如何用数学思想解答物理题

胡家愿

摘 要：数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识.众所周知，数学与物理有着密切的联系，在数学思想指引下，有助于学生更好的找到解题思路，提高学生的解题能力，因此教学中应注重运用数学思想进行解答，不断提高学生运用数学思想解题的意识与能力.

关键词：数学思想;高中物理;解题;探讨

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0085-02

高中物理解题中常用的数学思想较多，主要有数形结合思想、函数与方程思想、归纳推理思想等.为使学生牢固的掌握这些思想，灵活用于解答相关的物理习题，教学中应注重为学生讲解相关理论，并优选与讲解相关例题，使学生掌握运用数学思想解答物理题的思路与方法.

一、数形结合思想解答物理题“数”与“形”有着密切的联系.“数”使得人们对“形”的研究更加细致、入微，而“形”可直观的展示“数”的一些规律.高中物理教学中应注重解题中常用的“形”，如三角形、平行四边形、圆形等，其中三角形、平行四边形在力、速度的分解中较为常用，而圆形常用于解答粒子在磁场中运动问题.教学中为使学生掌握应用数形结合思想解答物理习题的一些细节，应注重筛选与讲解经典的例题，为其在解题中正确的应用奠定坚实基础.

例1 如图1所示，一匀强磁场分布在半径为R的半圆形区域中，方向

与纸面垂直，磁感应强度为B.一带电量为q，质量为m的粒子，以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点射入磁场（AP=d），忽略粒子的重力.如粒子从Q点射出，出射方向和半圆在Q点切线方向的夹角为φ，求入射粒子的速度.

该题目难度中等，主要考查粒子在磁场中的运动知识.解答该题的关键在于找到正确的角度、线段关系，因此，需要绘制相关图形，运用数形结合思想进行求解.根据所学求解粒子的入射速度，需找到其做圆周运动时的半径.根据描述，绘制如图2所示的图形：

图2

分别做粒子入射、出射方向的两条垂线交于点O1，则O1即为粒子做圆周运动的圆心.借助图形确定粒子运动的半径，便可顺利解答该题.

设半径为r.由几何知识可得∠OQO1=φ，OO1=r-（d-R），由余弦定理可得|OO1|2=R2+r2-2rRcosφ，又∵qvB=mv2r，

联立以上各式解得v=qBd（2R-d）2[R（1+cosφ）-d]

二、函数与方程思想解答物理题

函数与方程思想是一种重要的数学思想，在求解某一参数的最值问题中应用广泛.教学中为使学生牢固掌握，灵活应用该思想解答物理习题，既要注重相关例题的讲解，又要组织学生开展针对性的训练活动.通过讲解例题使学生感受运用函数与方程思想解题的过程，通过训练进一步深化学生理解，积累相关的解题经验与技巧，在以后解答相关问题时少走弯路，迅速突破.

例2 如图3一开口向下半径为R的光滑绝缘半球

图3

面，固定在水平面上.整个空间存在方向竖直向下的匀强磁场，一质量为m，电荷量为q的小球p在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O′.圆心到该圆周上任意点的连线与竖直方向的夹角为θ（0<θ<π2），求使小球在该圆周上运动时磁感应强度的最小值.

该例题创设的情境较为新颖.很多学生看到该题目不知如何下手，教学中应鼓励学生运用所学，根据题干情境构建相关的方程，而后将方程联立、整理，将其转化为方程问题，运用函数与方程思想解答.

以小球为研究对象对其进行受力分析，设球面的对其的弹力为N，在竖直方向上Ncosθ-mg=0;水平方向上洛伦兹力与弹力分量的合力提供做圆周的向心力，即，F-Nsinθ=mv2r，有因为F=qvB，r=Rsinθ，

联立以上各式得到：

v2-qBRsinθmv+gRsin2θcosθ=0

该方程要想有解，需满足

Δ=（qBRsinθm）2-4gRsin2θcosθ≥0

得到B≥2mqgRcosθ

因此磁感应强度B的最小值为Bmin=

2mqgRcosθ.

三、归纳推理思想解答物理题

运用归纳推理思想解答物理习题对学生的综合素质要求较高，不仅需要掌握扎实的物理知识，而且还应具备灵活的思维，能够从求解的参数中寻找内在规律.教学中为使学生掌握该解题思想，应注重为学生认真剖析相关例题，并鼓励学生做好解题总结，不断分析，弥补运用归纳推理思想解题的不足，尤其鼓励学生相互分享解题经验，多虚心向他人请教.

例3 如图4甲所示，在平行边界MN、PQ之间存在宽为l，方向平行于纸面且与边界垂直的变化电场，变化规律如图4乙所示.在MN、PQ两侧足够大的区域有方向垂直纸面向外，大小相同的匀强磁场，一忽略重力的带电粒子，从t=0时，自边界上某点由静止第一次经电场加速后，以速度v1垂直边距MN第一次射入磁场中做匀速圆周运动，接着第二次进入电场中做加速运动而后垂直边界PQ的第二次进入磁场中运动，已知粒子在磁场中运动时电场区的场强为零，求粒子第n次经过电场所用的时间.

图4

该题目难度较大，教学中应与学生一起分析粒子运动过程，使学生对粒子的运动规律有个更为清晰的认识，而后鼓励其列出方程，归纳推理出参数之间的关系.

设粒子的质量以及电荷量分别为m，q，第一次与第三次在磁场中的运动半径为r1，r3，第二次、第三次出电场时的速度为v2，v3，在第一、二、三次在电场中运动时的场强大小分别为E1、E2、E3.

则由动能定理可得：

E1ql=12mv12，

E1ql+E2ql=12mv22，

E1ql+E2ql+E3ql=12mv32，

由电场变化规律可得E1∶E2∶E3=1∶3∶5

联立各式可得v1∶v2∶v3=1∶2∶3.

设粒子第n次進入电场时的速度为vn-1，出电场时的速度为vn，运动时间为tn，根据上述结论可归纳推理出vn=nv1，vn-1=（n-1）v1.

由运动学公式可得：vn-1+vn2tn=l，

解得tn=2l（2n-1）v1=22n-1ml2E1q.

高中物理习题多种多样.部分习题需要运用数学思想进行解答，因此教学中应提高认识，做好物理解题中常用数学思想的归纳，结合学生所学的物理知识，有针对性的筛选相关的习题，为学生逐一讲解数学思想在解题中的应用，使其掌握不同数学思想在解题中的应用思路、技巧，为其更好的应用于解题中做好铺垫.

参考文献：

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[2]涂鹏宇.浅谈高中物理中的数学方法[J].科技风，2018（15）：30-31.

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[责任编辑：李 璟]