Matlab在中学数学函数最值教学的应用

摘要：针对中学数学中的常见函数最值问题，文中探讨了应用Matlab工具求解函数的最值的教学方法。文中的研究内容在教学内容和教学手段上都有一定的参考价值。

关键词：函数最值;一次函数;二次函数;三角函数;Matlab

1 引言

最值问题是在生产、科学研究和日常生活中常会遇到的一类特殊的数学问题，函数的最值在中学数学中占有相当重要的地位。求解中学数学函数最值问题的一般方法有：观察法、二次函数法、判别式法、平均不等式法、非负数概念法、反函数法、三角法、数形结合法、导数法。本文将Matlab工具（也可以使用开源的Python软件）引入到中学数学最值问题求解的教学与实验中，对教师和学生的教学和学习都有很大帮助。

2 Matlab在中学数学函数最值中的应用

应用Matlab能够绘制函数的图象，从图象中能够很直观地看到函数的走势，能够让学生感性地认识函数的最值点、单调性、凹凸性等函数性质。

2.1 一次函数的最值求解

求解一次函数的最值问题，需要根据一次函数所给出的的解析式，得出相对应一次函数图像的基本性质（研究四种性质：定义域、值域、单调性、奇偶性），并根据参数k，b对一次函数图象的影响，可以得到一次函数在区间上的最值点。

一次函数y=kx+b的最值在区间[m， n]的两端点处取得，编写一次函数图象求解最值m文件为：

function [fmax， fmin， xmax， xmin]=flinear（k， b， m ，n， t）

x=m：t：n;

y=k.*x+b;

fmax=max（y）;

fmin=min（y）;

xmax=x（find（y==fmax））;

xmin=x（find（y==fmin））;

figure;

hold on;

plot（x，y）;

plot（xmax，fmax，’ro’）;

plot（xmin，fmin，’ro’）;

text（xmax-20*t，fmax-20*t，[‘最大值’，num2str（fmax），’（‘，num2str（xmax），’，’，num2str（fmax），’）’]）;

text（xmin+20*t，fmin+20*t，[‘最小值’，num2str（fmin），’（‘，num2str（xmin），’，’，num2str（fmin），’）’]）;

hold off

求函数y=2x-5在区间[-4，10]的最值，则在命令窗口口输入：

>> [fmax， fmin， xmax， xmin]=flinear（2，-5，-4，10，0.1）

得到函数最值为fmax =15，fmin =-13，xmax =10，xmin =-4。

2.2 二次函数的最值求解

对于二次函数的最值问题，其定义域、值域、单调性、奇偶性、图像的对称性、图像与轴的交点情况等是需要考虑。求解二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）在区间[m， n]的最值，可以编写二次函数求解最值m文件为：

function [fmax， fmin， xmax， xmin]=fquadratic（a， b， c， m ，n， t）

x=m：t：n;

y=a*x.*x+b.*x+c;

fmax=max（y）;

fmin=min（y）;

xmax=x（find（y==fmax））;

xmin=x（find（y==fmin））;

figure;

hold on;

plot（x，y）;

plot（xmax，fmax，’ro’）;

plot（xmin，fmin，’ro’）;

text（xmax-20*t，fmax-20*t，[‘最大值’，num2str（fmax），’（‘，num2str（xmax），’，’，num2str（fmax），’）’]）;

text（xmin+20*t，fmin+20*t，[‘最小值’，num2str（fmin），’（‘，num2str（xmin），’，’，num2str（fmin），’）’]）;

hold off

求解函数y=-2x2+5x+6在区间[-10， 10]的最值，则在命令窗口输入：

>>[fmax， fmin， xmax， xmin]=fquadratic（-2， 5 ， 6， -10， 10， 0.1）

得到求解结果为fmax =9.1200，fmin =-244，xmax =1.3000，xmin =-10。

2.3 三角函数的最值求解

利用Matlab绘制三角函数的图象，有助于学生直观地理解三角函数值的变化规律，便于根据规律找出三角函数的最值。如：应用Matlab求函数的最大值和最小值。

三角函数的定义域R，由于三角函数为周期函数，那么只要在一定合适的区间内求函数的最值，该值就对应为整个定义域的最值。设区间x=[-2π， 2π]，其中pi为圆周率π，步长为0.1π。在Matlab的命令窗口输入：

>>x=-2*pi：0.1：2*pi

>>y=（sin（x）-2）.*（cos（x）-2）

>>fmax= max（y）

>> fmin=min（y）

得到求解结果为最大值fmax = 7.3282，最小值fmin =1.6717。

2.4 函数导数的符号求解

用导数法求解函数的最值时需要对函数进行求导运算，有些函数的导数比较复杂，如果需要快速地检验求导结果是否正确，可以应用Matlab符号函数微分运算进行求导。

Matlab的函数diff（） 能够求函数的导数，它的调用格式为：

difvn=diff（f，‘v’， n）。其中，f为函数，v為自变量，n为导数的阶数。

如：求函数的一阶导数和二阶导数。

在Matlab的命令窗口输入：

>>sym x;

>> y=x*exp（x^2）;

>> dif1=diff（y，1）;

>> dif2=diff（y，2）;

得到dif1=exp（x^2）+2*x^2*exp（x^2），dif2 =6*x*exp（x^2）+4*x^3*exp（x^2），那么函数的一阶导数为，二阶导数为。

参考文献：

[1]吴守江. 最值问题[J]. 中学数学教学参考. 2019（1-2）：138-141.

作者简介：潘晶晶，女，理学学士，中小学二级教师，主要研究方向：中学数学教育教学方法