聚焦数学命题的三个基本特征

丁丽娟

命题是初中数学中的一个重要概念，弄清命题的定义和特征，有助于同学们准确判断和识别数学命题的真假.下面就数学命题的三个基本特征进行剖析，以加深同学们对命题知识点的理解.

一、数学命题具有判断性

在数学中，凡是判断性的陈述语句都是数学命题.因此，判断性是命题的第一基本特征.要判断一个数学语句是否属于数学命题，可以从如下两方面入手：一是数学命题必须是一个完整的陈述语句;二是数学命题必须对数学事件做出肯定或否定的判断.

例1  下列语句中，属于命题的则有（   ）.

A.6个     B.5个     C.4个     D.3个

①如果一个三角形的一条边的平等于另外两条边的平方和，那么这个三角形则是直角三角形;

②经过直线外或直线上一点;

③内错角相等，两直线平行;

④对称轴图形的对称轴是任何一对对应点所连接线段的垂直平分线;

⑤数轴上的点表示的数，并不都是有理数;

⑥垂直于同一条直线的两条直线互相平行吗？

解析：由命题的概念可知，①、③、④、⑤这四个语句都为完整的陈述语句，且都做出了肯定或否定的判断，所以属于命题;②只是描述一个状态的语句，并不完整，且不具备判断性，所以不属于命题;⑥为疑问句，不是陈述句，且没有做出判断，所以也不属于命题，故正确答案为C项.

评注：只有熟练掌握了命题两个层面的含义，才能轻松判断出一个语句是否属于命题.

二、数学命题的结构有固定的形式

数学命题有着自己独特的结构形式，它由题设（条件）和结论这两个重要部分构成，题设（条件）为已知项，常用“若、如果、如”等字眼表示，结论则是由已知条件推导出的结果，一般用“则、那么”等字眼表示.有些数学命题的条件和结论并不明显，若能将其改写成“如果……那么……”的标志性结构，则很容易分清条件和结论.需要注意的是，在把命题改写成固定形式时，要注意如下几点：一是改写后命题语句要完整，题设和结论表述要清楚明了;二是改写前后命题内容要保持一致.

例2  将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的题设与结论.

①对顶角相等;

②两直线平行，同位角相等;

③在同一平面内，两条直线和第三条直线平行，则这两条直线也平行;

④同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形;

解析：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.命题的题设是“两个角是对顶角”，结论是“相等”;②如果两直线平行，那么同位角相等.题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”;③如果在同一平面内，两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线也平行，命题的题设是“在同一平面内，两条直线和第三条直线平行”，结论是“这两条直线也平行”;④如果一个梯形同一条底边上的两个内角相等，那么这个梯形是等腰梯形，命题的题设是“同一条底边上的两个内角相等的梯形”，结论是“这个梯形是等腰梯形”.

评注：指出命题的题设和结论，关键在于弄清命题的因果关系.一般地，命题的题设条件为因，而结论则为果.

三、数学命题有真假之分

数学命题除了具有判断性和固定的结构形式外，还具备真假性.真命题，顾名思义就是正确的命题.反之，错误的命题，则称为假命题.要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例;而要说明一个命题是真命题，则需根据公理和定理证明.

例3  下列命题：①一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是八边形;②在函数y=kx+b（k≠0）中，y的值随x的增大而增大;③有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等;④若实数x、y满足 +2（y-1）2=0，则x+y= ;⑤二次函数y=ax2-2ax+1，自变量的两个值x1、x2，对应的函数值分别为y1、y2，若| x1-1|>|x2-1|，则a（y1-y2）>0，其中真命题有     .（填序号）

解析：①一个多边形的内角和是它外角和的3倍，那么该多边形的内角和为1080°，所以（n-2）×180°=1080°，解得n=8，故①说法正确，为真命题;

②对于一次函数y=kx+b（k≠0），一般地，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小.此处由于k的正负并不确定，所以y的值不一定随x的增大而增大，故②说法错误，为假命题;

③钝角三角形和锐角三角形满足两边及其中一边上的高相等，但这两个三角形并不全等，故此说法不正确，为假命题;

④由题意可知，2x-1=0，y-1=0，解得x= ，y=1，所以x+y= ，故此命题正确，为真命题;

⑤由题意可知对称轴为直线x=1，所以当| x1-1|>|x2-1|时，可知x1比x2远离对称轴距离更远些，由二次函数的图象可知，当a>0時，y1>y2，此时a（y1-y2）>0;当a<0时，开口向下，y10，故此说法正确，为真命题.

综上所述，真命题为①④⑤.

评注：对于真命题的判断，需要结合题设条件，运用定理、公理、公式等数学知识，经过严谨的逻辑推理予以证明;而对假命题的判断，只需要举出一个反例即可.

总之，命题是可以判断真假的陈述句，判断性、结构性（什么意思？）固定的结构形式、真假性是一个命题不可或缺的三要素.同学们在学习中要注意把握命题的含义和基本特征，准确识别出哪些是命题，切实掌握数学知识.