APOS理论视角下《函数的零点与方程的解》概念教学设计探究

何雪芬

摘 要：通过APOS 理论指出数学概念的获得要经历活动、程序、对象、图式四个阶段，为教学提供了理论依据.本文是基于APOS理论下《函数的零点与方程的解》的教学设计，旨在探讨如何更有效地促进学生学习数学概念。

关键词：APOS 理论;概念教学;教学设计

一、APOS理论概述

美国数学教育家杜宾斯基（Ed Dubinsky） 等人提出了APOS理论，它阐述的是：个体在解决所感知的数学问题中获得数学知识的过程，依序建立了心理活动（Action）、程序（Process）和对象（Object），最后形成了图式结构（Scheme），取这4个阶段英文单词的首字母，称其为APOS理论，APOS 理论是对皮亚杰的反思抽象的一种扩展。首先“活动”是个体通过一步一步地外显性的指令去变换一个客观的数学对象，以感受数学概念;“程序”阶段，是在“活动”被个体熟悉后，内化为一种被称为“程序”的心理操作，对概念的抽象化和符号化;当个体能够把“程序”当做一个整体进行操作时，这一程序就变成了一种心理“对象”;而数学概念的“图式”是指由相应的“活动”、“过程”、“对象”以及与某些一般原理相联系的其他“图式”所形成的一种个体头脑中的认知框架，它可以用于解决与这个概念相关的问题。

二、基于APOS 理论的教学教学设计

APOS理论是依据数学学科特点建立的教学理论，不仅揭示了学生在学习中构建数学概念的层次，而且为教师的数学教学提供了具体的教学策略。下面以人教版高中必修第一册《函数的零点与方程的解》的教学设计为例来说明。

（一）活动阶段——感知函数零点，从特殊到一般

“活动”是指个体通过一步一步的外显性指令去变换一个客观的数学对象，即通过对简单的一次函数图象与x轴交点和对应方程的解关系的思考来感受函数零点的定义，从而自然地得到函数零点的定义，对函数零点的判断有初步的理解，故可教学设计如下：

问1：y=2x-3表示什么？（函数）

问2：这个函数图象能否画出？

注：师画出函数y=2x-3图象为一直线，与x轴交点坐标为 （3/2，0）

问3：3/2怎么来的？

（令y=0，即2x-3=0，则x=3/2（板书））

师：3/2是方程2x-3=0的解，是函数y=2x-3图象与x轴交点的横坐标，也使得函数值为零，我们称为函数的零点.这就是今天要学的函数的零点与方程的解（点题，板书）

（二）程序阶段——形成函数零点的一般化定义

“程序”阶段，是在“活动”被个体熟悉后，内化为一种被称为“程序”的心理操作。即是对零点概念的抽象化，符号化，从特殊的一次函数拓展到一般的函数，真正理解零点的定义，并能对函数零点，函数图象与x轴交点横坐标，以及方程的解之间进行转化，形成类似于“程序”的反应，具体设计如下：

（接上面对零点的理解，可将其一般化）

问1：对于一般的函数f （x），其零点该怎么定义？

定义：对于函数f （x），我们把使f （x）=0的实数x叫做函数y=f （x）的零点。

问2：从函数图象上怎么描述函数的零点？

师：函数y=f （x）的零点就是方程f （x）=0的实数解，就是函数y=f （x）的图象与x轴交点的横坐标。

师：函数零点是使函数值为零的实数x，不是点坐标。判断一个函数是否存在零点，可转化为看对应方程的根的情况，也可转化为函数图象与x轴交点的情况。三者可相互转化，零点的个数就是根的个数，也是交点的个数。

问3：方程lnx+2x-6=0是否有根？

分析：方程lnx+2x-6=0为超越方程，学生并不会求解，因而无法直接求方程的根来判断是否有根，此时考虑利用该方程对应函数是否存在零点以求解.然而函數f （x）=lnx+2x-6其图像，学生又不会做，只能通过描点作图的方法进行大致估算，那么有无更优的求解方法呢？

（三）对象阶段——深化理解函数零点的判定

当个体能够把“程序”当做一个整体进行操作时，这一程序就变成了一种心理“对象”。由此探究函数零点存在的判定，并对定理进行辨析，此时“程序”已经被“压缩”成一种“对象”，即已要求学生把函数零点当成对象，深化理解函数零点的判定。具体教学设计如下：

问1（探究）：函数y=f （x）在区间[a，b]内是否存在零点？（以曲线代表函数图象，动手画一画，函数必须满足什么条件才一定会有零点？）

分析：（1）当函数图象的两个端点在同侧时，即两个函数值分居x轴同一侧（f （a） f （b）>0）能否满足？

（2）当函数图象的两个端点在异侧时，即两个函数值分居x轴上下两侧（ f （a） f （b）<0）能否满足？

（3）函数有零点，意味着图象穿过x轴，那么函数图象能否断开？

问2：你能否总结一下函数零点存在的条件是什么？

函数零点存在性定理：如果函数y=f （x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a） f （b）<0，那么，函数y=f （x）在区间[a，b]内有零点，即存在c∈（a，b），使得 f （c）=0，这个c也就是方程f （x）=0的根。

思考：

（1）定义域[a，b]能否改为开区间（a，b]？（不能，如图1）

（2）开区间（a，b）能否改为[a，b）？（不能，因为零点可在x=0取到，如图2）

（3）得到的零点是否唯一？（不唯一，如图3）

（4）有零点一定能推出 f （a） f （b）<0？（不一定，如图4）

（5）如果f （a） f （b）>0，就没有零点？（不一定，如图4）

（四）图式阶段——巩固函数零点

一个数学概念的“图式”是指由相应的“活动”、“过程”、“对象”以及与某些一般原理相联系的其他“图式”所形成的一种个体头脑中的认知框架，它可以用于解决与这个概念相关的问题。故在本节教学设计的最后，以下面例题为例，对所学的零点的概念和零点存在性定理进行巩固，以期望学生达到“图式阶段”。法一是学生学过的知识，通过化归与转化，把一个函数的零点个数转化为两个函数交点的个数，学生较易理解。法二是利用函数零点存在性定理判断零点是否存在，但无法判定零点的个数。由此增加一个条件即函数在该区间是单调的，那么零点唯一。这是对零点存在性定理的补充，更是一种升华。

例 求方程lnx+2x-6=0解的个数

法一：解：∵lnx=6-2x，

∴lnx+2x-6=0解的个数等于函数y=lnx与y=6-2x交点的个数，如图函数y=lnx与y=6-2x有1个交点，则lnx+2x-6=0有1解。

法二：解：令函数f （x）=lnx+2x-6，

f （2）=ln2+4-6=ln2-2<0，

f （3）=ln3+6-6=ln3>0，

故函数f （x）=lnx+2x-6在（2，3）上有零点，

且函数f （x）在定义域（0，+∞）上是单调递增函数，

则函数f （x）=lnx+2x-6有唯一零點，故lnx+2x-6=0有唯一解。

（利用计算机可做出f （x）=lnx+2x-6图象图）

教师归纳补充：如果函数y=f （x）在区间[a，b]上单调且其函数图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a） f （b）<0，那么，函数y=f （x）在区间[a，b]内有唯一零点，即存在c∈（a，b），使得f （c）=0，这个c也就是方程f （x）=0的解。

结束语

从数学学习心理角度分析，APOS四个理解数学概念阶段是合理的，教学过程是高效的，反映了数学的本质特征，再现学生真实的思维活动。首先，通过活动让学生感知数学概念;其次是学生经过多次“活动”后进行思考，对数学活动进行抽象化，符号化;其次学生反复利用“程序”是实施活动，就将程序压缩为“对象”。“图式阶段”是通过一系列巩固应用，使学生在头脑中形成综合的心智结构。通过实际的教学，也验证了该理论确实能够有效地促进学生学习数学概念。

参考文献

[1] 鲍建生、周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[3] 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书数学必修第一册[M].北京：人民教育出版社，2019.