关于高考中立体几何解答题的思考

何文

摘 要：立体几何是高考的必考知识点。其中立体几何解答题占12分的分值，难度中等。如何使学生在高考中灵活运用所学尽快找到解答题的解题思路，争取得全分，是教学的重要内容。本文回顾近三年高考中立体几何解答题，结合自身教学经验，谈谈自己的一些想法，以供参考。

关键词：高考;立体几何;解答题;思考

数学高考试卷中解答题占据半壁江山，解题中不仅要求学生尽快找到解题思路，而且还需详细的书写出解题过程。其中立体几何解答题解题较为灵活，既可以运用立体几何角度进行求解，也可运用空间向量知识求解。但根据学生做题反馈得知一些学生在解题中仍不能得全分，鉴于此有必要对高考中立体几何解答题进行汇总，总结出相关的规律，给学生的复习备考活动带来针对性指引。

一、高考立体几何解答题回顾

（一）2018年全国一卷数学立体几何解答题

如图1，四边形ABCD为正方形，E、F分别为AD、CB的中点，以DF为折痕把DFC折起，使C点达点P的位置，且PF⊥BF。

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD;

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值。

（二）2019年全国一卷数学立体几何解答题

如图2，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E、M、N分是BC、BB1、A1D的中点。

（1）证明：MN∥平面C1DE;

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值。

（三）2020年全国一卷数学立体几何解答题

如图3，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=DO。

（1）证明：PA⊥平面PBC;

（2）求二面角B-PC-E的余弦值。

二、高考立体几何解答题分析

（一）考点分析

2018年-2020年三年的全国一卷数学高考试题中立体几何解答题均出现在第18题，均包括两个小问，属于中档题目。其中2018年的全国一卷立体几何考查的知识点为面面垂直、线面角;2019年的全国一卷立体几何考查的知识点为线面平行、二面角;2020年的全国一卷立体几何考查的知识点为线面垂直、二面角;三年的立体几何解答题几乎涵盖了所有的立体几何部分的考点。从出题情境来看，2018年全国一卷以图形的翻折为背景考查学生对平面、空间图形的认识以及理解深度，学生只有搞清楚平面与立体图形点、线、面的关系，才能更好找到解题思路。2019年全国一卷以直棱柱为背景，较为常规，学生只要牢固掌握所学的基础知识不难作答。2020年全国一卷以棱锥为背景进行设问，涉及圆以及圆的内接正三角形。

总的来看，近三年的高考试卷中立体几何解答题创设的情境均是学生较为熟悉的情境，考查的均是立体几何部分的基础以及重点知识，难度适中。

（二）解题思路分析

从立体几何解答题的解题思路来看，官方公布的答案中两个小问，第一个小问运用立体几何知识求解，第二问则运用空间向量方法求解。从这一点来看，无疑给学生解答相关习题指明了方向，即，遇到难度不大的证明题时可采用常规思路求解。遇到难度稍大的问题时可考虑使用空间向量知识将几何问题转化为代数问题通过向量的坐标运算进行解答。如2020年全国一卷立体几何解答题的解题过程如下：

三、高考中立体几何解答题的思考

通过分析近三年高考中立体几何解答题习题考查的知识点、命题背景、解题思路认为，为更好的提高学生的解题能力，使其在高考中都能得全分，考取理想的分值，在以后的教学以及备考工作中应注重以下内容的落实：

（一）脚踏实地，夯实基础

通过上文分析可知，高考中立体几何解答题不仅考查的知识点较为基础，而且创设的情境并不复杂，因此，在以后的教学中应灵活应用多种教学方法深化学生理解，引导学生打牢基础，苦练基本功。一方面，讲解点、线、面、体知识时既要引导学生认真学习教材内容，在头脑中多问为什么，搞清楚知识的来龙去脉，又要注重引导学生积极联系生活情境，降低学生陌生感，激发学生学习兴趣的同时，在其头脑中建立清晰的立体几何图形模型。另一方面，在讲解相关的判定定理时，注重运用多媒体技术展示直观的立体结合图形，帮助学生记忆的同时，使其更好的理解，掌握各判定定理之间的区别与联系。另外，完成立体几何基础知识学习后，要求其注重运用思维导图将学习的知识点串联、整合起来，构建系统的知识网络。

（二）精讲例题，总结思路

立体几何解答题教学中，为使学生更好的掌握解题思路，一方面，做好例题的筛选与精讲，即，结合自身教学经验选择代表性较强的例题。在课堂上讲解例题时既要注重与学生互动，又要给学生留下一定的思考时间，尤其组织学生开展一题多解活动。如针对某一例题可先为学生讲解运用立体几何知识解题的思路，而后要求学生运用向量方法进行解答，拓展学生的解题思维。另一方面，引导学生养成善于总结的良好习惯，即，对常见的立体几何解答题题型进行汇总，认真分析不同题型特点，总结相关的解题思路，把握不同解题思路的注意事项，在以后的解题中能够迅速破题。如运用向量法求解异面直线所成的角时应注意角的取值范围为（0，）、直线和平面所成角的范围为[0，]、二面角的取值范围为[0，π]。另外，在学习中引导学生相互交流立体几何解答题解题心得，相互分享解题技巧，不断学习他人长处。

（三）注重训练，提升能力

立体几何解答教学中，为提高学生的解题能力应注重组织学生开展训练活动。一方面，立体几何解答题类型较多，应结合学生学习实际做好训练习题的筛选，围绕不同题型组织学生开展专题训练活动。如认真收集近年来各省份立体几何解答题，围绕高考真题开展训练活动。同时，为提高学生训练的积极性，训练中可要求学生相互比赛，看哪位学生在规定的时间内最先找到解题思路，得出正确结果，及时提出表扬，提高学生的训练体验。另一方面，为获得预期的训练效果，应引导学生做好训练后的反思。反思解答立体几何解答题存在的问题，尤其反思做错的题目，找到错误原因，是粗心大意还是基础知识掌握不牢固，在课下及时查漏补缺，及时堵住知识漏洞。另外，要求学生做好优秀训练习题的摘抄，并在课下尝试着进行一题多变，从不同角度进行设问、作答，将习题其彻底搞清楚、弄明白，会一题而会一类题。

结语

为提高学生立体几何解答的解题能力，使其在高考中能够顺利、正确作答相关习题，教学中应通过总结高考中的相关习题，把握解答题考查的知识点，在教学中启发学生切实打牢基础。同时，认真总结解答题的解题思路，教学中既要通过精讲例题，要求学生做好解题总结，又要组织学生积极开展相关的训练活动，不断提高学生解答立体几何解答题的灵活性以及能力。

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