关于《高等数学》课程思政案例教学的探究——以“导数的应用”教学单元模块为例

王晓晨

辽宁铁道职业技术学院

导数是《高等数学》课程的重要教学内容，学生学习过程中虽然能够通过练习达到一般的解决计算问题的能力，但往往在本质理解与实际应用的联系中缺乏一定的逻辑认识。因此，关于导数内容的教学，可以通过典型的数形结合、数学建模、软件绘图等专业方面加以深度挖掘，同时融入课程思政元素，例如劳动教育、辩证统一规律、量变质变规律等。就导数的几何意义、函数单调性的判定、函数最值的应用、曲线凹凸性的判定这四个导数应用内容进行案例教学设计，从专业学习、课程思政育人、教学创新应用等角度加以分析，助力教学过程更好地开展。

一、曲线的切线

（一）案例：设函数f(x)=x2-1，求该函数在点(2,3)处的切线方程。

【知识点分析】

导数的几何意义，点斜式直线方程公式。

【答案解析】

解：求导得，f'(x)=2x

由导数的几何意义知：

函数在点(2,3)处的切线斜率得，k= 2x|x=2=4

则代入点斜式直线方程公式，整理得，切线方程为：

（二）课程思政切入点探析

本案例属于导数几何意义的理解及应用，要求学生具备求导计算的能力，通过这类曲线的切线方程的类型题，注重培养学生理论联系实际的能力，同时要掌握的关键点是：当所求题目当中的点是函数图像上面的点时，才满足该点处的导数为切线斜率。

（三）教学技能创新导入点

为了增强学生的劳动精神，可以让学生课后自主研究如何使用数学软件《MATLAB》绘制出函数的图像以及切线图像，通过小组合作的方式，可以举一反三，编辑相似题目进行习题练习，对于简单函数的图像，可以在纸上进行描绘，体现了美育教育与劳动教育相结合的作用。

（四）课外探究与提升

求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程和法线方程。

提示：平面内切线与法线的斜率关系。

二、函数的单调性与极值

（一）案例：求函数y=ex2的单调性和极值。

【知识点分析】

复合函数的求导问题，函数单调性的判定条件，函数极值的求解步骤。

【答案解析】

解：函数y=ex2的定义域为：(-∞,+∞)

计算复合函数y=ex2的导数得，y'=2xex2

令y'=0，解得驻点x=0

由于ex2＞0，则令y'＞0，解得函数的单调递增区间：(0,+∞)

令y'＜0，解得函数的单调递减区间：(-∞,0)

且x=0是函数的极小值点，极小值是f(0)=1

函数y=ex2无极大值。

（二）课程思政切入点探析

本案例属于导数的应用（即利用函数导数的符号关系来判定原函数的单调性的问题），要求学生掌握定理的本质，同时具备抽象的数学理解分析能力，明确事物间的逻辑关系，培养学生独立思考、探索钻研的科学精神。

（三）教学技能创新导入点

通过介绍“天问一号”火星探测器升空发射飞向火星过程中的轨道运行情况，让学生了解我国航空航天事业的领先科学技术进一步增强爱国情怀和文化自信，并且引导学生计算出平面内曲线轨道函数的单调性与极值的问题。

（四）课外探究与提升

求函数y=2x3-3x2-12x+2的单调区间与极值。

三、函数最值的应用

（一）案例1：用一块边长为60厘米的正方形铁皮，按照将四角分别截去面积相等的小正方形，然后折成一个无盖的铁盒，请问：当截去的小正方形的边长为何值时，所得到的铁盒的容积为最大？

【知识点分析】

求函数的最大值，数学建模构造函数式，柱体的体积公式。

【答案解析】

解：设截去的小正方形的边长为x厘米，则折成的无盖铁盒的体积为V立方厘米。根据题意分析可知，该铁盒的底面正方形边长为(60-2x)厘米，高为x厘米，因此根据柱体的体积公式可得：

求导整理得：

令V'=0，解得唯一驻点：x=10

因此，当x=10时，函数取得最大值：V(10)=16000(cm3)=0.016(m3)

答：当截去的小正方形的边长为10厘米时，所得到的铁盒的容积最大，最大容积为0.016立方米。

注意：实际问题当中，可以灵活运用单位间的换算关系，便于使结果简化。

（二）案例2：要用铁皮做一个容积为16πm3的带盖圆柱形桶，问圆桶的底半径为何值时用料最省？

【知识点分析】

求函数的最小值，数学建模构造函数式，柱体的表面积公式。

【答案解析】

解：设所做圆桶的底面半径为r，表面积为S，高为h，容积为V。

根据题意，V=πr2h=16π，则得

圆桶用料即圆桶的表面积（上下两个底圆面积与侧面积之和）：

因此，当底面半径为2 m时，圆柱体的表面积最小。

答：当圆桶的底面半径为2 m时用料最省，此时圆桶的高为4 m，最省用料为24π m2。

（三）课程思政切入点探析

这两个案例涉及数学建模的应用意识，需要学生具备理解题目、分析题意、转化数学问题的综合应用能力，在思考问题过程中，体现了学习由浅入深、化繁为简的对立统一规律，强化学生逻辑抽象思维能力及导数的应用计算能力。

（四）教学技能创新导入点

让学生以小组合作学习的方式，对这两个案例进行讨论式学习，指引学生可以通过动手画图的方式分析问题，也可以制作纸板模型直接观察理解，课后可以思考使用计算机编程进行函数最值的求解，通过这种创新的学习方式，启发学生思考的兴趣和主动学习的意识。

（五）课外探究与提升

想要制作一定容量的正圆锥形容器，容器的高与底面半径比例如何，所需材料最少？

提示：圆锥体体积公式，圆锥体表面积公式。

四、曲线的凹凸性与拐点

（一）案例：求曲线f(x)=x^4-2x^3+x+1的凹凸性和拐点。

【知识点分析】

计算二阶导数，求导法则，曲线凹凸性的判定条件，曲线拐点的计算方法，一元二次不等式的解法。

【答案解析】

解：函数f(x)=x4-2x3+x+1的定义域为：(-∞,+∞)

求导得：f'(x)=4x3-6x2+1

求二阶导数得：f'' (x)=12x2-12x=12x(x-1)

令f'' (x)＞0，得曲线的凹区间是(-∞,0)和(1,+∞)

令f'' (x)＜0，得曲线的凸区间是(0,1)

令f'' (x)=0，解得x=0或x=1

根据拐点的定义，可知曲线有两个拐点：点(0,1)和点(1,1)。

注意：计算中每步都需要检查，尤其注意根据二阶导数符号来判定原函数的凹凸性。

（二）课程思政切入点探析

曲线的凹凸性根据文字的音译与象形的关系非常直观易于理解，对于定理的学习同样可以联想“凹凸”图像的方式加以生动传神的理解记忆。对比凹凸性，可以升华为学习之路有如逆水行舟不进则退，求学攀登之路虽为艰难险阻，确是无限风光在险峰，但切忌骄傲自满，要不断学习。

（三）教学技能创新导入点

小组任务项目单：完成曲线图像的绘制。要求学生进行团队合作分工，任务一是完成项目分工明细责任清单（即注明任务的工作分解与责任人），任务二是具体完成人的工作任务详细表（即具体的计算过程），任务三是选派小组代表进行项目完成的总结汇报（即任务完成情况的总结）。通过具体任务的解决，锻炼了学生应用数学知识解决实际问题的能力，同时也增加了小组团队合作的互助精神，提升了学生的交流沟通表达能力。

（四）课外探究与提升

求曲线y=xe^2x的凹凸区间与拐点。

高职院校的《高等数学》课程的教学改革应与课程思政同向同行，体现专业与道德品质的双育人模式，通过数学史的案例导入、数学建模意识的案例融入、数学软件的案例创新等形式，让学生增添了学习的兴趣、乐趣、积极性、主动性，充分体验到数学之史、数学之美、数学之思，对于教师而言，在教学研究过程当中，也是收货颇丰，有助于深入挖掘知识点中所蕴含的本质原理，从而实现教研与科研的双向互动提升，对于基础学科的知识体系要不断钻研，求真务实，给学生树立正确的科学技术攀登精神，让学生懂得科技创新的重要性，坚定学生刻苦学习的意志品质。