数形结合，以形助学

陈子烨

摘 要：数与形是数学中两个最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。 教育心理学家皮亚杰所划分的儿童认知发展阶段的第三个阶段是具体运算阶段 （7～12岁）， 小学期间孩子们的具体运算思维一般还离不开具体事物的支持。本文以五年级数学“植树问题”一课进行探究，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、具体化、生动化，把抽象思维化为具象思维，有助于把握数学问题的本质 ，更好地做到“以数解形”和“以形助数”。

关键词：转化;认知发展;具体化;数形结合

“植树问题” 一课是人教版五年级上册《数学广角》中的内容。“植树问题”通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系也就不同。像这些课堂上难以让学生亲身去感受的生活实际问题，我们可以借助线段图等手段让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的实际问题。

（一）在学生认知基础上设计学习活动

学生从小学一开始就会接触数形结合的方法。一年级学习10以内数相加减，老师就会用小棒或者其他图案来代替数字，通过数一数摆一摆等方法学习简单的加减法;二年级学习简单的乘除法，老师也会借助具体物体来数一数摆一摆分一分辅助教学;三年级认识面积，老师会请来“小方格”帮助学生计算面积;四年级学习条形统计图，让学生学会使用图形的变化表示数据的增减。学生在学龄阶段的学习一直贯穿着数形结合的思想方法，因此在设计学习活动时，我们要把几何直观作为解决植树问题的重要手段。“植树问题”中的“公共汽车站”“架设电线杆”“敲钟问题”“设置饮水点”“锯木头”“项链上的水晶”等问题，可以引导学生借助线段图或示意图进行直观理解。

（二）认知冲突，引发思考

书本例题1是“同学们在全场100m的小路一遍植树，每隔5m栽一棵（两端要栽），一共要栽多少棵树？”很多同学看题后的第一想法就是“每隔5m栽一棵，也就是栽100÷5=20（棵）”，这时老师提出疑问“这个想法对吗？我们检验一下。”学生带着问题和想法去验证，可以先用比较简单的例子来验证，由浅入深。

思考：20m可以栽多少棵？（通过示意图和线段图分析）

20÷5=4，可以栽5棵树。

思考：30m可以栽多少棵？（通过示意图和线段图分析）

30÷5=6，可以栽6棵树。

通过以上两个例子，发现了什么？开始的想法是否正确？通过观察和计算不难发现， 20÷5=4这里的4不代表4棵，而是代表4个间隔或者4份。因此原题100÷5=20中的20不代表20棵，而是代表20个间隔或者20份。通过两个简单的例子加以验证，可以发现如果两端都要栽树，栽树的棵数比间隔数要多1，从而建立起一条线段两端都栽这类植树问题的数学模型。

（三）逆向应用，知识迁移

学生明确题目信息“100m”是全长，“5m”是间隔长，“20”是间隔数，“21”是要栽的棵数。当题目变式为“园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔6m种一棵，一共种了36棵，从第一棵到最后一棵的距离有多远？”学生读题时明确这一题是已知树的棵数求路线长度， 36棵树也就是有35个间隔，因此总长度应该用35×6=210米。

书本例题2是“大象馆和猴山相距60m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树（两端不栽），相邻两棵树之间的距离是3m。一共要栽多少棵树？”例2是在例1的基础上进行教学的。学生可以利用例1发现的规律和化归的思想进行思考，猜测两端不栽应该是用间隔数减1。

思考：12m可以栽多少棵？（通过示意图和线段图分析）

12÷3=4，可以栽3棵树。

思考：18m可以栽多少棵？（通过示意图和线段图分析）

18÷3=6，可以栽5棵树。

通过以上两个例子，可以验证最初的猜想。通过示意图和线段图，更加直观地呈现出当两端不栽时，要栽的棵数比间隔数少1。教师可根据教学情况，鼓励学生用自己的方法探索规律，让学生在知识迁移和转化中学习解决问题的方法。

（四）数形结合，化曲为直

书本例题3是“张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵树？”区别于例1例2在笔直的线段上植树，这是一条首尾封闭的曲线上植树的问题。通过前两个例题，学生已经有了解决这类问题的一般方法和建立数学模型的能力，引导学生先从简单情况入手。

通过数形结合，化曲为直的方法，学生联系已有的知识可以发现这种“封闭曲线”的规律，即栽树的棵数正好等于间隔数，相当于一端栽，一端不栽，从中渗透了转化的数学思想。学习了3个例题后，教师可引导学生借助示意图或者线段图将三种情况进行对比和分析，方便学生理解和记忆。教学中要强调画图的策略，充分运用数形结合的方法进行理解和总结。让学生意识到养成画图的习惯是非常重要的，他们平时在解决数学问题遇到困难时，可以借助画图帮助理解。

（五）教学思考

新课标中强调“以学生为主体”，体现学生的主体性。如果教师一下子把三种情况直接总结出规律，学生可以快速区分植树问题的是三种情况，但学生在碰到问题是只会对号入座，照葫芦画瓢，无法发展数学思维和解决问题的能力。生生间的合作交流是课堂的推动力，数形结合是学生构建知识的一个拐杖，让学生从“发现规律”到“运用规律”，做到思维方法的真正渗透。植树问题只能是种树吗？生活中路灯的安装、上楼问题、敲钟问题、锯木问题等都可以运用本节课知识，拓展了知识的外延。

“数缺形时少直觉，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事非。”华罗庚这四句诗很好地表现出数形结合的重要性。要想在解决问题中有效地实现数形结合，首先要明确“數”与“形”的结合点。几何图形具有直观具体的特点，化抽象为具象，利用几何图形解决问题，往往能产生事半功倍的效果。我们既能把“数”化为“形”去理解，也能从“形”总结“数”的规律。从“植树问题”这一课中，我们通过把例题信息转化成示意图和线段图理解了三种不同情况，也从这些图中建立了形象的数学模型，总结出相应的计算规律。

对于小学生来说，理解和消化的过程一定要把问题具象化、简单化。本课除了运用数形结合的方法，还巧妙地加入“归化”思想帮助理解。从简单的例子入手，学生容易理解，从而获得成功的体验，增加了学生继续探究的动力。再通过小组合作进行问题猜测、检验、得出结论，逐步形成自主解决问题的能力。学生一旦掌握了数形结合的方法，平常遇到难题的时候不断尝试、运用，从而发现“数”与“形”的奥妙，提高数学思维能力。

本文系广州番禺区教育规划十三五专项课题《基于研学后教理念下小学数学“助学课堂”模式的研究》（课题编号：2018-zx269）阶段性成果。