一道经典三角高考题的多角度思考

摘 要：本文根据一道高考题，充分利用发散思维，从不同的角度入手，从不同的思维方法入手，给出了多种解法，以帮助同学们复习巩固所学知识，充分利用所学知识解决问题.从而培养同学们观察问题，分析问题，解决问题的能力.

关键词：高考题;多角度思维

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0046-03

例 （2013浙江卷）

已知α∈R，sinα+2cosα=102则tan2α=（）.

A.43B.34C.-34D.-43

这是一道起点低，入口宽，既注重考查基础知识，又侧重于考查思维能力的好题.该题从不同的角度入手，有着多种不同的解法，且各种解法难易，繁简程度差别很大，充分体现了各种不同的思维层次，有着较高的选拔功能.

思路1 求三角函数值，关键是求出sinα，cosα的值，因此，利用同角三角函数关系式与已知条件结合，有如下解法：

解法1 由sinα+2cosα=102及sin2α+cos2α=1，解得：sinα=31010cosα=1010或sinα=-1010cosα=31010.所以tanα=3或tanα=-13.

所以，tan2α=2tanα1-tan2α=-34.故选C.

点评 这种解法思路清晰，自然，但计算量较大.

思路2 求tan2α的值，若能求得tanα的值，再利用二倍角公式，就能轻松获解.由此有下面的解法.

解法2 把已知条件sinα+2cosα=102两边平方得：sin2α+4sinαcosα+4cos2α=52，即：sin2α+4sinαcosα+4cos2αsin2α+cos2α=52，亦即：tan2α+4tanα+4tan2α+1=52，即：tan2α-8tanα-3=0，解得tanα=3或tanα=-13.

所以，tan2α=2tanα1-tan2α=-34.故选C.

点评 这种解法把已知条件进行平方，得到了我们熟悉的“齐次式”结构，直接求得了tanα，使得解题过程得以简化，这是一种整体意识，思维上比解法1进了一步.

思路3 已知条件中的角是α，而要求解的问题中的角是2α.因此，求tan2α的值，把已知条件中的角向2α转化.

解法3 把已知条件sinα+2cosα=102两边平方得：sin2α+4sinαcosα+4cos2α=52，即：sin2α+2sin2α+4cos2α=52，利用二倍角的降幂公式，有：1-cos2α2+2sin2α+2（1+cos2α）=52，即：4sin2α+3cos2α=0，所以tan2α=-34.故选C.

点评 这种解法从角的不同入手，首先想到变换角度，把角统一起来，使得计算过程大大简化.在三角变换中，优先考虑角的变化是解三角题的重要思路.

思路4 观察sinα+2cosα的结构，联想到辅助角公式，利用辅助角公式获解.解法4 102=sinα+2cosα=5sin（α+φ），其中sinφ=25，cosφ=15，所以tanφ=2，tan2φ=-43.

所以sin（α+φ）=22，α+φ=2kπ+π4或α+φ=2kπ+3π4.所以2α=4kπ+π2-2φ或2α=4kπ+3π2-2φ.所以tan2α=1tan2φ=-34.故選C.

点评 辅助角变换是逆用三角变换公式的一种重要形式.利用辅助角变换，把要求解问题中的角用引入的辅助角表示出来，使得问题得以获解.

思路5 这是一个选择题，解选择题应“不择手段”，仔细观察题目的结构特征及数字信息，直接获得sinα，cosα的值，使得问题获解.

解法5 仔细观察sinα+2cosα=102的结构特征，再由sin2α+cos2α=1，联想相应地勾股数，可得：

sinα=31010cosα=1010或sinα=-1010cosα=31010.

所以tanα=3或tanα=-13.

所以tan2α=2tanα1-tan2α=-34.故选C.

点评 解选择题以快为上，不需要过程，因此，特殊值法是一种重要的解题方法.但需要同学们有敏锐的观察能力，在三角函数中，利用勾股数类比sin2α+cos2α=1是重要的法宝.

三角函数公式众多，灵活多变，许多同学在学习过程中陷入其中，绕不出来.实际上，解三角题时，同学们只要抓住弦切的互化，公式的灵活运用，角是否有变化等基本规律，然后仔细观察题目中的结构特征，数字信息，找出已知条件和求解的问题之间的差异与联系，抓住角度是否发生了变化这个关键，再选择合适的公式，消除角度的差异，函数名称的差异，就能获得解题思路，使得问题得以解决.

咱们再来看一个例子.

已知sinθ+cosθ=15，且θ∈（0，π），求tanθ的值.

解法1 由sinθ+cosθ=15得sinθ=15-cosθ，∴sin2θ=（15-cosθ）2，即25cos2θ-5cosθ-12=0，所以cosθ=45或cosθ=-35.

但当cosθ=45时，sinθ=-35，与θ∈（0，π）矛盾，从而舍去.

所以cosθ=-35，sinθ=45，tanθ=sinθcosθ=-43.解法2 由sinθ+cosθ=15得cosθ=15-sinθ，

∴cos2θ=（15-sinθ）2，

整理并解得：sinθ=45或sinθ=-35.

因为θ∈（0，π），所以sinθ=45，从而cosθ=-35，所以tanθ=sinθcosθ=-43.

解法3 因为sinθ+cosθ=15，所以（sinθ+cosθ）2=125，展开并整理得：

sin2θ=-2425，即2tanθ1-tan2θ=-2425，所以tanθ=-34或tanθ=-43.

由sinθ+cosθ=15>0及sinθ>0可知tanθ<-1，所以tanθ=-43.

解法4 已知条件变为：2tanθ21+tan2θ2+1-tan2θ21+tan2θ2=15，即3tan2θ2-5tanθ2-2=0所以tanθ2=2或tanθ2=-13（舍去）.

所以tanθ=2tanθ21-tan2θ2=-43

解法5 设tanθ=k，即sinθcosθ=k，所以sinθ=kcosθ，代入已知条件sinθ+cosθ=15得：cosθ=15（k+1），所以sinθ=k5（k+1）.

由sin2θ+cos2θ=1即15（k+1）2+k5（k+1）2=1解得：k=-34或k=-34.

再由θ∈（0，π），sinθ>0知： k<-1，所以k=-43.即tanθ=-43.

解法6 由sinθ+cosθ=15得： 2sinθcosθ=-2425，所以1-2sinθcosθ=4925，即

（sinθ-cosθ）2=4925，所以sinθ-cosθ=±75.

由sinθ+cosθ=15sinθ-cosθ=75得sinθ=45cosθ=-35;

由sinθ+cosθ=15sinθ-cosθ=-75得sinθ=-35cosθ=45.

因为θ∈（0，π），所以sinθ=45，cosθ=-35，所以tanθ=sinθcosθ=-43.

解法7 因为15=sinθ+cosθ=2sin（θ+π4），所以sin（θ+π4）=210.

再由sinθ+cosθ=15<1及θ∈（0，π）知θ∈（π2，π），所以θ+π4∈（3π4，5π4），

从而有cos（θ+π4）=-7210，tan（θ+π4）=-17.

即：1+tanθ1-tanθ=-17，所以tanθ=-43.

解法8 仔细观察sinθ+cosθ=15的结构特征信息，再由sin2α+cos2α=1，及θ∈（0，π）联想相应地勾股数，可得：

sinα=45cosα=-35，

所以tanθ=-43.

本例與上面的例子相比较，给出了角的范围，因此，在解题过程中不要忽视角的范围，应注意根据给出的数字的大小，适当地缩小角的范围，或者对求得的结果进行检验.

下面再提供几题，作为练习，请同学们仔细观察题目中条件的结构特征，给出的数字信息，从多个角度入手，给出不同的解法，并认真比较，寻求最优解答，以期能启迪同学们的思维，开阔同学的眼界，获得灵活处理问题的思维方法.

1.已知θ是第二象限的角，且满足sinθ+cosθ=1-32，求tanθ的值.

2.若π4<θ<π2且sinθcosθ=60169，求tanθ的值.

答案：1.-33 2.125

参考文献：

[1]田发胜.三角变换的常用方法与技巧[J].中学生百科，2012（23）：35-38.

[责任编辑：李 璟]