的是轨迹方程的“完备性”和“纯粹性”，因此，在求得轨迹方程之后，要深入思考一下：是否还遗漏了一些点;是否还有另外一个满足条件的轨迹方程存在;在所求得的轨迹方程中，的取值范围是否有限制？在上面的第一问就是要注意的范围，很多考生往往忽略范围而导致出错. 因此我们求点的轨迹方程的时要首先考虑是否能够利用圆锥曲线定义来处理，更为重要的是要避免轨迹方程的“陷阱”，把握以上两点，那么解题可以达到“柳暗花明又一村”的境界——明确解题方向和切入点，即使较为复杂类型，我们通过层层突破，问题也会迎刃而解.
2. 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行——建立第二重认识：定值探求
【分析】该题中的第（2）问时，颇有一种“似曾相识”的味道，要求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和，这个和一般为“定值”，这样的问题对考生来说是很熟悉的问题，由点T在直线x= 上，可设T（ ，n），若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，因此设直线AB：y-n=k1（x- ），可直接联立双曲线方程和直线方程，联立得y-n=k1（x- ），x2- =1，（16-k21）x2+（k21-2k1n）x- k21-n2+k1n-16=0，再利用TA·TB=TP·TQ条件和两点间距离将TA，TB，TP，TQ分别表示出来，再直接去推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量n，从而求出定值，但会发现出现“障碍”的情况——运算量过大，颇有“无可奈何花落去”的感觉，因此无法继续往下处理，究其原因主要是由于利用代数法来解题本来就运算量大，考生不懂得利用特殊值来探路，不懂得如何减少解析几何运算量，这与平时的备考有很大联系，缺乏注重运算的算理和算法，所以高考命题组设置该问时就突出考查考生的运算求解能力. 但只要考生运算功底扎实，注重算理，一步一个脚印，利用代数的方法是可以解决的：设A（x1，y1），B（x2，y2），由前面联立方程可得：x1+x2= ，x1x2= ，因此TA= =
= = x1- TB=
= =
= x2- ，所以TA·TB=（1+k21）x1- x2- =（1+k21）x1x2- （x1+x2）+
= - （ ）+ = ，如果直接算TP·TQ的话，这里运算量将会十分大，这时要注意算理，字母的替换法则（解析几何中，有些点、线处于相同位置，计算过程具有明显的替换性，将相同的计算完全略去，这将大大减少运算量），用字母替换的法则可得TP·TQ= ，又由TA·TB=TP·TQ可得 = ，即 = ，因为直线AB的与直线PQ不是在同一条直线，所以k1≠k2，所以k1=-k2，因此k1+k2=0函. 其实在这里计算时要注意技巧：算TP·TQ时直接可根据TA·TB= 进行替换便可以大大降低运算，同时得 = 后，也可以将其通过化简为1+ =1+ ，因此可得 = ，从而判断出k1=-k2，即k1+k2=0. 回头过来看，该问本质是探究圆锥曲线的定值问题，但这个过程中突出对学生基本知识和运算能力的考查，综合来看，今年命题设置成开放性定值探求问题“别出心裁”，有效地避免了题海战术，真正地考查了考生应用知识的能力和学生数学素养.
解析1：（2）由题意可知（如右图1），设T（ ，n），若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点.
设A（x1，y1），B（x2，y2）设直线AB：y-n=k1（x- ），
因此联立y-n=k1（x- ），x2- =1，
化简可得（16- ）x2+（ -2k1n）x- -n2+k1n-16=0，当16- ≠0时，可得x1+x2=- = ，x1x2= ，由两点间距离可得TA= =
= =
x1- ，TB= =
= = x2- ，又由题意知x1≥1，x2≥1，所以TA·TB=（1+ ）（x1- ）（x2- ）=（1+ ）[x1x2- （x1+x2）+ ]= - （ ）+ = ，设PQ：y-n=k2（x- ），同理TP·TQ= ，∵TA·TB=TP·TQ，∴ = ，即1+ =1+ ，∴k21-16=k22-16，即k21=k22，∵k1≠k2，∴k1+k2=0，所以直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
【点评】本题的第（2）问其实质就是圆锥曲线求定值问题，只不过给与它套上“外套”——“存在问题”有序开放（探索求斜率之和问题），这突出考查考生的圆锥曲线定值知识和运算求解能力，这里用双曲线来考查，无非是提醒我们在以后备考过程中 不能“厚此薄彼”——只偏愛于椭圆和抛物线，而是要根据课程标准和高考评价体系进行备考. 往往求定值问题（常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关;②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值）是通过设参数或取特殊值来确定定值是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题. 求解时对所设参数，在计算中推理最后将参数消去得出定值. 在这里也可以通过将点T特殊化（点T在x上）来探路，即点T（ ，0），由图可知直线AB与直线PQ关于x对称，由此可知直线AB的斜率与直线PQ的斜率为定值0，通过这样特殊“探路”，问题就迎难而解了. 在上面的解法中，我们通过设直线AB的方程为y-n=k1（x- ）来联立方程，同样我们可否将直线设成y=k1x+b1的形式呢？答案是可以的，只不过多了一个参数b1，但“殊途同归”，消参后的结构形式一样（已知点T（ ，n）一般采取用点斜式来设直线方程），在这个过程中要求考生利用直线与双曲线的位置关系，一步一个脚印运算，寻找探求TA，TB，TP，TQ它们的长度，在这个过程中紧扣这些方向和目标，按图索骥，注重算理和技巧——字母替换的作用，实现很好地减少运算量，最终突破解析几何运算的“障碍”.
3. 问渠那得清如许，为有源头活水来——解法的优化
【分析】通过上面解法的分析，可以发现上面解法中利用韦达定理代进去计算TA·TB比较繁琐，那我们能否“另辟蹊径”，能否找到更为“简捷”的计算方法？我们再来分析这个过程：TA·TB=（1+k21）（x1- ）（x2- ）=（1+k21）[x1x2- （x1+x2）+ ]= - （ ）+ = ，主要是由于这里直接代进去，利用韦达定理增加了计算量，我们注意到TA·TB=（1+k21）（x1- ）（x2- ）的结构，如果要避免直接用韦达定理，我们可考虑利用双根赋值法（在解析几何中，若直线与曲线相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），遇到求（x1-x2）2或（x1+t）（x2+t）的值，传统的方法是展开整理后再利用韦达定理求解，但该法迂回曲折，计算量大，可利用恒等式，整体代入，避开韦达定理，直接求解. 即：若x1，x2是一元二次方程f（x）=Ax2+Bx+C=0（A≠0）的两个根，则：①x1x2= f（0）;②（x1-x2）2= ;③（x1+t）（x2+t）= f（-t）. 证明过程略），直接令x= - ，可得TA·TB=（1+ ）（x1- ）（x2- ）= ，后面的解法同解析1. 同样我们要想在计算TA·TB“规避”韦达定理，我们对TA·TB=（1+k21）（x1- ）（x2- ）这个结构进行分析，可考虑对其进行部分构造，即将（x1- ）（x2- ）看作是（x- ）的一元二次方程的两根之积，因此可联立直线AB和C，即将曲线C化为：（x- ）2+（x- ）+ - =1，再联立直线AB方程与曲线C，化简整理可得：（1- ）（x- ）2+（1- ）（x- ）- =0，所以（x1- ）（x2- ）= ，后面的解法同解析1. 从上面的分析可知，主要是通过对TA·TB=（1+k21）（x1- ）（x2- ）的结构进行算理的简化，达到减少运算量的目的. 除此之外，我们还可以找到更为“简洁”的方法，吗？考虑到TA·TB的形式，联想到直线参数方程中参数t的几何意义和韦达定理，可考虑借助直线参数方程来达到减少运算量的目的，AB是直线与曲线C的交点，将直线AB的参数方程表示为x= +t cos ，y=n+t sin （t为参数）， 为直线AB的倾斜角，将直线代入双曲线方程整理可得（cos2 - ）t2+（cos - ）t- - =0，直线与双曲线交于A，B两点，设方程有两根t1，t2，则根据直线参数方程的几何意义可知TA·TB=t1·t2=t1t2= = ，同理可得TPTQ= ，其中 为直线PQ的倾斜角，由TA·TB=TP·TQ可得 = ，因此可得sin 2 -16 cos2 =sin 2 -16 cos2 ，即cos2 =cos2 . 又 ≠ ，所以可得cos =-cos ，即 + = ，tan =-tan ，所以tan +tan =0，所以直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0. 由此可见利用直线参数方程中参数的几何意义可减少运算量
解析2：（2）由题意可知，设T（ ，n），若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点. 设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB：y-n=k1（x- ），
因此联立y-n=k1（x- ），x2- =1，化简可得（16-k21）x2+（k21-2k1n）x- k21-n2+k1n-16=0，而x1，x2是方程的根，当16-k21≠0时，可得（16-k21）x2+（k21-2k1n）x- k21-n2+k1n-16=（16-k21）（x-x1）（x-x2），令x=- ，可得 （16-k21）+ （k21-2k1n）- k21-n2+k1n-16=（16-k21）（ -x1）（ -x2），化简得4- + -k1n- k21-n2+k1n-16=-n2-12=（16-k21）（ -x1）（ -x2），所以（ -x1）（ -x2）= ，由两点间距离可得
TA= = = = x1- ，TB=
= =
= x2- . 又由题意知x1≥1，x2≥1，所以TA·TB=（1+k21）（x1- ）（x2- ）= ，设PQ：y-n=k2（x- ），同理TP·TQ= ，∵TA·TB=TP·TQ，∴ = ，即1+ =1+ ，∴ -16= -16，即k21=k22，∵k1≠k2，∴k1+k2=0，所以直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
解析3： （2）由题意可知，设T（ ，n），若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点. 设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB：y-n=k1（x- ），由两点间距离可得
TA= = = x1- ，
TB= = = x2- . 又由题意知x1≥1，x2≥1，所以TA·TB=（1+k21）（x1- ）（x2- ），将双曲线C：x2- =1化为：（x- ）2+（x- ）+ - =1，再联立方程y-n=k1（x- ），（x- ）2+（x- ）+ - =1，化简整理可得：（1- ）（x- ）2+（1- ）（x- ）- =0，将（x1- ）（x2- ）看作是（x- ）的一元二次方程的两根之积，所以（x1- ）（x2- ）= = ，设PQ：y-n=k2（x- ），同理TP·TQ= ，∵TA·TB=TP·TQ，∴ = ，即1+ =1+ ，∴k21-16=k22-16，即k21=k22，∵k1≠k2，∴k1+k2=0，所以直線AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
解析4：（2）由题意可知，设T（ ，n），直线AB的倾斜角为 ，则直线AB的参数方程表示为x= +t cos ，y=n+t sin （t为参数），代入曲线x2- =1可得（ +t cos ）2- =1，化简整理得（cos 2 - ）t2+（cos - ）t- - =0，因此TA·TB=t1·t2=t1t2= = ，设其中直线PQ的倾斜角为 ，直线PQ的参数方程表示为x= +t cos ，y=n+t sin （t为参数），且 ≠ ，同理可得TP·TQ= ，由TA·TB=TP·TQ得 = ，因此得sin2 -16 cos2 =sin2 -16 cos2 ，即cos2 =cos2 . 又 ≠ ，所以得cos =-cos ，即 + = ，tan =-tan ，所以tan +tan =0，所以直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
【点评】上面的三种解法本质上是对减少联立直线与双曲线后的计算量，主要通过利用直线的参数方程或对“规避”直接利用韦达定理，通过对结构TA·TB=（1+k21）（x1- ）（x2- ）进行整体转化，从而达到减少运算量的目的. 其实我们还可以利用向量的办法（将TA·TB=TP·TQ转化为 · = · 来处理，之后类似于解析3的解法）来达到简化运算的技巧，同样在这里也可以利用二次曲线系数法（由TA·TB=TP·TQ得到割线A，B，P，Q四点共圆，从而得到k1+k2=0这个结论，解法过程略），这两个解法思路虽然清晰，但也需要掌握相关知识和扎实的功底才能使用，但不管怎样，掌握常规题型的通性通法，这才是高效备考的“上上之策”.
三、千淘万漉虽辛苦 吹尽黄沙始到金——别有洞天
通过上面的分析可知，我们要不断进行解法的优化，寻求最优“捷径”，但我们对此的研究不能只限于表面，要“执果索因、追本溯源”，寻找其“源”和“流”，将会发现另外一个“天地”——别有洞天，正如美国数学家波利亚所说：“好问题类似于采蘑菇，采到一个后还应四处看看，也许可以采到更多.”同样我们研究这道高考题，我们也要善于找“蘑菇”，要学会深入探索拓展. 根据题意，我们进一步探究：点T是否一定是要在定直线x= 上，满足TA·TB=TP·TQ才会有k1+k2=0？当将点T一般化，结论是否还会成立？经过探究可以发现：点T为（a，b）时，上述结论也都成立（设点为T（a，b），直线AB的倾斜角为 ，则直线AB的参数方程表示为x=a+t cos ，y=b+t sin （t为参数），代入曲线x2- =1可得（a+t cos ）2- =1，化简整理得（16cos2 -sin2 ）t2+（32 cos -2b sin ）t+16a2-b2-16=0.
因此，TA·TB=t1·t2=t1t2= ，设其中直线PQ的倾斜角为 ，同理可得TP·TQ= ，由TA·TB=TP·TQ得 = ，因此得16 cos 2 - sin2 =16 cos 2 - sin2 ，即cos 2 - sin2 ，又 ≠ ，所以得cos =-cos ，即 + = ，tan =-tan ，所以tan +tan =0，所以直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0）. 由此可见当将点T一般化，结论还会成立，既然对双曲线满足这个结论，那如果类比到椭圆是否成立？答案是肯定的，即已知椭圆方程C： + =1（a>b>0），点T（x0，y0）是椭圆外的任意一定点，过T的两条直线分别交椭圆方程C于A，B两点和P，Q两点，且TA·TB=TP·TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 通过探究也可以发现结论成立，证明方法和上面的证明“如出一辙”，都是借助直线的参数方程中参数的几何意义来求解.（具体过程如下： 设直线AB的倾斜角为 ，则直线AB的参数方程表示为x=x0+t cos ，y=y0+t sin （t为参数），代入椭圆方程 + =1化简整理得（b2 cos2 +a2 sin2 ）t2+2（b2x0 cos +a2 y0 sin ）t+b2x20+a2 y0-a2b2=0，因此TA·TB=t1·t2=t1t2= = ，設其中直线PQ的倾斜角为 ，同理可得TP·TQ= = ，由TA·TB=TP·TQ得 = ，即b2 cos2 +a2 sin2 =b2 cos2 +a2 sin2 ，化简得cos2 =cos2 ，所以可得tan +tan =0，因此直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.）同样，经过探究可以得：若点T（x0，y0）是椭圆内的任意一定点，过T的两条直线分别交椭圆方程C于A，B两点和P，Q两点，且满足TA·TB=TP·TQ，则直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和也为0（证明方法如上，过程略）. 回顾整个过程，追本溯源探究其问题背景，可发现这种通性通法源自于人教版教材选修4-4坐标系与参数方程第38页例4：如图2所示AB，CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P，两弦AB，CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2，
求证：PA·PB=PC·PD. 其实本题的解法和上面的解法“大同小异”（证明过程略），该例题是一道很好的“题根”，因为本例题的解法具有一般性，立足通性通法，同时本题还可以进一步探究和类比推广，把椭圆改为双曲线和抛物线，也有类似的结论. 同样探究可发现∠1=∠2时，即直线AB和CD的斜率互为相反数时，则四点A，B，C，D共圆，可得PA·PB=PC·PD这个结论，而当四点A，B，C，D共圆，有PA·PB=PC·PD成立时，也可以得出直线AB和CD的斜率互为相反数. 因此有结论：若两条直线与二次曲线ax2+by2+cx+dy+c=0（a≠ b）有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件时这两条直线的倾斜角互补. 懂得这个结论后，我们就可以利用这一充要条件来“秒杀”圆锥曲线上四点共圆的数学问题.
小试牛刀1.（2011年高考全国卷21题）已知O为坐标原点，F为椭圆C ∶ x2+ =1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为- 的直线l与C交于A，B两点，点P满足 + + =0. 设点P关于点O的对称点为Q，
证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
【分析】此问题证明的思路关键是证明∠APB，∠AQB互补. 通过证明这两个角的正切值互补即可，其实解决该类题型和上面的手法“殊途同归”.
解析：设A（x1，y1），B（x2，y2）直线l ∶ y=- x+1，联立y=- x+1，x2+ =1，化简4x2-2 x-1=0，因此x1+x2= ，x1x2= - ，所以tan∠APB= = = ，同理可得
tan∠APB= = =
= ，所以∠APB，∠AQB互补，因此A，P，B，Q四点在同一圆上.
小试牛刀2. （2016年四川卷文20题）已知椭圆E： + =1（a﹥b﹥0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三個顶点，点P（ ， ）在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程;（2）设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：MA·MB=MC·MD.
【分析】这类问题也是属于四点共圆的问题，只需要证KAB-KCD便可得证明.
解析：（1）椭圆E的方程是 +y2=1（过程略），（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），由A、B在椭圆上，所以 +y21=1， +y22=1，由点差法两式相减得 =-（y1+y2）（y1-y2），因此可得 =KAB= = = ，KCD= =- ，所以KAB+KCD=0，因此A，B，C，D四点在同一圆上，即MA·MB=MC·MD.
【点评】本题通过点差法和转化为四点共圆问题，“秒杀”了这两道高考题，大大减少了运算量，达到“异曲同工”之妙.
四、鸳鸯绣出凭君看，更把金针度与人
通过上面的深度分析与拓展，解决了直线与圆锥曲线中求定值的问题，思维过程经历了“犹抱琵琶半遮面”到“吹尽狂沙始到金”的过程，达到了“无限风光在险峰”的高度.综合来看，今年的解析几何高考题重视基础，突出对数学运算能力的考查，这也为我们以后的备考指明了方向：要在加强解析几何的算理和算法，注重运算能力的技巧上，同时还要注重解析几何的通性通法，要掌握解析几何典型题的拓展与延伸，要做到“鸳鸯绣出凭君看，更把金针度与人——找到其‘源与‘流”，把握住备考的“根”——落实通性通法，我们才可以做到居高临下觅悟出“备考之道”，因此我们要实现高考高效备考时要做好以下方面：
（1）切实回归基础是“正道”，注重通性通法为“上上策”
通过今年的高考题的题目分析可知：注重考查基本的知识，注重考查通性通法，因此在以后的备考中一定要重视基础知识，注重通性通法，但在现实的教学和训练中恰恰是大搞“题海”战术，盲目加大数学训练，往往忽视回归教材、对基本的通性通法的训练. 这种舍本逐末的做法导致了很多考生在今年高考吃了大亏，比如今年这道题目，其实是选自于选修4-4里第38页的例4的变式. 所谓的回归教材. 就是平时要懂得回归教材，对课本中的概念、定义、定理、法则、公式必须理解，在理解基础上记忆;要重视公式的正用、逆用和活用，重视定理的推导，要理清知识发生的本原（如公式的推导过程等），还要注意挖掘教学中的素材，引导考生研究、总结归纳，对于圆锥曲线的备考要抓住“三定”（定点、定值、定直线）问题，以联立直线与圆锥曲线为“抓手”，让学生学会用整体的观点将相关知识有机地串联起来，形成知识之间的有机联系，用结构性的观念整体把握内在联系. 总之，在备考中对于课本的基本概念、知识等要让学生知其然，还要其所以然. 另外复习时考生还要深入研究教材.以教材中的例、习题为素材，深入浅出、举一反三、加以推敲、延伸和适当变形，在备考中不追求解题中的所谓“特技”，不搞“偏题”、“怪题”. 将最基本的数学方法进行提升和巩固，突出思维能力和运算能力，及时引申拓展、培养归纳能力，这样考生在高考中才可以达到融会贯通、高屋建瓴的境界.
（2）强化数学运算能力，注重算理和算法
对于解析几何的大题，有很多题型，选择入手的解题方法或许也有很多种，但无论何时都突出考查学生的运算能力，要学会甄别解题方法的“优劣”. 因此我们在备考时，要抓住核心问题——运算能力的提升，要时刻注重强化数学运算，一步一个脚印，在进行计算的时候注重算理、算法和技巧，不断地在解题中渗透强化，长期不懈地加强数学运算的训练，只有这样，考生才可以提升数学运算能力，不再“畏惧”解析几何的运算，从而达到高效备考.
总之，我们在复习备考时要注意寻找知识的“源”和“流”，不能仅仅停留解决这道题，还要在解题后要多点思考：该题的算法有“优化“吗？这个问题能够推广吗？改变一下条件如何？改变一下结论又如何？……要学会知其所以然，何由知其所以然，要学会在解题中巩固对知识的理解，积累解题经验，强化运算能力，发现解题规律，掌握解题策略，形成解题意识，培养坚忍不拔、锲而不舍的意志品质，从而实现优效备考，最终笑傲2022年高考.
【本文系广东省教育科学规划重点课题——开展区域交流研训助力教师专业成长的实践研究（课题号：2020ZDJK047）和广东基础教育教研基地项目的研究成果】
责任编辑 徐国坚
