浅谈数学中的变与不变

刘海燕

摘要：本文简要阐述柯西不等式，并借助其四种形式来阐述数学中变与不变，再以规范正交基为例，解析数学的教学，最后提出关于数学教学三点建议。

关键词：数学教学;柯西不等式;变与不变

万物皆变，不变之中蕴含着变，变化之中又包含着不变，这是哲学的基本理念。在自然界中，等量关系和不等量关系普遍存在。描述等量关系用等式，描述不等量关系用不等式。不等式在各个学科中均应用广泛，在数学各个分支中更是应用之广。柯西不等式在数学的各个分支里有着极其广泛的应用，它在不同的领域里有着不同的表现形式：

柯西不等式表现形式多样，但又极其相似，命题的左右两边结构以及各变量之间涉及到的运算均非常的对偶，最终在向量空间中得到统一。

数学是一个有机整体，它的生命力依赖于各部分的联系.数学关注一件事物的本质、多种事物的共性、一系列事物的规律、不同事物的联系，作为数学教员，在数学教学过程中，需要关注知识间的联系，即数学的变与不变。

以规范正交基概念讲解为例，谈谈数学教学中，如何把握数学的变与不变。线性代数是一门抽象的课程，而给学员讲明白为什么，是什么，怎么做非常重要。对于3维向量空间，几何与代数的联系是空间直接坐标系，其中任意向量的坐标分解式用到三个单位向量，此三个向量满足两两垂直，每个向量是单位向量，且任意3维向量能够由这三个向量唯一线性表示。这三个向量相当于一个空间直角坐标系，即是说要建立空间直角坐标系，只需找到满足这些条件的3个向量。数学研究数与形，从具体到抽象，到算律。数学是一步一步逐级抽象的过程，抽象程度越高，涵盖内容越多。我们可以研究2维、3维向量，自然可以研究n维向量，规范正交基应运而生。于是要讲清楚规范正交基，只需要讲清楚3维空间中的三个单位向量，讲清本质，由两两垂直、每个向量单位且任意向量能够由这个向量组唯一线性表示这一不变的共性，引导讲解n维与3维的不同，在已有知识架构上增添新知，即是巩固又是拔高。

数学关注本质、共性、规律、联系。可归结为不变性。不变性从数的观点去看，就是不变量。公式、定理、法则等数学结论，是不变性。世界一直在变，但最本质的部分是不变的。正所谓动中有静、变中有恒、乱中有序、异中有同、万变不离其宗。数学教学必须抓住变与不变，构建知识框架，引导学员主动发现其本质，融会贯通，以不变应万变。

基于上述论述，此处给出数学教学的几点浅薄建议：一、概念阐述时，明确因果。二、新知讲解须建立在已有知识的架构上。三、教员注重引导学员主动发现变与不变，自主总结共性进而拓展。如线性代數中，线性方程组的解与向量组的线性表示及相关性间的变与不变;最大无关组、基础解系、向量空间的基间的变与不变;矩阵等价与向量组等价间的变与不变;实数运算与矩阵运算间的变与不变。

参考文献：

[1]朱超武，浅谈柯西不等式的价值，青海师专学报，2005年第4期

[2]郭晓菲，不等式在数学分析中的应用及探究（上），科技信息，2011年13期;

（武警警官学院 四川成都 610000）