环Fq+v Fq上线性码的重量计数器

齐 薇， 廖群英

（四川师范大学 数学科学学院，四川 成都610066）

众所周知，纠错码在增强信息传输可靠性方面起着非常重要的作用，它可以用来检测和纠正信息传输中的错误［1］.线性码是一类具有良好代数结构的纠错码［2-3］，线性码的重量分布是检测译码错误的重要指标，重量计数器是研究线性码的重量分布的一种有力工具.

1977年，MacWilliams等［4］对有限域上码的各种重量计数器及其关系进行了较为系统的阐述.自此之后，许多学者将研究兴趣从有限域转移到有限环.2012年，田园等［5］定义了环

上线性码的t-Lee重量计数器，给出了该环上线性码的t-Lee重量计数器的MacWilliams恒等式.2014年，许和乾等［6］定义了环

上线性码的对称重量计数器，并且建立了该环上线性码的Hamming重量计数器和Lee重量计数器的MacWilliams恒等式.2017年，Chen等［7］定义了环

上的线性码，研究了一些重量计数器并获得了这些重量计数器之间的关系，其中p是素数.关于线性码重量计数器的更多研究成果参见文献［8-14］.

本文定义了R上线性码C的长度重量计数器，得到线性码C的Lee重量计数器和Hamming重量计数器均可由长度重量计数器表示.

1 R上线性码的基本性质

设交换环

其中，p是素数，m为正整数.Rn的非空子集C称为是R上码长为n的码；若C是R-子模，则称C为R上的线性码.设C1、C2是R上码长为n的线性码，则

也是R上码长为n的线性码，称C1+C2为C的分解.进而，若

文献［15］中给出了R上的线性码C与Fq上线性码C1-v，Cv是相互唯一确定的，即如下引理.

引理1.1［15］设C为R上码长为n的码，C1-v、Cv如上给出，则：

1）C是R上的线性码，当且仅当C1-v、Cv是Fq上的线性码，且C=vC1-v+（1-v）Cv.

2）设C是R上的线性码，则

且分解唯一.

为建立R上的线性码和Fq上线性码之间的联系，下面给出Gray映射和R上对偶码、自正交线性码、自对偶线性码及LCD线性码的定义.

定义1.2定义Rn到F2nq的Gray映射为

进而，若x◦y=0，则称x、y正交.

2）R上码长为n的线性码C的对偶码C⊥定义为

若C⊆C⊥，则称C为自正交线性码；若C=C⊥，则称C为自对偶线性码；若C∩C⊥=0，则称C为LCD线性码.

因C为R上码长为n的线性码，故不妨设

另一方面，由Φ是双射可知

推论1.5设C是R上码长为n的自正交（自对偶，LCD）线性码，则Φ（C）也是Fq上码长为2n的自正交（自对偶，LCD）线性码.

证明由Φ的定义易证Φ（C）是Fq上长为2n的码.再由C⊆C⊥知

于是，由命题1.4可得

从而Φ（C）是Fq上长度为2n的自正交线性码.其他情形可类似证明.

2 R上线性码的重量计数器

在编码理论以及工程实现中，线性码的重量计数器是一个重要的参数，它是检测译码错误概率的主要依据.迄今为止，最受关注的是Lee重量计数器和Hamming重量计数器.然而，由这2个重量计数器不容易得到有关线性码的直和分解，由此引入长度重量计数器的概念.下面首先给出R上线性码的Lee重量及一些重量计数器的定义.

定义2.1设C是R上码长为n的线性码.

1）对r=x+vy∈R，定义r的Lee重量为

3）对任意c′，c″∈Rn，定义c′与c″的Lee距离为dL（c′，c″）=wL（c′-c″）；

4）环R上码C的最小Lee距离定义为

由此定义可知，Rn中任意向量的Lee重量值取自集合｛0，1，…，2n｝，从而引进重量计数器的概念.

定义2.2设C是R上码长为n的线性码.

1）对任意i=0，1，…，2n，记Li为C中Lee重量为i的码字个数，称集合｛L0，L1，…，L2n｝为码C的Lee重量分布.码C的Lee重量计数器定义为

3）对任意i=0，1，…，n，记Hi是C中Hamming重量为i的码字个数.称集合｛H0，H1，…，Hn｝为码C的Hamming重量分布.码C的Hamming重量计数器定义为

由上述定义可得

根据文献［4］，记dH为码C的Hamming距离.

引理2.3设Φ为Rn到F2nq的Gray映射，则：

1）对任意z∈Rn，有wL（z）=wH（Φ（z））；

2）Φ是（Rn，dL）到（F2nq，dH）的保距同构映射.

证明1）根据定义2.1可得.

2）容易证明Φ是Fq-线性同构.进而，对任意x，y∈Rn，有

即Φ是保距映射.

下面的定理2.4表明R上线性码C的对称重量计数器可以用来表示Lee重量计数器和Hamming重量计数器.

定理2.4设C是R上码长为n的线性码，则

1）LeeC（X，Y）=SweC（X2，XY，Y2）；

2）HamC（X，Y）=SweC（X，Y，Y）；

3）LeeC（X，Y）=HamΦ（C）（X，Y）.

证明只需证明1）、2）和3）类似可得.由定义2.2的1）和2）可知

由定理1.1可知，R上线性码C的直和分解形式为C=vC1-v⊕（1-v）Cv.为了建立R上线性码C、vC1-v和（1-v）Cv三者重量计数器的联系，下面定义一种新的重量计数器.

定义2.5R上码长为n的线性码C的长度重量计数器定义为

由定义2.1可知，对任意r∈R，wL（r）的值取自集合S=｛0，1，2｝.对任意

下面的引理2.6表明R上线性码C的对称重量计数器也可由长度重量计数器表示.由命题2.4，对称重量计数器可以表示出Lee重量计数器和Hamming重量计数器.从而，Lee重量计数器和Hamming重量计数器均可由长度重量计数器表示出来.

引理2.6设C是R上码长为n的线性码，则Ω（LweC（X0，X1，…，Xn-1））=SweC（X0，X1，X2）.

证明 由长度重量计数器和对称重量计数器的定义及（3）式，可得

引理2.7设C=vC1-v⊕（1-v）Cv是R上码长为n的线性码，则

证明设c=（c0，c1，…，cn-1）=a+b∈C，其中

下面对码长l进行归纳.

1）当l=1时，由c=a+b∈C，其中

则由（1）和（5）式可知