3 阶三角矩阵环上的Gorenstein 投射模及其维数

杨 瑞，王 淼，王占平

(西北师范大学 数学与统计学院，甘肃 兰州 730070)

1969 年，Auslander 等[1]研究了双边Noether 环是上G-维数为0 的有限生成模.1993—1995 年，Enochs等[2-3]定义了任意环R上 的Gorenstein 投射模、Gorenstein 内射模和Gorenstein 平坦模.2009 年，陈小松等[4]研究了Neother 整环上的复合Groebner 基.设A，B是环，U是 (B，A)-双模，是2 阶三角矩阵环.当T是Artin 代数时，2012—2013 年，Xiong 等[5-6]讨论了在什么条件下T是Gorenstein 代数，并对Gorenstein 投射左T-模进行了研究.2014 年，Enoches 等[7]引入了Gorenstein 正则环，并在这个环上给出了左T-模是Gorenstein 投射(内射)模的充要条件.2011 年，Enoches 等[8]对n阶三角矩阵环的同调性质进行了研究.2015 年，朱荣民等[9]在Gorenstein 正则环的条件下，研究了n阶三角矩阵环的Gorenstein 投射模及其维数.2016，朱荣民等[10]进一步研究了三角矩阵环T上模的Gorenstein 同调维数.2020 年，Li 等[11]在较弱条件下，给出了T-模是Gorenstein 投射模的充要条件.

受文献[9]结论的启发，本文主要研究3 阶三角矩阵环上的Gorenstein 投射模及其维数.在较弱条件下，得到了一个模是3 阶三角矩阵环上的Gorenstein 投射模的等价刻画，并研究了3 阶三角矩阵环上模的Gorenstein 投射维数.

本文提到的环均指有单位元的结合环，模指酉模.设R是环，我们用R-Mod(Mod-R)表示左(右)R-模范畴，P(R)表示所有投射左R-模构成的类.pdRM，idRM，GpdRM和fdMR分别表示左R-模M的投射维数、内射维数、Gorenstein 投射维数和右R-模M的平坦维数.

根据文献[8]定义1.1，设Ai(i=1,2,3)均是环，对每个1≤j

T按矩阵的加法和乘法做成环，称为3 阶三角矩阵环.

设T是3 阶三角矩阵环.我们总假设U32⊗A2U21≅U31.

首先回顾Gorenstein 投射模的定义.

定义 1[12]称左R-模M是Gorenstein 投射模，如果存在投射左R-模的正合列

定义 2[12]设M是左R-模.M的Gorenstein 投射维数GpdRM=inf{n∈N|存在R-模正合列0 →Gn→···→G1→G0→M→0，其中Gi是Gorenstein 投射R-模，i=1,2,···,n}.若这样的n不存在，则令GpdRM=∞.

定义 3[13]设···是M的投射分解.令K0=M,Ki=cokerdi+1,i=1,2,···.称Ki是M的第i个合冲.

下面给出几个引理，主要用于刻画3 阶三角矩阵环上的Gorenstein 投射模.

引理 1[11]对任意环R，以下成立：

(1) 设 X•是正合序列，每个Xi∈P(R),M∈R−Mod.若idRM<∞，则HomR(X•,M)正合.设 X•是完全投射分解.若pdRM<∞，则HomR(X•,M)正合.

(2) 设 X•是正合序列，每个Xi∈P(R),M∈R−Mod.若fdMR<∞，则M⊗RX•正合.

显然，函子 pi保持投射对象.在文献[9]中，作者证明了：在左Gorenstein 环上，函子 pi保持Gorenstein 投射对象.下面我们在更弱的条件下，即一般环上，得到了3 阶三角矩阵环上的类似结论.

命题 1设T是3 阶三角矩阵环.Uij(1 ≤j

因为pdU21<∞，所以U21⊗A1X1同构于U21的拷贝直和的直和项，于是U21⊗A1X1投射维数有限.设pd(U21⊗A1X1)=m，则有左A2-模的正合列

文献[9]中，作者在Gorenstein 正则环的条件下，给出了Gorenstein 投射左T-模的等价刻画，以及Gorenstein 投射维数的刻画.下面我们在较弱的条件下，即一般环上，给出3 阶三角矩阵环上类似的刻画.

每个复形Fj⊗Aiqi(P•)(0 ≤j≤m)零调，由文献[13]定理6.3 得Uki⊗Aiqi(P•)零调.考虑交换图

证明(1)⇒(2)因为GpdM≤m，所以有正合列