两平方反比力在球体（壳）模型中的强度公式对比

2021-09-10杨天才

数理化解题研究·高中版 2021年2期

关键词：球体

杨天才

摘要：万有引力是在1687年由牛顿发现的，库仑力是法国物理学家查尔斯·库仑在1785年发现的，它们都满足与距离的平方成反比，即平方反比律，由他们在球体（壳）周围产生的引力场强度和电场强度非常相似，在球壳内部为零，在球体内部强度与距离成正比，在球体外部与距离的平方成反比，本文对两种强度做对比.

关键词：万有引力;库仑力;电场强度;球体;球壳

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0077-03

万有引力是在1687年由牛顿发现的，库仑力是法国物理学家查尔斯·库仑在1785年发现的，它们都满足与距离的平方成反比，即平方反比律，由他们在球体（壳）周围产生的引力场强度和电场强度非常相似，在球壳内部为零，在球体内部强度与距离成正比，在球体外部与距离的平方成反比.具体见下表：

引力场强度电场强度

定义式g=GMr2

E=kQr2

球体空腔内部特点匀质球体在空腔内任意一点位置形成的合引力场强度为零均匀带电球壳在其内部任意一点位置形成的合场强为零（法拉第圆筒实验）

匀质（或均匀）实心球体内部的强度公式（r<R）

g=43Gπρ·r（ρ表物质的密度）

E=43kπρ′·r（ρ′为体电荷密度，可理解带电体单位体积的带电量）

匀质（或均匀）实心球体外部的强度公式（r>R）

g=GMr2

E=kQr2

匀质（或均匀）实心球体在空间产生的强度随离球心的距离的函数图像图1图2

球壳在空间产生的强度随离球心的距离的函数图像

一、部分结论推导和应用

结论一在匀质球体的空腔内任意位置处，质点受到的万有引力的合力为零.

解析一个匀质球壳，可视为无限多厚度可以忽略不计的同心球壳组成.取一个球壳，并过球壳内任一点O作一图5对顶角很小的对顶圆锥，如图5所示.这时圆锥底面可视为两质量元，质量分别为m1和m2，设两质量元半径为r1和r2且到O点的距离为R1和R2，球壳密度为ρ，则它们对于O处质点（m）的万有引力分为F1=Gm1mR21=Gπr21ρmR21，F2=Gm2mR22=Gπr22ρmR22，根据相似三角形对应边成比例，有R1r1=R2r2，所以F1=F2，因两引力方向相反，所以其合引力为零.依此类推，球壳上其他任意两个对应部分，在球壳内任意一点产生的合引力也为零，从而球壳组成的球层对其任意点的合引力为零，合引力场强度也为零.

结论二均质实心星球内部某点的引力场强度与该点到星球球心的距离r成正比.

解析一个位于该星球内部，且距星球心为r的物体受到星球的万有引力，就可视为厚度为（R-r）的球层和半径为r的球体的引力的合力.因为球层对其内部任一点的引力为零，所以物体受到的星球引力就等于半径为r的球体所产生的引力.若设均质星球体的密度为ρ，则g=GMr2=G43πr3ρr2=43Gπρ·r，即在星球内部，某点的引力场强度与该点到星球球心的距離r成正比.

结论三均匀实心带电球体内部某点的电场强度与该点到球心的距离r成正比.

解析由法拉第圆筒实验，电荷只分布在导体的外表面上，导体内部没有静电荷，即均匀带电薄球壳上的电荷在球的空腔内任一点产生的场强为零，在球壳外某点产生的场强与将球壳中所有电荷集中在球心后在该点产生的场强相等.若设均匀实心带电球体单位体积带的电荷量的密度为ρ′，则E=kQ′r2=k43πr3ρ′r2=43kπρ′·r，即在带电体内部，某点的电场强度与该点到球心的距离r成正比.

例1 （2012年高考全国卷）假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（）.

A.1-dR B.1+dR C.（1-dR）2 D. （RR-d）2

解析均匀球壳对内部质点的万有引力合力为零.地面处重力加速度：mg=GMmR2 又M=ρ43πR3，得g=43πGRρ;

同理矿井底部重力加速度： g′=43πG（R-d）ρ;所以g′g=1-dR，故A项正确.

点评题目给出了“均匀球壳对内部质点的万有引力合力为零”，但大多数同学没理解这句信息而导致本题错误率较高.其实矿井底部重力加速度可等效半径为R-d的小“地球”表面的重力加速度，这样就大大简化了问题.

例2 假设地球是一半径为R质量分布均匀的球体.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，不考虑地球自转的影响，距离地球球心为r处的重力加速度大小可能为如图6图像中的哪一个（）.

图6

解析设地球的密度为ρ，当物体处于地心时，所受万有引力为零，加速度为零;当距地心距离为r<R时，只有半径为r的球体对其产生万有引力，根据GM′mr2=ma，又M′=ρ43πr3，得a=43πGrρ，即加速度与半径成正比;当距地心距离为r>R时，根据GMmr2=ma，M=ρ43πR3得a=4R33r2πGρ，加速度与的平方成反比，故B项正确.

点评本题再一次考查对“均匀球壳对内部质点的万有引力合力为零”的理解，虽然不要求推导这个结论的由来，但要学生直接利用这个结论来解题.

例3 如图7所示是某农家院内打出一口深度为d图7的水井，如果质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球可以看作是质量分布均匀的球体，地球半径为R，则水井底部和离地面高度为d处的重力加速度大小之比为（）.

A.R-dR B. （R2-d2）（R+d）R3

C.R2-d2RD.（R2-d2）（R+d）R2

解析根据万有引力定律，地球表面上的重力加速度g=GMR2.设离地面高度为d处的重力加速度为g′，由万有引力定律有

g′=GM（R+d）2

，两式联立得g′=R2（R+d）2g，根据结论，球壳对其内部物体的引力为零，则矿井底部的物体m′只受到其以下球体对它的引力，则有g″=R-dRg，所以g″g′=（R2-d2）（R+d）R3，B项正确.

点评本题考查天上某点和地球里某点的重力加速度之比，因它们满足不同的规律，或者说定义域不同，分段函数的函数关系就不同，这是要注意的.

例4 已知均匀带电球体在其外部产生的电场与

图8

一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同，而均匀带电球売在其内部任意一點形成的电场强度为零.如图8所示，现有一半径为R、电荷量为Q的均匀帯正电绝缘球体，M、N为一条直径上距圆心O为R2的两点，静电力常量为k，则（）.

A.M、N点的电势小于O点的电势

B.M、N点的电场强度方向相同

C.M、N点的电场强度大小均为kQ2R2

D.M、N点的电场强度大小均为kQ8R2

解析根据题述可知均匀带电绝缘球体的电场线由圆心沿半径向外，由电场线方向电势降低可知，M、N点的电势小于O点的电势，选项A正确.已知均匀球体在其外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同，所以求MN两点的电场就等效为半径为R2的球体在MN两点的场强，以ON为半径的球体所带电量为Q′=43π（R2）343πR3Q=18Q，产生的场强大小为E=kQ′（R2）2=kQ2R2，且方向相反，选项C正确.

点评均匀带电球体可以理解为体电荷密度不变，即体电荷密度是每单位体积的电荷量，球体所带电量之比为半径之比的三次方，从而求球体表面的场强.

例5 均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等图9效于电荷集中于球心处产生的电场.如图9所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM=ON=2R，已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（）.

A.kq4R2 B.kq2R2-E C.kq4R2-E D.kq2R2+E

解析把半个带正电荷的球面等效为整个带正电荷的球面跟半个带负电荷球面叠加在一起.整个带正电荷的球面在N点的场强E1=k2q（2R）2=kq2R2，半个带负电荷球面在N点的场强E2=E，N点的场强EN=E1-E2=kq2R2-E，则B项正确.

点评本题是信息题，信息题的特点是起点高、落点低，理解“均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场”，即将面电荷等效为点电荷，然后用割补法构建一个球壳模型与题目建立联系顺利求解.

图10

例6 （2013年高考上海卷）半径为R，均匀带正电荷的球体在空间产生球对称的电场;场强大小沿半径分布如图10所示，图中E0已知，E-r曲线下O-R部分的面积等于R-2R部分的面积.求：

（1）写出E-r曲线下面积的单位;

（2）己知带电球在r≥R处的场强E=kQr2，式中k为静电力常量，该均匀带电球所带的电荷量Q为多大;

（3）求球心与球表面间的电势差ΔU;

（4）质量为m，电荷量为q的负电荷在球面处需具有多大的速度可以刚好运动到2R处.

解析（1）根据关系式U=Ed可知，E-r曲线下面积表示电势差，其单位是V（伏特）.