“方程，函数，不等式”是用不同角度描述现实世界的有效工具

郭鹏飞

摘 要：永恒不变的是变化本身。我们身边的一切都是以不断变化的形式存在着，万物变化都有自然规律，并且相互之间是有密切关联相互影响的。我们从数学的角度来分析这个观点，对变量和变量之间的关系进行进一步的论证。在研究过程中，研究变量与变量之间关系的初中数学内容--方程，函数，不等式，成为了与现实世界联系十分紧密最有效的工具之一。

关键词：方程;函数;不等式;数学

北师大版初中数学教材明确提出要培养学生的函数思想。让函数内容能够走进学生的生活实际，帮助他们加深对函数内容的理解，主要从以下几个方面进行了思考与设计。

（一）对“方程，函数，不等式”内容价值和定位的思考

初中阶段对函数内容的具体要求，不仅是一些具体的函数和具体的知识点，同时也应作为一种思想方法，探索数量关系和数量关系在实际问题中的变化规律，解决日常生活中的相关问题。此外，还应特别注意函数与其他相应数学内容的关系，如函数与方程的关系、函数与不等式的关系等。

函数的学习是渐进的、螺旋式的。当然，我们不能一蹴而就地理解函数所反映的相应的、变化的思想。函数在未来的数学学习中起着重要的作用。例如，大学课程中微积分（又称数学分析）的基本研究对象是函数。比如微积分学的许多课程，如微分方程、实变函数、复变函数、泛函分析、调和分析、函数逼近理论等，都是从不同角度研究函数形成的课程，都是围绕函数展开的。

函数是描述客观世界的重要数学模型，函数思想也是数学课程的一条主线。它从一个角度把数学课程的许多内容联系起来，使我们更深刻地理解知识，更牢固地掌握知识。数学是一门严谨的科学，认真思考也是数学思维的重要品质之一。然而，在教学中发现，学生在分析和解决问题时，有的思路不清，思维不畅导致答错;有的叙述不严谨，存在许多漏洞，笔者在教学中作了有益的尝试。

（二）北师大版初中数学教材对“方程，函数，不等式”不同角度的具体处理

1.提前渗透

教材从学生的生活经历和存在背景出发，让学生感受到两个变量在变化过程中的“对应”关系，并试图探索其变化规律。例如，在七年级第一册“字母代表数字”一章的“代数表达式的评价”一节中，教材设计了一台“数字转换机”，要求根据输入值写出输出结果。在第七章中，我们开始以非集中的方式讨论变量之间的关系。通过大量学生感兴趣的日常生活事件或其他学科的问题，使学生充分理解变量之间的相互依赖关系，并让他们经历学习函数基本性质的过程，尝试根据功能的基本特征进行预测活动。其实对于这些问题的分析，都是在对函数基本性质有初步认识的基础之上，包含了函数的涨落、周期等等特质。通过学习这些内容，不仅仅能够使学生对数学的应用价值有新的体会，将变量之间的关系用数学方法来描述，还将变量和变量之间的关系体现的更加直观，也丰富的学生们的认识，在后面学习更深一层的函数和运用打下了一定的基础。

如果在教学中要认真学习“绝对值”、“差”、“常数”等重要词汇，了解这些词汇的真正含义，因此，应加强数学概念的教学，突出公式和规则的特点及其建立的附加条件。只有在理论上武装学生的思想，奠定基础知识的坚实基础，才能有效地避免问题的解决。我们还应该经常运用所学的概念和规则，这种方法的优点是：可以减少学生简单地背公式的麻烦和无聊，全面、多角度地加深学生对公式的理解，避免应用中的错误。

2.突出本质

教材从八年级第一册开始，依次介绍正比例函数、反比例函数、二次函数，教材中一些内容的设计基本上体现了“问题情境、问题模式、问题概念、问题性质、问题方法、问题应用与问题延伸”的模式。当研究反比例函数的表达方法，探索和掌握反比例函数，讨论反比例函数在实际生活和数学中的应用这些具体的功能时，他们不会感到抽象和难以理解。叙述严谨合理，推理以每一步为基础。

学生思维的过程和结果是通过语言来反映的，即语言是思维的结果，同时语言又对思维起反应。如果在教学中注重培养学生严谨的语言习惯，势必会增强学生的缜密思维。这有助于学生深入理解概念，准确理解教材中的结论和相关问题的解决过程，提高学生的口头表达和推理写作能力。

3.关注联系

北师大版初中数学教材内容比较突出不同函数之间的联系，以及函数与其他相应数学内容之间的联系，如八年级一阶函数与一阶不等式的联系、九年级二阶函数与二阶方程的联系等。事实上，函数、方程和不等式都是描述现实世界的数学模型。不同之处在于它们描绘的内容不同。方程描述瞬时性，不等式描述绝对性，函数描述本质。

考察问题设置的条件，挖掘隐含信息。在解决问题时，许多学生只关注问题中现成的已知条件。他们缺乏揭示被覆盖情况的能力，造成思维障碍或思维偏差。在教学中，我们要尽量预見学生思维中的困惑点，使学生在应用中思考、辨析、避免错误;或者刻意设置思维障碍，从消极的一面提醒学生，比老师简单的正面强调更有效，学生们印象更深刻。

4.开展解题反思，增强监控意识

在教学中，教师不仅要注重对教材中现成的结论进行细致的思维模仿教学和训练，更要注重对学生知识的缺乏或思维盲区的培养，在问题解决教学中，要逐步培养学生多思考问题，使学生养成思考问题的习惯从不同的角度仔细审视，通过寻找反例来检验问题或结论的正确性，引导学生进行分析和辨别。

为了增强学生的自我反省和自我监控意识，要求学生不断反思：这个思路是否行得通，方法适不适合，这种思考对不对，方式是否合理等等。如果能恰当地运用特殊的方法来揭示学生的问题，就会使学生产生顿悟感，从而达到培养缜密思维的目的。要提高学生的缜密思维，教师的作用是必不可少的，缺乏思维水平的教师不可能培养学生具有较强的口语表达能力和推理能力。此外，还要引导学生进行横向交流的思维方法。由于学生之间、教师与学生之间在思维上存在一定的差异，有必要让学生相互学习，弥补彼此的不足，提高学生分析问题、解决问题的能力。

参考文献：

[1]朱桂凤.基于“思考型”学力培养的数学慢教育——以“生活中的不等式”教学为例[J].中学数学月刊，2019：5-7.

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[3]闵辉，衷雪儿.构造视角下的中学数学函数、方程、不等式问题的讨论[J].数学学习与研究，2020（24）：144-145.