换元转化 化难为易

叶文明 李阳

摘 要：换元法是解数学题的一种常用方法，它的实质是通过换元转化，从而把复杂问题简单化，有利于问题的解决.

关键词：换元;绝对值;最值

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0069-02

解数学题时，常把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化的方法叫换元法.换元法的实质是转化，把复杂问题简单化.换元法在研究方程、不等式、函数、数列、解析几何等问题中有广泛的应用，它几乎涵盖高中阶段的所有内容，是一种常用的解题方法.

例1 （2020浙江新高考学考模拟卷五）

已知正数x，y满足x+y=1，则x2x+2+y2y+1的最小值为.

解析 方法一 4x+2+1y+1=14×4x+2+1y+1x+2+y+1≥94

∴x2x+2+y2y+1=x-2+4x+2+y-1+1y+1

=4x+2+1y+1+x+y-3≥14，

即最小值为14.

方法二 （换元）令x+2=a，y+1=b，则a+b=4.

原式=（a-2）2a+（b-1）2b=4a+1b+a+b-2-4=14（4a+1b）（a+b）-2

=14（4ba+ab+5）-2≥14（24+5）-2=14.显然换元法容易理解，当分母稍显复杂时，常用换元法化繁为简.

变式 （2020全国高中数学联赛甘肃赛区预赛）设x，y均为正数，则M=4xx+3y+3yx的最小值为.

解析 令x+3y=t，则3y=t-x，∴M=4xt+t-xx=4xt+tx-1≥24-1=3

∴M的最小值为3.

例2 （2020浙江新高考学考模拟卷三）已知函数f（x）=x-x-2a2+1，x∈0，4，其中a∈R，设f（x）的最大值为g（a），则g（a）的最小值为.

解析 绝对值问题通常采用分类讨论去掉绝对值符号的方法解决，但本题直接分类讨论稍显繁琐，采用换元法后再分类讨论则容易得出正确答案.

令t=x-x，由x∈0，4得t∈0，2，于是原函数化为：

y=t-（2a2-1），t∈0，2，

∴当2a2-1≤1，即-1≤a≤1时，如图1所示

g（a）=2-（2a2-1）=2-（2a2-1）=-2a2+3，

当2a2-1>1，即a<-1或a>1时，如图2所示.

g（a）=0-（2a2-1）=2a2-1

从而g（a）=-2a2+3，-1≤a≤12a2-1，a<-1或a>1，易得g（a）的最小值为1.

变式 （2020浙江新高考学考模拟卷二）

定义 maxa，b=a，a≥bb，a<b.若不等式maxx+mx-2，x+mx-3≥5（其中m>0）对任意实数x∈1，2恒成立，则实数m的取值范围为.

解析 令x+mx=t，显然t>0，maxx+mx-2，x+mx-3≥5

maxt-2，t-3≥5t≤52t-3≥5或t>52t-2≥5

t≤-2（舍去）或t≥7，即x+mx≥7，∴m≥-x2+7x

∴m≥（-x2+7x）max，x∈1，2，∴m≥10.

例3 （2020浙江松阳二中高三冲刺卷）已知a≥0，b≥0，a+b=1，则a+12+b+12的取值范围为.

解析 求代数式的取值范围，即最值问题时，常用基本不等式解决，当式子较复杂时，可利用换元法化繁為简.

令a+12=x，b+12=y，则x2+y2=2，且x≥22，y≥22.

原式=a+12+b+12=x+y.于是原题目变成了点（x，y）在以O为圆心，2为半径的圆弧AB上，求x+y的取值范围.显然当目标函数对应的直线与圆弧AB相切时最大，过点A或点B时最小，由线性规划易知正确答案为 6+22，2.

变式 （2020浙江松阳二中高二学考模拟卷）求函数f（x）=4-x+3x+6+2的值域.

解析 令4-x=a，3x+6=b，则3a2+b2=18，即b218+a26=1，目标函数为Z=a+b+2.原题目化为点（a，b）在椭圆b218+a26=1上，求目标函数Z=a+b+2的值域问题，由线性规划可知原函数的值域为2-26，2+26.

换元法的本质是转化，构造元和设元，通过等价代换，变换对象，将问题转换成新的对象去研究.用换元法解题时要注意以下几点：（1）选择合适的变量换元，遵循让问题简化的原则.（2）换元后要注意新变量的范围，并根据题设加以验证.

参考文献：

[1]阎锐.教会学生灵活运用转换思想解题[J].中学数学月刊，2008（10）：40-42.

[责任编辑：李 璟]