形式三角矩阵环的P 1-内射性和P 1-内射维数

谢 晋， 王芳贵

（1.绵阳师范学院 数理学院，四川 绵阳621000； 2.四川师范大学 数学科学学院，四川 成都610066）

1 预备知识

恒设环是有单位元的结合环，所有的模均指右模.用MR表示所有右R-模所构成的模类.用pdRM和fdRM分别表示模M的投射维数和平坦维数.

1976年，Goodearl［1］研究环理论时正式提出形式三角矩阵环的概念，并对其基本性质作出刻画.设A、B为有单位元的结合环，BMA为左B右A的双模.令

2 形式三角矩阵环上的P 1-内射模

先刻画形式三角矩阵环T上投射维数小于等于1的模.

引理2.1设（X，Y）f∈MT，则pdT（X，Y）f≤1当且仅当pdA（X/f（Y⊗M））≤1，pdB Y≤1，且（X，Y）f的第1个合冲（K1，K′1）k1中的k1为单射.

证明由文献［11］的定理3.1，取n=1即得.

引理2.2［19］对任何右T-模同态ψ=：（α，β）：（X，Y）f→（U，V）g，下述成立：

1）Ker（ψ）=（Kerα，Kerβ）f，

2）Im（ψ）=（Imα，Imβ）g，

3）Cok（ψ）=（Cokα，Cokβ）¯g.

1）（X，0）0∈P1当且仅当XA∈P1；

2）若M为平坦的左B-模，则（Y⊗M，Y）1Y⊗M∈P1当且仅当YB∈P1.

证明1）必要性 显然.反之，设XA∈P1，则存在右A-模正合序列：0→P1→P0→XA→0，其中P0、P1为投射右A-模.从而有T-模正合序列：0→（P1，0）0→（P0，0）0→（XA，0）0→0，且（P0，0），（P1，0）为投射的T-模，故pdT（XA，0）0≤1.

2）必要性 显然.反之，设YB∈P1，则有YB的投射分解：0→P′1→P′0→YB→0，故由引理2.2以及M的平坦性，可得（Y⊗M，Y）1Y⊗M的投射分解：

即（Y⊗M，Y）1Y⊗M∈P1.

3 形式三角矩阵环上的P 1-内射维数