高考数学平面向量问题的解题策略

陈军

摘要：在高中数学中，平面向量模块知识内容并不多，但所体现的数学思想与方法却意义深刻，耐人寻味。在高考试题中，既可出简单题，又可出中高档题。一旦为中高档题，会让不少考生所费解。平面向量结合的知识较广，如不等式、平面几何、代数，也可与三角函数、导数、数列等融合。故我们常称它是一种有力的工具，是沟通代数与几何的重要桥梁。为此，本文将着重探究如何在高考数学中如何处理好平面向量的相关问题，促进学生思维发展。

关键词：平面向量;坐标法策略;几何化策略;极化恒等式

引言：

近几年高考题中，平面向量的综合问题深受命题人的青睐，其考察难度有所增加。如何才能让学生在短时间找到问题的最佳思路，如何让学生灵活使用各项策略，这需要广大高中教师在日常教学中刻意训练学生的解题策略，使学生在这类问题前从容不迫，自信解题。

下面，我以一道2018年天津高考题的多种解法来引入平面向量问题的多种策略。

故此时，简直一个字“妙”啊。

综合看这一题高考题，采用不同策略，其计算过程的繁杂性不一样，分别体现了不同的数学思想，因而数学思想在高中教学中的渗透至关重要。下面就高考数学中平面向量问题的常见解题策略列举如下：

一、策略一：坐标化策略

坐标是向量代数化的一种表达形式，可以利用向量的坐标进行向量的各种运算，也可以体现共线等位置关系。所以向量坐标化就是将几何图形问题代数化的过程。对于求解：如向量的运算，求参数值，向量中的最值或范围等这些问题，坐标化后便迎刃而解，或转化为代数中的常見问题。见几题：

（一）坐标化策略可以解决最值或范围问题

此题建立平面直角坐标系，重点在于计算B点坐标，此环节中又结合了解三角形求边长知识。

二、策略二：几何化第略

向量可以用有向线段表示，向量的相关运算也可以用图形语言描述。对于向量问题，我们可以借助于图形直观化的特点帮助我们破解解题疑点。比如说，向量的加减图形表示，模长问题，夹角问题等。将所涉及的题设条件的几何意义与图形相关联，然后进行解题。

（一）数量积中投影长度问题

例3：（2020山东），已知P是边长为2的正六边形ABCDEF下内的一点，则范围为

掌握好数量积中投影的几何意义能建解，比坐标法后求范围取值问题更加速解。

（二）模长问题的几何化

例4.已知，为平面内两个相互垂直的单位向量，若向量满足，求最大值。

解析：本题做法很多，既可以坐标化，也可以直接去括号转换为关于夹角的函数问题。

那么.，数量积为0想到向量的垂直关系，如图∵∠BCA=90°，连接BA，故动点C是在以AB中点，Q为圆心的圆上，半径，求最大值，故.直径所对应的弦长最长。

此题关键是挖掘垂直关系，直径所对应的圆周角为90°。

三、策略三.基底化策略

平面向量基本定理是一项重要的解题依据。定理规定了平面上任何一个向量总是可以由两个不共线的向量（基底）线性表示。日常教学中，很多学生只会去机械刷题，而不热衷于挖掘数学定理与定义中所蕴含的一些本质内容：积极培养基底化思想解决平面向量问题，势必可以促进学生数学思维的发展，顺着走，我们使用基本定理，将未知向量用已知向量表示。逆着走，已知向量表示未知向量，求参数值问题就有简单化了。应用平面向量基本底表示向量的实质是平行四边形或三角形法则进行向量的加法，减法或数乘运算，在此，产生了三点共线问题的结论。如图：△ABC中，B，Q，C三点共线，若，那如何用、线性表示呢？

四、策略四：谈谈极化恒等式的妙用

结束语

平面向量兼具代数与几何两种形式，两种形式并不是独立分割的，而是相互促进转化的，很好的体现了数形结合思想，转化与化归思想。使用坐标化策略，将求解问题代数化，向量运算变成代数运算，可用于求值，求范围或最值问题。几何化策略，需要充分将已知条件转化为几何语言，如：长度，夹角，轨迹，投影。借助几何直观将问题化解。基底化策略，实现了未知向已知的转化，选择合适的基底很重要。极化恒等式是广义平方差的推导公式，遇到数量积问题可以考虑使用其进行优解。不同的策略均可发展学生思维，领悟数学思想。广大教师应该教会学生对不同策略的思想方法进行领悟，不同问题可能选择的策略不一，其解题过程的复杂性也不一，广大考生也应该灵活处理。希望本文能够给广大教师，读者带来启示，若文中有不当之处，还请批评指正！

参考文献：

[1]温雅.高中平面向量教学现状分析及对策研究[D].华中师范大学，2015

[2]刁肖俊.高中平面向量问题处理的策略[D].试题研究，2015

[3]郭建明.浅析高中数学教学之平面向量[J].数学学习与研究，2019