基于直观想象核心素养视角下多面体的外接球解题策略

陶昌熙

摘 要：近几年高考（全国卷）对直观想象核心素养的考查主要体现在立体几何中空间想象能力的考查。其中多面体的外接球问题是高考数学试卷经常出现的题型，主要以选择题形式呈现。如何解决此类问题是学生面临的一道难关。本文将通过直接法、补形法、构造法，对如何处理多面体的外接球问题进行阐述。

关键词：直接;补形;构造

多面体的外接球问题包含多面体和外接球两个内容。高考题主要以两类问题考查。学生应该掌握多面体的相关知识，以及外接球的知识。下面结合例子谈谈几类多面体的外接球解题策略。

一、直接法

直接法即利用球的定义直接找出球心。直接找出球心的必備知识：球的定义。球就是在空间中与定点的距离等于定长的点的轨迹。此类问题关键是找到球心，那么如何找到球心呢？利用定性关系或定量计算找到一个定点到多面体各个顶点的距离相等，那么该定点就是球心;球心找到后再利用多面体的知识求出球的半径。

二、补形法

补形法就是把球心不易找到的多面体补成长方体或直棱柱。学生可以利用长方体的球心在体对角线的中点上或者直棱柱的球心在上下两个面的外接圆圆心连线的中点上找到球心。

三、构造法

构造法就是利用球心与截面圆心的连线垂直于截面的定理或者能够找到两条这样的垂线就可以确定球心，然后构造直角梯形或直角三角形转换成代数计算求出球的半径。

（一）侧棱相等但不互相垂直的棱锥

根据侧棱相等可以证明顶点与底面外接圆圆心的连线垂直于底面。可以判断球心一定在该垂线上。然后构造直角三角形转换成代数关系，从而求出球的半径。

例4.已知三棱锥P-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，PA=PB=PC=2，则三棱锥的外接球的表面积为.

试题分析：本题以三棱锥为载体，考查解三角形和外接球问题，考查学生空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力和化归转化能力以及直观想象核心素养。

如上图，在以AB为斜边的等腰直角三角形中，外接圆半径r=O1C=1;在中，PC=2，O1C=1，根据勾股定理可得。设球的半径为R，在中，，OC=R，O1C=1，根据勾股定理可得，因此得到，解得。故三棱锥的外接球的表面积为。

（二）含有侧面垂直于底面（不含侧棱垂直于底面）的棱锥

该类问题主要以侧面和底面是特殊三角形呈现。该类问题的求解难点在于确定球心位置，确定球心时需要分别取两相互垂直的面的过外心的垂线，球心位于两垂线的交点处，然后构造直角梯形或直角三角形转换成代数关系，，其中OO1为球心到底面距离、OE为球心到侧面的高的距离，从而求出球的半径。下面以两道典例说明。

①侧面和底面是有一个特殊三角形（等边或直角）

例5.在三棱锥M-ABC中，面MAB⊥面ABC，三角形ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形且AB=4，三角形MAB中，，求该几何体外接球半径。

试题分析：本题以三棱锥为载体，考查解三角形和外接球问题，考查学生空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力和化归转化能力以及直观想象核心素养。

设AB中点O1，球心为O，在△MAB中，过M作垂直于AB于D。根据面MAB⊥面ABC可得MD⊥平面ABC，在△MAB中，根据正余弦定理和等面积法可得MD=2，O1D=1。在等腰直角三角形ABC中，外接圆半径r=O1C=2。在直角梯形MDO1O中，可得。在中，，解得，从而。

②侧面和底面都是特殊三角形（等边或直角）

例6.在三棱锥M-ABC中，面MAB⊥面ABC，三角形ABC和三角形MAB均为等边三角形，且AB=3，求该几何体外接球半径。

试题分析：本题以三棱锥为载体，考查解三角形和外接球问题，考查学生空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力和化归转化能力以及直观想象核心素养。

设△ABC和△MAB的球心分别为O1，O2，取AB中点E，球心设为O，则OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面MAB，从而四边形OO1EO2是矩形，可得：OO1=O2E，在三角形OO1C中结合勾股定理即可求解。

由题可得：，设△ABC的外接圆半径为r，，因此。在中，设外接球的半径为R，，所以。

推广：若两个三角形都是一般三角形，则可构造两个直角梯形，利用两个代数关系（其中OO1为球心到底面距离、OE为球心到侧面的高的距离），解方程求出球的半径。

本文力求在求解多面体的外接球问题上，引导学生根据题设给出的条件化归转化为熟悉的几类常见模型，快速求出答案，从而提升学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力和化归转化能力，培养学生的直观想象核心素养，期望能够帮助学生更好掌握该部分知识，从而帮助学生提高高考数学成绩。

参考文献

[1]李昭辉，童新安《可补形为长方体计算的棱锥外接球问题》，《中学数学研究》2017年第11期（上）

[2]中华人民共和国教育部制定《普通高中数学课程标准（2017年版）》，人民教育出版社，2018.1